Теорема о коммутантном подъеме

В теории операторов теорема о коммутантном поднятии , разработанная Ш.-Надь и Фойасом , является мощной теоремой, используемой для доказательства нескольких результатов интерполяции.

Заявление

Теорема о коммутантном поднятии утверждает, что если T - сжатие на гильбертовом пространстве H , то U - его минимальное унитарное растяжение, действующее на некотором гильбертовом пространстве K (существование которого можно показать с помощью теоремы Ш.-Надя ), а R - оператор на H, коммутирующий с T , то существует оператор S на K, коммутирующий с U, такой, что

${\ displaystyle RT ^ {n} = P_ {H} SU ^ {n} \ vert _ {H} \; \ forall n \ geq 0,}$

и

${\ Displaystyle \ Vert S \ Vert = \ Vert R \ Vert.}$

Другими словами, оператор из коммутанта из Т можно «поднять» до оператора в коммутанте унитарной дилатации Т .

Приложения

Теорема о коммутантном поднятии может использоваться , среди прочего, для доказательства левой интерполяционной теоремы Неванлинны-Пика, интерполяционной теоремы Сарасона и двусторонней теоремы Нудельмана.

использованная литература

• Верн Паулсен, Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры 2002, ISBN  0-521-81669-6
• B Sz.-Nagy, C. Foias, "Теорема подъема" для сплетающих операторов и некоторые новые приложения ", Indiana Univ. Математика. J 20 (1971): 901-904
• Фойаш, Киприан, изд. Метрическая интерполяция с ограничениями, коммутантный подъем и системы. Vol. 100. Springer, 1998 .