Теорема Ш.-Надя о растяжении
Теорема Ш.-Надя о растяжении (доказанная Белой Секефальви-Надь ) утверждает, что каждое сжатие T на гильбертовом пространстве H имеет унитарное расширение U до гильбертова пространства K , содержащего H , с
Более того, такая дилатация единственна (с точностью до унитарной эквивалентности), если предположить, что K минимально, в том смысле, что линейная оболочка ∪ n U n H плотна в K . Когда это условие минимальности выполняется, U называется минимальной унитарной дилатацией T .
Для сокращения T (т. е. ( ) его оператор дефекта D T определяется как (единственный) положительный квадратный корень D T = ( I - T * T ) ½ . В частном случае, когда S является изометрией, D S * является проектором и D S =0 , следовательно, нижеследующее является унитарной дилатацией Ш. Надя S с требуемым свойством полиномиального функционального исчисления:
Возвращаясь к общему случаю сжатия T , каждое сжатие T в гильбертовом пространстве H имеет изометрическое растяжение, опять же со свойством исчисления, на
Подставляя построенную таким образом S в предыдущую унитарную дилатацию Ш.-Надя вместо изометрии S , можно получить унитарную дилатацию для сжатия T :
Форма Шаффера унитарного Sz. Расширение Надя можно рассматривать как отправную точку для характеристики всех унитарных расширений с требуемым свойством для данного сжатия.