Дискретное вейвлет-преобразование

Пример двумерного дискретного вейвлет-преобразования, используемого в JPEG2000 . Исходное изображение подвергается высокочастотной фильтрации, в результате чего получаются три больших изображения, каждое из которых описывает локальные изменения яркости (деталей) исходного изображения. Затем он подвергается фильтрации нижних частот и масштабируется, давая приближенное изображение; это изображение подвергается высокочастотной фильтрации для получения трех изображений с меньшей детализацией и низкочастотной фильтрации для получения окончательного приближенного изображения в верхнем левом углу. ^{[ требуется разъяснение ]}

В численном анализе и функционального анализа , A дискретное вейвлет - преобразование ( DWT ) является любой вейвлет - преобразование , для которого вейвлетов дискретно пробы. Как и в случае с другими вейвлет-преобразованиями, его ключевым преимуществом перед преобразованиями Фурье является временное разрешение: оно фиксирует как частоту, так и информацию о местоположении (местоположение во времени).

Примеры [ править ]

Вейвлеты Хаара [ править ]

Первый DWT был изобретен венгерским математиком Альфредом Хааром . Для входа, представленного списком чисел, можно рассматривать вейвлет- преобразование Хаара для объединения входных значений в пары, сохранения разницы и передачи суммы. Этот процесс повторяется рекурсивно, объединяя суммы в пары, чтобы доказать следующую шкалу, что приводит к различиям и окончательной сумме.${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$${\ displaystyle 2 ^ {n} -1}$

Вейвлеты Добеши [ править ]

Наиболее часто используемый набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком Ингрид Добешис в 1988 году. Эта формулировка основана на использовании рекуррентных соотношений для генерации все более тонких дискретных выборок неявной материнской вейвлет-функции; каждое разрешение вдвое больше предыдущего масштаба. В своей основополагающей статье Добеши выводит семейство вейвлетов , первым из которых является вейвлет Хаара. С тех пор интерес к этой области резко возрос, и было разработано множество вариаций оригинальных вейвлетов Добеши. ^{[1] [2]}

Комплексное вейвлет-преобразование двойного дерева (DℂWT) [ править ]

Комплексное вейвлет-преобразование с двойным деревом (ℂWT) является относительно недавним усовершенствованием дискретного вейвлет-преобразования (DWT) с важными дополнительными свойствами: оно почти инвариантно относительно сдвига и избирательно по направлению в двух и более высоких измерениях. Это достигается только с коэффициентом избыточности , который существенно ниже, чем у недецимированного DWT. Многомерное (MD) двойное дерево ℂWT неразделимо, но основано на эффективном в вычислительном отношении банке разделяемых фильтров (FB). ^[3]${\ displaystyle 2 ^ {d}}$

Другое [ править ]

Другие формы дискретного вейвлет - преобразования включают LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 вейвлет , разработанный Didier Le Gall и Ali J. Табатабаи в 1988 году (используется в JPEG 2000 ), ^{[4] [5] [6]} биномиальное СУК разработала от Ali Naci Akansu в 1990 году, ^[7] множество разделов в иерархических деревьев (SPIHT) алгоритм , разработанный Amir Said с William A. Перлман в 1996 году ^[8] не- или undecimated вейвлет - преобразование (где даунсамплинг опущен), и Ньюленд преобразования (где ортонормирована базис вейвлетов формируется из надлежащим образом построеныфильтры-цилиндры в частотном пространстве ). Преобразования вейвлет-пакетов также связаны с дискретным вейвлет-преобразованием. Еще одна форма - сложное вейвлет-преобразование .

Свойства [ править ]

DWT Хаара иллюстрирует желательные свойства вейвлетов в целом. Во-первых, это можно делать в операциях; во-вторых, он фиксирует не только понятие частотного содержания входных данных, исследуя его в различных масштабах, но также и временное содержание, то есть время, в которое эти частоты встречаются. В совокупности эти два свойства делают быстрое вейвлет-преобразование (FWT) альтернативой обычному быстрому преобразованию Фурье (FFT).${\ Displaystyle О (п)}$

Проблемы со временем [ править ]

Благодаря операторам изменения скорости в банке фильтров, дискретный WT не инвариантен во времени, но на самом деле очень чувствителен к выравниванию сигнала во времени. Для решения нестационарной проблемы вейвлет-преобразований Маллат и Чжун предложили новый алгоритм для вейвлет-представления сигнала, который инвариантен к временным сдвигам. ^{[9] В} соответствии с этим алгоритмом, который называется TI-DWT, только параметр масштаба выбирается по диадической последовательности 2 ^ j (j∈Z), и вейвлет-преобразование вычисляется для каждого момента времени. ^{[10] [11]}

Приложения [ править ]

Дискретное вейвлет-преобразование имеет огромное количество приложений в науке, технике, математике и информатике. В частности, он используется для кодирования сигналов , чтобы представить дискретный сигнал в более избыточной форме, часто в качестве предварительной обработки для сжатия данных . Практические приложения можно также найти в обработке сигналов ускорений для анализа походки, ^[12] обработки изображений ^[13], в цифровой связи и многих других. ^{[14] [15] [16]}

Показано, что дискретное вейвлет-преобразование (дискретное по масштабу и сдвигу и непрерывное во времени) успешно реализовано в качестве банка аналоговых фильтров при обработке биомедицинских сигналов для разработки маломощных кардиостимуляторов, а также в сверхширокополосной (СШП) беспроводной связи. ^[17]

Пример обработки изображений [ править ]

Вейвлеты часто используются для шумоподавления двухмерных сигналов, например изображений. В следующем примере представлены три шага для удаления нежелательного белого гауссовского шума из показанного зашумленного изображения. Matlab использовался для импорта и фильтрации изображения.

Первый шаг - выбрать тип вейвлета и уровень разложения N. В этом случае были выбраны 3,5 биортогональных вейвлета с уровнем N, равным 10. Биортогональные вейвлеты обычно используются при обработке изображений для обнаружения и фильтрации белого гауссовского шума ^[18] из-за их высокого контраста значений интенсивности соседних пикселей. С помощью этих вейвлетов выполняется вейвлет-преобразование двумерного изображения.

Следующим шагом после декомпозиции файла изображения является определение пороговых значений для каждого уровня от 1 до N. Стратегия Бирже-Массарта ^[19] является довольно распространенным методом выбора этих пороговых значений. С помощью этого процесса устанавливаются индивидуальные пороги для N = 10 уровней. Применение этих пороговых значений составляет большую часть фактической фильтрации сигнала.

Последний шаг - восстановить изображение по измененным уровням. Это достигается с помощью обратного вейвлет-преобразования. Полученное изображение без белого гауссовского шума показано под исходным изображением. При фильтрации любой формы данных важно количественно определить отношение сигнал / шум результата. ^{[ необходима цитата ]} В этом случае SNR шумного изображения по сравнению с оригиналом было 30,4958%, а SNR шумоподавленного изображения 32,5525%. В результате улучшение вейвлет-фильтрации дает прирост отношения сигнал / шум 2,0567%. ^[20]

Важно отметить, что выбор других вейвлетов, уровней и стратегий определения пороговых значений может привести к различным типам фильтрации. В этом примере для удаления был выбран белый гауссовский шум. Хотя с другим порогом его можно было бы так же легко усилить.

Сравнение с преобразованием Фурье [ править ]

Чтобы проиллюстрировать различия и сходства между дискретным вейвлет-преобразованием и дискретным преобразованием Фурье , рассмотрим DWT и DFT следующей последовательности: (1,0,0,0), единичный импульс .

ДПФ имеет ортогональный базис ( матрица ДПФ ):

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \ end {bmatrix}}}$

в то время как DWT с вейвлетами Хаара для данных длиной 4 имеет ортогональный базис в строках:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}}}$

(Для упрощения записи используются целые числа, поэтому основания ортогональны, но не ортонормированы .)

Предварительные наблюдения включают:

• Синусоидальные волны различаются только своей частотой. Первый не завершает никаких циклов, второй завершает один полный цикл, третий завершает два цикла, а четвертый завершает три цикла (что эквивалентно завершению одного цикла в противоположном направлении). Различия в фазах можно представить, умножив заданный базисный вектор на комплексную константу.
• Вейвлеты, напротив, имеют и частоту, и местоположение. Как и раньше, первый завершает нулевые циклы, а второй - один цикл. Однако у третьего и четвертого одинаковая частота, в два раза больше, чем у первого. Вместо того, чтобы различаться по частоте, они различаются расположением - третий ненулевой по первым двум элементам, а четвертый ненулевой по вторым двум элементам.

Разложение последовательности по этим основаниям дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,1,-1,-1)+{\frac {1}{2}}(1,-1,0,0)\qquad {\text{Haar DWT}}\\(1,0,0,0)&={\frac {1}{4}}(1,1,1,1)+{\frac {1}{4}}(1,i,-1,-i)+{\frac {1}{4}}(1,-1,1,-1)+{\frac {1}{4}}(1,-i,-1,i)\qquad {\text{DFT}}\end{aligned}}}$

DWT демонстрирует локализацию: член (1,1,1,1) дает среднее значение сигнала, (1,1, –1, –1) помещает сигнал в левую часть домена, а (1 , –1,0,0) помещает его в левую часть левой части, а усечение на любом этапе дает субдискретизированную версию сигнала:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0,0\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

ДПФ, напротив, выражает последовательность интерференцией волн различных частот - таким образом, усечение ряда дает версию ряда с фильтром нижних частот :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\\&\left({\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)\qquad {\text{2-term truncation}}\\&\left(1,0,0,0\right)\end{aligned}}}$

Примечательно, что среднее приближение (2-членное) отличается. С точки зрения частотной области это лучшее приближение, но с точки зрения временной области у него есть недостатки - он демонстрирует недорегулирование - одно из значений отрицательно, хотя исходный ряд везде неотрицателен - и звенит там , где правая сторона не равно нулю, в отличие от вейвлет-преобразования. С другой стороны, приближение Фурье правильно показывает пик, и все точки находятся в пределах своего правильного значения, хотя все точки имеют ошибку. Вейвлет-приближение, напротив, помещает пик в левой половине, но не имеет пика в первой точке, и, хотя оно точно верно для половины значений (отражающих местоположение), оно имеет ошибку для других значений.${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle 1/2}$

Это иллюстрирует виды компромиссов между этими преобразованиями и то, как в некоторых отношениях DWT обеспечивает предпочтительное поведение, особенно для моделирования переходных процессов.

Определение [ править ]

Один уровень преобразования [ править ]

DWT сигнала рассчитывается путем прохождения его через ряд фильтров. Сначала образцы проходят через фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, в результате чего получается свертка двух:${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle y[n]=(x*g)[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[n-k]}}$

Сигнал также разлагается одновременно с использованием фильтра верхних частот . Выходы дают детальные коэффициенты (из фильтра верхних частот) и коэффициенты аппроксимации (из нижнего прохода). Важно, чтобы эти два фильтра были связаны друг с другом и назывались квадратурными зеркальными фильтрами .${\displaystyle h}$

Однако, поскольку половина частот сигнала теперь удалена, половина отсчетов может быть отброшена в соответствии с правилом Найквиста. Выходной сигнал фильтра нижних частот на диаграмме выше затем субдискретизируется на 2 и далее обрабатывается, снова пропуская его через новый фильтр нижних частот и фильтр верхних частот с половиной частоты среза предыдущего, то есть:${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}$

Это разложение уменьшило вдвое временное разрешение, поскольку только половина каждого выходного сигнала фильтра характеризует сигнал. Однако каждый выход имеет половину полосы частот входа, поэтому разрешение по частоте было удвоено.

С оператором подвыборки ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[kn]}$

приведенное выше суммирование можно записать более кратко.

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*g)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*h)\downarrow 2}$

Однако вычисление полной свертки с последующей понижающей дискретизацией приведет к потере времени вычислений.${\displaystyle x*g}$

Схема подъема - это оптимизация, в которой эти два вычисления чередуются.

Каскадные и фильтрующие банки [ править ]

Это разложение повторяется для дальнейшего увеличения разрешения по частоте, и коэффициенты аппроксимации разлагаются с помощью фильтров верхних и нижних частот, а затем подвергаются понижающей дискретизации. Это представлено в виде двоичного дерева с узлами, представляющими подпространство с другой частотно-временной локализацией. Дерево известно как банк фильтров .

На каждом уровне на приведенной выше диаграмме сигнал разбивается на низкие и высокие частоты. Из - за процесса разложения входной сигнал должен быть кратным , где это количество уровней.${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

Например, сигнал с 32 отсчетами, частотным диапазоном от 0 до и 3 уровнями разложения, 4 шкалы вывода:${\displaystyle f_{n}}$

Уровень	Частоты	Образцы
3	${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle {f_{n}}/8}$	4
	${\displaystyle {f_{n}}/8}$ к ${\displaystyle {f_{n}}/4}$	4
2	${\displaystyle {f_{n}}/4}$ к ${\displaystyle {f_{n}}/2}$	8
1	${\displaystyle {f_{n}}/2}$ к ${\displaystyle f_{n}}$	16

Связь с материнским вейвлетом [ править ]

Реализацию набора фильтров вейвлетов можно интерпретировать как вычисление вейвлет-коэффициентов дискретного набора дочерних вейвлетов для данного материнского вейвлета . В случае дискретного вейвлет-преобразования материнский вейвлет сдвигается и масштабируется по степени двойки.${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi _{j,k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)}$

где - параметр масштаба и - параметр сдвига, оба целые числа.${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

Напомним, что вейвлет-коэффициент сигнала - это проекция на вейвлет, и пусть будет сигнал длины . В случае дочернего вейвлета в дискретной семье выше,${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \gamma _{jk}=\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {t-k2^{j}}{2^{j}}}\right)dt}$

Теперь зафиксируйте в определенном масштабе, так что это функция только. В свете приведенного выше уравнение, можно рассматривать как свертку из с расширенными, отражением, и нормированной версия материнского вейвлета, , отобранной в точках . Но это именно то, что детализирующие коэффициенты дают на уровне дискретного вейвлет-преобразования. Следовательно, для соответствующего выбора и детальные коэффициенты банка фильтров точно соответствуют вейвлет-коэффициенту дискретного набора дочерних вейвлетов для данного материнского вейвлета .${\displaystyle j}$${\displaystyle \gamma _{jk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma _{jk}}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\psi \left({\frac {-t}{2^{j}}}\right)}$${\displaystyle 1,2^{j},2^{2j},...,2^{N}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle h[n]}$${\displaystyle g[n]}$${\displaystyle \psi (t)}$

В качестве примера рассмотрим дискретный вейвлет Хаара , материнский вейвлет которого . Тогда расширенная, отраженная и нормализованная версия этого вейвлета - это, действительно, фильтр разложения верхних частот для дискретного вейвлет-преобразования Хаара.${\displaystyle \psi =[1,-1]}$${\displaystyle h[n]={\frac {1}{\sqrt {2}}}[-1,1]}$

Сложность времени [ править ]

Реализация набора фильтров дискретного вейвлет-преобразования требует только O ( N ) в некоторых случаях по сравнению с O ( N  log  N ) для быстрого преобразования Фурье .

Обратите внимание, что если и имеют постоянную длину (т. Е. Их длина не зависит от N), то и каждое занимает время O ( N ) . Набор вейвлет-фильтров выполняет каждую из этих двух сверток O ( N ) , затем разбивает сигнал на две ветви размером N / 2. Но он рекурсивно разделяет только верхнюю ветвь, свернутую с (в отличие от БПФ, который рекурсивно разделяет как верхнюю, так и нижнюю ветвь). Это приводит к следующему рекуррентному соотношению${\displaystyle g[n]}$${\displaystyle h[n]}$${\displaystyle x*h}$${\displaystyle x*g}$${\displaystyle g[n]}$

${\displaystyle T(N)=2N+T\left({\frac {N}{2}}\right)}$

что приводит к времени O ( N ) для всей операции, как может быть показано расширением геометрического ряда вышеуказанного соотношения.

Например, дискретное вейвлет- преобразование Хаара является линейным, поскольку в этом случае и имеют постоянную длину 2.${\displaystyle h[n]}$${\displaystyle g[n]}$

${\displaystyle h[n]=\left[{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]g[n]=\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]}$

Локальность вейвлетов в сочетании со сложностью O ( N ) гарантирует, что преобразование может быть вычислено онлайн (на потоковой основе). Это свойство резко контрастирует с БПФ, которое требует доступа ко всему сигналу сразу. Это также применимо к многомасштабному преобразованию, а также к многомерному преобразованию (например, 2-D DWT). ^[21]

Другие преобразования [ править ]

• Алгоритм Adam7 , используемый для переплетения в Portable Network Graphics формата (PNG), является многомасштабной моделью данных , которая похожа на DWT с вейвлет Хаара . В отличие от DWT, у него есть особый масштаб - он начинается с блока 8 × 8 и субдискретизирует изображение, а не децимирует ( фильтрация нижних частот , затем понижающая дискретизация). Таким образом, он предлагает худшее частотное поведение, показывая артефакты ( пикселизацию ) на ранних этапах, взамен более простой реализации.
  См. Также: алгоритм Adam7
• Мультипликативное (или геометрический) дискретное вейвлет - преобразование ^[22] представляет собой вариант , который относится к модели наблюдения с участием взаимодействия положительной регулярной функции и мультипликативного независимого положительного шумом , с . Обозначим вейвлет-преобразование. Так как , то стандартный (аддитивный) дискретное вейвлет - преобразование является такой , что , где подробно коэффициенты не могут рассматриваться как разреженный в целом, за счет вклада в последнем выражении. В мультипликативной структуре вейвлет-преобразование таково, что это `` вложение '' вейвлетов в мультипликативную алгебру${\displaystyle {\bf {y}}=f{\bf {X}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {E} X=1}$${\displaystyle {\cal {W}}}$${\displaystyle f{\bf {X}}=f+{f({\bf {X}}-1)}}$${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$${\displaystyle {\cal {W^{+}}}{\bf {y}}={\cal {W^{+}}}f+{\cal {W^{+}}}{f({\bf {X}}-1)},}$ ${\displaystyle {\cal {W^{+}}}{f({\bf {X}}-1)}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal {W^{\times }}}{\bf {y}}=\left({\cal {W^{\times }}}f\right)\times \left({\cal {W^{\times }}}{\bf {X}}\right).}$включает обобщенные мультипликативные аппроксимации и подробные операторы: например, в случае вейвлетов Хаара, затем до коэффициента нормализации стандартные приближения ( среднее арифметическое ) и детали ( арифметические разности ) становятся соответственно приближениями среднего геометрического и геометрическими разностями (детали) при использовании .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\cal {W^{+}}}}$${\displaystyle c_{k}=\alpha (y_{k}+y_{k-1})}$${\displaystyle d_{k}=\alpha (y_{k}-y_{k-1})}$${\displaystyle c_{k}^{\ast }=(y_{k}\times y_{k-1})^{\alpha }}$${\displaystyle d_{k}^{\ast }=\left({\frac {y_{k}}{y_{k-1}}}\right)^{\alpha }}$${\displaystyle {\cal {W^{\times }}}}$

Пример кода [ править ]

В своей простейшей форме DWT удивительно легко вычислить.

Вейвлет Хаара в Java :

public  static  int []  diskteHaarWaveletTransform ( int []  input )  {  // Эта функция предполагает, что input.length = 2 ^ n, n> 1  int []  output  =  new  int [ input . длина ] ; для  ( INT  длина  =  вход . длина  /  2 ;  ;  длина  =  длина  /  2 )  {  // длина текущая длина рабочей площади выходного массива.  // длина начинается с половины размера массива, и каждая итерация уменьшается вдвое, пока не станет 1.  for  ( int  i  =  0 ;  i  <  length ;  ++ i )  {  int  sum  =  input [ i  *  2 ]  + ввод [ я  *  2  +  1 ] ;  int  difference  =  input [ i  *  2 ]  -  input [ i  *  2  +  1 ] ;  вывод [ я ]  =  сумма ;  вывод [ длина  +  я ]  =  разница ;  }  если  ( длина  ==  1 )  {  вернуть  вывод ;  } // Поменять местами массивы для выполнения следующей итерации  System . arraycopy ( вывод ,  0 ,  ввод ,  0 ,  длина );  } }

Полный код Java для 1-D и 2-D DWT с использованием вейвлетов Хаара , Добеши , Койфлета и Лежандра доступен в проекте с открытым исходным кодом: JWave . Кроме того, быстрое внедрение лифтинг дискретного биортогональнои CDF 9/7 вейвлет - преобразование в C , используемый в JPEG 2000 стандарт сжатия изображения можно найти здесь (архивный 5 марта 2012).

Пример приведенного выше кода [ править ]

На этом рисунке показан пример применения вышеуказанного кода для вычисления вейвлет-коэффициентов Хаара для звуковой волны. В этом примере выделяются два ключевых свойства вейвлет-преобразования:

• Естественные сигналы часто имеют некоторую степень плавности, что делает их редкими в области вейвлета. В этом примере в вейвлет-области гораздо меньше значимых компонентов, чем во временной области, и большинство значимых компонентов относятся к более грубым коэффициентам слева. Следовательно, естественные сигналы сжимаются в вейвлетной области.
• Вейвлет-преобразование представляет собой полосовое представление сигнала с несколькими разрешениями. Это можно увидеть непосредственно из определения набора фильтров дискретного вейвлет-преобразования, данного в этой статье. Для сигнала большой длины коэффициенты в диапазоне представляют версию исходного сигнала, который находится в полосе пропускания . Вот почему увеличение этих диапазонов вейвлет-коэффициентов выглядит так похоже по структуре на исходный сигнал. Диапазоны, расположенные ближе к левому краю (большие в обозначениях выше), являются более грубым представлением сигнала, а диапазоны справа представляют более мелкие детали.${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle [2^{N-j},2^{N-j+1}]}$${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{2^{j}}},{\frac {\pi }{2^{j-1}}}\right]}$${\displaystyle j}$

См. Также [ править ]

• Дискретное косинусное преобразование (DCT)
• Вейвлет
• Серия вейвлетов
• Вейвлет-сжатие
• Список преобразований, связанных с вейвлетами

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Стэнфордская WaveLab в Matlab
• libdwt , кроссплатформенная библиотека DWT, написанная на C
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера