Вейвлет Добеши

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Вейвлет Добеши» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( август 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Двухмерный вейвлет Добеши 20 (Вейвлет Fn X Scaling Fn)

В вейвлетах Добеши , основанный на работе Добешите , представляет собой семейство ортогональных вейвлет , определяющих дискретное вейвлет - преобразование и характеризуется максимальным числом исчезающих моментов для некоторой заданной поддержки . С каждым типом вейвлета этого класса существует функция масштабирования (называемая отцовским вейвлетом ), которая генерирует ортогональный анализ с множественным разрешением .

Свойства [ править ]

В целом будут выбраны вейвлеты Добешите иметь наибольшее число А исчезающие моменты, (это не означает лучшую гладкость) для данной ширины опоры (число коэффициентов) 2 A . ^[1] Используются две схемы именования: D N с использованием длины или количества ответвлений и db A со ссылкой на количество исчезающих моментов. Итак, D4 и db2 - это одно и то же вейвлет-преобразование.

Среди 2 ^{A −1} возможных решений алгебраических уравнений для момента и условий ортогональности выбирается то, масштабный фильтр которого имеет экстремальную фазу. Вейвлет-преобразование также легко реализовать на практике с помощью быстрого вейвлет-преобразования . Вейвлеты Добеши широко используются для решения широкого круга задач, например, свойств самоподобия сигнала или фрактальных задач, неоднородностей сигнала и т. Д.

Вейвлеты Добеши не определены в терминах результирующих функций масштабирования и вейвлетов; на самом деле их невозможно записать в закрытом виде . Графики ниже созданы с использованием каскадного алгоритма , числового метода, состоящего из обратного преобразования [1 0 0 0 0 ...] подходящее количество раз.

Масштабирование и вейвлет-функции
Амплитуды частотных спектров указанных функций

Обратите внимание, что представленные здесь спектры не являются частотными характеристиками фильтров высоких и низких частот, а скорее амплитудами непрерывных преобразований Фурье функций масштабирования (синий) и вейвлета (красный).

Ортогональные вейвлеты Добеши D2 – D20 соотв. Обычно используются db1 – db10. Номер индекса относится к количеству N коэффициентов. Каждый вейвлет имеет количество нулевых моментов или исчезающих моментов, равное половине числа коэффициентов. Например, D2 имеет один исчезающий момент, D4 - два и т. Д. Исчезающий момент ограничивает способность вейвлетов представлять полиномиальное поведение или информацию в сигнале. Например, D2 с одним нулевым моментом легко кодирует полиномы одного коэффициента или постоянные компоненты сигнала. D4 кодирует полиномы с двумя коэффициентами, то есть с постоянной и линейной составляющими сигнала; а D6 кодирует 3-полиномы, т.е. постоянные, линейные и квадратичныекомпоненты сигнала. Эта способность кодировать сигналы, тем не менее, зависит от явления утечки масштаба и отсутствия инвариантности сдвига, которые возникают из-за операции дискретного сдвига (ниже) во время применения преобразования. Подпоследовательности, которые представляют линейные, квадратичные (например) компоненты сигнала, обрабатываются преобразованием по-разному в зависимости от того, совпадают ли точки с точками с четными или нечетными номерами в последовательности. Отсутствие важного свойства инвариантности к сдвигу привело к разработке нескольких различных версий инвариантного относительно сдвига (дискретного) вейвлет-преобразования .

Строительство [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, есть неопределенные математические символы (например, a, p, P). Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Сентябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Как масштабирующая последовательность (фильтр нижних частот), так и последовательность вейвлетов (полосовой фильтр) ( подробности этой конструкции см. В ортогональном вейвлете ) здесь будут нормализованы так, чтобы сумма была равна 2, а сумма квадратов - 2. В некоторых приложениях они нормализованы, чтобы иметь сумму , так что обе последовательности и все их сдвиги на четное число коэффициентов ортонормированы друг другу. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Используя общее представление масштабирующей последовательности ортогонального дискретного вейвлет-преобразования с порядком аппроксимации A ,

a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z),

с N = 2 A , p, имеющим действительные коэффициенты, p (1) = 1 и deg ( p ) = A - 1, условие ортогональности можно записать как

a(Z)a\left(Z^{-1}\right)+a(-Z)a\left(-Z^{-1}\right)=4,

или равно как

(2-X)^{A}P(X)+X^{A}P(2-X)=2^{A}\qquad (*),

с полиномом Лорана

X:={\frac {1}{2}}\left(2-Z-Z^{-1}\right)

порождающие все симметричные последовательности и, кроме того, P ( X ) обозначает симметричный полином Лорана $X(-Z)=2-X(Z).$

P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right).

С

X(e^{iw})=1-\cos(w)

p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}

P принимает неотрицательные значения на отрезке [0,2].

Уравнение (*) имеет одно минимальное решение для каждого A , которое может быть получено делением в кольце усеченных степенных рядов по X ,

P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}{\binom {A+k-1}{A-1}}2^{-k}X^{k}.

Очевидно, это имеет положительные значения на (0,2).

Однородное уравнение для (*) антисимметрично относительно X = 1 и, таким образом, имеет общее решение

X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right),

где R - некоторый многочлен с действительными коэффициентами. Эта сумма

P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right)

должна быть неотрицательна на отрезке [0,2] преобразуется в набор линейных ограничений на коэффициенты R . Значения P на интервале [0,2] ограничены некоторой величиной, максимизирующей r, в результате получается линейная программа с бесконечным числом условий неравенства. $4^{A-r},$

Решать

P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right)

для p используется метод, называемый спектральной факторизацией, соответственно. Алгоритм Фейера-Рисса. Многочлен P ( X ) распадается на линейные множители

P(X)=(X-\mu _{1})\cdots (X-\mu _{N}),\qquad N=A+1+2\deg(R).

Каждый линейный множитель представляет собой полином Лорана

X(Z)-\mu =-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}

это можно разложить на два линейных фактора. Можно сопоставить любой из двух линейных факторов с p ( Z ), таким образом, можно получить 2 ^N возможных решений. Для экстремальной фазы выбирается тот, который имеет все комплексные корни p ( Z ) внутри или на единичной окружности и, следовательно, является действительным.

Для вейвлет-преобразования Добеши используется пара линейных фильтров. Каждый фильтр пары должен быть квадратурным зеркальным фильтром . Решение коэффициента линейного фильтра с использованием свойства квадратурного зеркального фильтра приводит к следующему решению для значений коэффициентов для фильтра порядка 4. $c_{i}$

c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}.

Последовательности масштабирования самого низкого порядка приближения [ править ]

Ниже приведены коэффициенты масштабных функций для D2-20. Вейвлет-коэффициенты выводятся путем изменения порядка коэффициентов масштабной функции, а затем изменения знака каждого второго (то есть вейвлета D4 {-0,1830127, -0,3169873, 1,1830127, -0,6830127}). Математически это выглядит , где к является показателем коэффициента, б представляет собой коэффициент последовательности вейвлетов и коэффициент масштабирования последовательности. N - индекс вейвлета, т. Е. 2 для D2. $\approx$ $b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}$

**Ортогональные коэффициенты Добеши (нормализованные до суммы 2)**
D2 ( Хаар )	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
1	0,6830127	0,47046721	0,32580343	0,22641898	0,15774243	0.11009943	0,07695562	0,05385035	0,03771716
1	1,1830127	1,14111692	1.01094572	0,85394354	0,69950381	0,56079128	0,44246725	0,34483430	0,26612218
	0,3169873	0,650365	0,89220014	1.02432694	1.06226376	1.03114849	0,95548615	0,85534906	0,74557507
	-0,1830127	-0,19093442	-0,03957503	0,19576696	0,44583132	0,66437248	0,82781653	0,92954571	0,97362811
		-0,12083221	-0,26450717	-0,34265671	-0,31998660	−0.20351382	-0,02238574	0,18836955	0,39763774
		0,0498175	0,0436163	-0,04560113	-0,18351806	-0,31683501	-0,40165863	-0,41475176	-0,35333620
			0,0465036	0,10970265	0,13788809	0,1008467	6,68194092 × 10 ⁻⁴	-0,13695355	-0,27710988
			-0,01498699	-0,00882680	0,03892321	0,11400345	0,18207636	0,21006834	0,18012745
				-0,01779187	-0,04466375	-0,05378245	-0,02456390	0,043452675	0,13160299
				4,71742793 × 10 ⁻³	7,8325 1152 × 10 ⁻⁴	−0,02343994	−0,06235021	-0,09564726	-0,10096657
					6,75606236 × 10 ⁻³	0,01774979	0,01977216	3,5 489 28 13 × 10 ⁻⁴	-0,04165925
					−1,52353381 × 10 ⁻³	6,07514995 × 10 ⁻⁴	0,01236884	0,03162417	0,04696981
						−2,54790472 × 10 ⁻³	−6,88771926 × 10 ⁻³	−6,6796 2023 × 10 ⁻³	5,10043697 × 10 ⁻³
						5,00226853 × 10 ⁻⁴	−5,54004549 × 10 ⁻⁴	−6,05496058 × 10 ⁻³	-0,01517900
							9,55229711 × 10 ⁻⁴	2,61296728 × 10 ⁻³	1.97332536 × 10 ⁻³
							−1,66137261 × 10 ⁻⁴	3,25814671 × 10 ⁻⁴	2,81768659 × 10 ⁻³
								−3,56329759 × 10 ⁻⁴	−9,69947840 × 10 ⁻⁴
								5,5645514 × 10 ⁻⁵	−1,64709006 × 10 ⁻⁴
									1,32354367 × 10 ⁻⁴
									−1,875841 × 10 ⁻⁵

Части конструкции также используются для получения биортогональных вейвлетов Коэна – Добеши – Фово (CDF).

Реализация [ править ]

Хотя программное обеспечение, такое как Mathematica, поддерживает вейвлеты Добеши напрямую ^[2], базовая реализация возможна в MATLAB (в данном случае, Добеши 4). Эта реализация использует периодизацию для решения проблемы сигналов конечной длины. Доступны и другие, более сложные методы, но часто в них нет необходимости, поскольку они влияют только на самые концы преобразованного сигнала. Периодизация выполняется в прямом преобразовании непосредственно в векторной нотации MATLAB, а обратное преобразование - с помощью функции circshift () :

Преобразование, D4 [ править ]

Предполагается, что S , вектор-столбец с четным числом элементов, был предварительно определен как сигнал для анализа. Обратите внимание, что коэффициенты D4 равны [1 + √ 3 , 3 + √ 3 , 3 - √ 3 , 1 - √ 3 ] / 4.

N  =  длина ( S ); s1  =  S ( 1 : 2 : N  -  1 )  +  sqrt ( 3 )  *  S ( 2 : 2 : N ); d1  =  S ( 2 : 2 : N )  -  sqrt ( 3 )  /  4  *  s1  -  ( sqrt ( 3 )  -  2 ) /  4  *  [ s1 ( N  /  2 );  s1 ( 1 : N  /  2  -  1 )]; s2  =  s1  -  [ d1 ( 2 : N  /  2 );  d1 ( 1 )]; s  =  ( sqrt ( 3 )  -  1 )  /  sqrt ( 2 )  *  s2 ; d  =  -  (sqrt ( 3 )  +  1 )  /  sqrt ( 2 )  *  d1 ;

Обратное преобразование, D4 [ править ]

d1  =  d  *  (( sqrt ( 3 )  -  1 )  /  sqrt ( 2 )); s2  =  s  *  (( sqrt ( 3 )  +  1 )  /  sqrt ( 2 )); s1  =  s2  +  circshift ( d1 ,  -  1 ); S ( 2 : 2 : N )  =  d1  +  sqrt (3 )  /  4  *  s1  +  ( sqrt ( 3 )  -  2 )  /  4  *  circshift ( s1 ,  1 ); S ( 1 : 2 : N  -  1 )  =  s1  -  sqrt ( 3 )  *  S ( 2 : 2 : N );

См. Также [ править ]

Биномиальный QMF (фильтры вейвлетов Добеши)
Быстрое вейвлет-преобразование

Ссылки [ править ]

^ I. Добеши, Десять лекций по вейвлетам, SIAM, 1992, стр. 194.
^ Вейвлет Добеши в системе Mathematica. Обратите внимание , что там п есть п / 2 из текста.

Дженсен; ла Кур-Харбо (2001). Рябь в математике . Берлин: Springer. С. 157–160. ISBN 3-540-41662-5.

Цзяньхун (Джеки) Шен и Гилберт Стрэнг , Прикладной и вычислительный гармонический анализ , 5 (3), Асимптотика фильтров Добеши, масштабных функций и всплесков .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме вейвлетов Добеши .

Ингрид Добешис: десять лекций по вейвлетам , SIAM 1992
А. Н. Акансу, Эффективная структура QMF-вейвлетов (Binomial-QMF-вейвлеты Добеши), Proc. 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам, апрель 1990 г.
Proc. 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам, поддиапазонам и преобразованиям, апрель 1990 г.
А. Н. Акансу, Р. А. Хаддад и Х. Чаглар, Биномиальное QMF-вейвлет-преобразование с идеальной реконструкцией , Proc. SPIE Визуальные коммуникации и обработка изображений, стр. 609–618, Лозанна, сентябрь 1990 г.
Карлос Кабрелли, Урсула Молтер : обобщенное самоподобие », Журнал математического анализа и приложений, 230: 251–260, 1999.
Аппаратная реализация вейвлетов
"Вейвлеты Добеши" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
И. Каплан, Вейвлет-преобразование Добеши D4 .

[1] I. Добеши, Десять лекций по вейвлетам, SIAM, 1992, стр. 194.

[2] Вейвлет Добеши в системе Mathematica. Обратите внимание , что там п есть п / 2 из текста.

[1]