Ортогональный вейвлет

Ортогональный вейвлет является вейвлетом которого связан вейвлет - преобразование является ортогональным . То есть обратное вейвлет-преобразование является дополнением к вейвлет-преобразованию. Если это условие ослабить, можно получить биортогональные вейвлеты .

Основы [ править ]

Функция масштабирования - это функция с возможностью уточнения . То есть это фрактальное функциональное уравнение , называемое уточняющим уравнением ( двойное масштабное соотношение или уравнение растяжения ):

${\displaystyle \phi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}a_{k}\phi (2x-k)}$,

где последовательность из действительных чисел называется последовательность масштабирования или масштабирование маска. Собственно вейвлет получается аналогичной линейной комбинацией:${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{N-1})}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi (2x-k)}$,

где последовательность действительных чисел называется вейвлет-последовательностью или вейвлет-маской.${\displaystyle (b_{0},\dots ,b_{M-1})}$

Необходимым условием ортогональности вейвлетов является то, что масштабирующая последовательность ортогональна любым ее сдвигам на четное число коэффициентов:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m,0}}$,

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{m,n}}$

В этом случае существует такое же количество M = N коэффициентов в масштабировании, что и в вейвлет-последовательности, вейвлет-последовательность может быть определена как . В некоторых случаях выбирается противоположный знак.${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}a_{N-1-n}}$

Исчезающие моменты, полиномиальная аппроксимация и гладкость [ править ]

Необходимым условием существования решения уточняющего уравнения является наличие такого натурального числа A , что (см. Z-преобразование ):

${\displaystyle (1+Z)^{A}|a(Z):=a_{0}+a_{1}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.}$

Максимально возможная степень A называется порядком аппроксимации полиномов (или пол. Апп. Степенью) или числом исчезающих моментов . Он описывает возможность представления многочленов до степени A -1 с линейными комбинациями целочисленных преобразований масштабирующей функции.

В случае биортогональном, приближения порядка из соответствует A , равному нуль моментов двойственного вейвлета , то есть, скалярные произведения из с любым многочленом до степени A-1 равно нуль. В противоположном направлении, порядок аппроксимации М.Р из эквивалентно М.Р в нуль моменты . В ортогональном случае и Ã совпадают.${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle \psi }$

Достаточным условием существования масштабной функции является следующее: если один разлагается , и оценка${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z)}$

${\displaystyle 1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\left|p(e^{it})\right|<2^{A-1-n},}$

для некоторых выполнено , то уточняющее уравнение имеет n раз непрерывно дифференцируемое решение с компактным носителем.${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Примеры [ править ]

• Предположим тогда , и оценка верна для n = A -2. Решениями являются B-сплайны Шенберга порядка A -1, где ( A -1) -я производная кусочно постоянна, поэтому ( A -2) -я производная липшицева . A = 1 соответствует индексной функции единичного интервала.${\displaystyle p(Z)=1}$${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}}$

• A = 2 и p linear можно записать как

${\displaystyle a(Z)={\frac {1}{4}}(1+Z)^{2}((1+Z)+c(1-Z)).}$

Расширение этого полинома 3-й степени и вставка 4-х коэффициентов в условие ортогональности приводит к тому, что положительный корень дает масштабирующую последовательность D4-вейвлета, см. Ниже.${\displaystyle c^{2}=3.}$

Ссылки [ править ]

• Ингрид Добешис : Десять лекций по вейвлетам , SIAM 1992,