Уточняемая функция

В математике , в области вейвлет- анализа, масштабируемая функция - это функция, которая выполняет своего рода самоподобие . Функция называется масштабируемой по маске, если${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = 2 \ cdot \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} h_ {k} \ cdot \ varphi (2 \ cdot xk)}$

Это условие называется уточняющим уравнением , уравнением растяжения или двухмасштабным уравнением .

Используя свертку (обозначенную звездочкой *) функции с дискретной маской и оператор растяжения, можно записать более кратко:${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ varphi = 2 \ cdot D_ {1/2} (ч * \ varphi)}$

Это означает, что функция снова получается, если вы сворачиваете функцию с дискретной маской, а затем масштабируете ее обратно. Существует сходство с повторяющимися функциональными системами и кривыми де Рама .

Оператор линейный. Масштабируемая функция - это собственная функция этого оператора. Его абсолютное значение не определено однозначно. То есть, если это уточняемая функция, то для всех функция тоже может быть уточнена.${\ Displaystyle \ varphi \ mapsto 2 \ cdot D_ {1/2} (ч * \ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle c}$${\displaystyle c\cdot \varphi }$

Эти функции играют фундаментальную роль в теории всплесков как масштабные функции .

Свойства [ править ]

Значения в целых точках [ править ]

Уточняемая функция определяется только неявно. Также может быть, что есть несколько функций, которые можно уточнять по отношению к одной и той же маске. Если должна иметь конечную опору и требуются значения функции при целочисленных аргументах, то двухмасштабное уравнение становится системой одновременных линейных уравнений .${\displaystyle \varphi }$

Позвольте быть минимальным индексом и быть максимальным индексом ненулевых элементов , тогда мы получаем${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$

Использование дискретизации оператора, называют его здесь, и передаточную матрицу из , по имени , это можно записать в сжатой форме${\displaystyle Q}$${\displaystyle h}$${\displaystyle T_{h}}$

${\displaystyle Q\varphi =T_{h}\cdot Q\varphi .\,}$

Это снова уравнение с фиксированной точкой . Но это один теперь можно рассматривать как собственный вектор - собственные значения задачи. То есть масштабирующая функция с конечным носителем существует только (но не обязательно), если имеет собственное значение 1.${\displaystyle T_{h}}$

Ценности в диадических точках [ править ]

Из значений в целых точках вы можете получить значения в диадических точках, то есть в точках формы , с помощью и .${\displaystyle k\cdot 2^{-j}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )}$

Звездочка обозначает свертку дискретного фильтра с функцией. На этом шаге вы можете вычислить значения в точках формы . Повторно заменяя на, вы получаете значения во всех более точных масштабах.${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D_{2}\varphi }$

${\displaystyle Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))}$

Свертка [ править ]

Если уточняется по отношению к и уточняется по отношению к , то уточняется по отношению к .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi *\psi }$${\displaystyle h*g}$

Дифференциация [ править ]

Если масштабируется по , а производная существует, то масштабируется по . Это можно интерпретировать как частный случай свойства свертки, когда один из операндов свертки является производной импульса Дирака .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle 2\cdot h}$

Интеграция [ править ]

Если является уточняемым по отношению к , и существует первообразная с , тогда первообразная уточняется по отношению к маске, где должна выполняться константа .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\mapsto \Phi (t)+c}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\cdot (1-\sum _{j}h_{j})=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$

Если имеет ограниченную поддержку , то мы можем интерпретировать интеграцию как свертку с функцией Хевисайда и применить закон свертки.${\displaystyle \varphi }$

Скалярные произведения [ править ]

Вычисление скалярных произведений двух масштабируемых функций и их преобразований можно разбить на два вышеупомянутых свойства. Позвольте быть оператором перевода. Он держит${\displaystyle T}$

${\displaystyle \langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$

где является сопряженной по отношению к свертке , т.е. является переворачивается и комплекс конъюгированного версия , то есть .${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}}$

Благодаря указанному выше свойству, можно масштабировать по , и его значения при целочисленных аргументах могут быть вычислены как собственные векторы передаточной матрицы. Эту идею легко обобщить на интегралы от произведений более чем двух масштабирующих функций. ^[1]${\displaystyle \varphi *\psi ^{*}}$${\displaystyle h*g^{*}}$

Гладкость [ править ]

Уточняемая функция обычно имеет фрактальную форму. Создание непрерывных или гладких масштабируемых функций неочевидно. Прежде чем заниматься принудительной гладкостью, необходимо измерить гладкость масштабируемых функций. Используя машину Виллемо ^[2], можно вычислить гладкость масштабирующих функций в терминах показателей Соболева .

На первом этапе маска уточнения делится на фильтр , который представляет собой степень коэффициента сглаживания (это биномиальная маска) и остальное . Грубо говоря, биномиальная маска делает гладкость и представляет собой фрактальный компонент, который снова снижает гладкость. Теперь Соболев показатель примерно порядок минус логарифму от спектрального радиуса от .${\displaystyle h}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle T_{q*q^{*}}}$

Обобщение [ править ]

Концепция масштабируемых функций может быть обобщена на функции более чем одной переменной, то есть на функции от . Самое простое обобщение касается тензорных произведений . Если и уточняются относительно и , соответственно, то уточняются относительно .${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi \otimes \psi }$${\displaystyle h\otimes g}$

Схема может быть еще больше обобщена для различных коэффициентов масштабирования по отношению к разным измерениям или даже для смешивания данных между измерениями. ^[3] Вместо масштабирования скалярным коэффициентом, например 2, координаты сигнала преобразуются матрицей целых чисел. Чтобы схема работала, абсолютные значения всех собственных значений должны быть больше единицы. (Может быть, этого тоже хватит .)${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle |\det M|>1}$

Формально двухмасштабное уравнение практически не меняется:

${\displaystyle \varphi (x)=|\det M|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot x-k)}$

${\displaystyle \varphi =|\det M|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )}$

Примеры [ править ]

• Если определение распространяется на распределения , то импульс Дирака можно масштабировать относительно единичного вектора , который известен как дельта Кронекера . -Я производная от распределения Дирака масштабирующая относительно .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}\cdot \delta }$
• Функция Хевисайда уточняема относительно .${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \delta }$
• В усеченные степенные функции с показателем степени являются масштабирующая относительно .${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta }$
• Треугольная функция является функцией масштабирующей. ^[4] B-сплайн- функции с последовательными целыми узлами можно масштабировать из-за теоремы о свертке и масштабируемости характеристической функции для интервала ( функция цепочки ).${\displaystyle [0,1)}$
• Все полиномиальные функции масштабируемы. Для каждой маски уточнения существует многочлен, который определяется однозначно с точностью до постоянного множителя. Для каждого полинома степени существует множество масок уточнения, которые различаются маской типа для любой маски и степенью свертки . ^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle v*(1,-1)^{n+1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (1,-1)^{n+1}}$
• Рациональная функция является масштабирующей тогда и только тогда , когда он может быть представлена с использованием дроби , как , где является положительным натуральным числом , и реальная последовательность с конечным числом ненулевых элементов (а Лоран полиномиального ) такие , что (читайте: ). Полином Лорана - это соответствующая маска уточнения. ^[6]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle s|(s\uparrow 2)}$${\displaystyle \exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})}$${\displaystyle 2^{k-1}\cdot h}$

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Схема подразделения