Каскадный алгоритм

В математической теме теории вейвлетов каскадный алгоритм представляет собой численный метод вычисления значений функций базовых функций масштабирования и вейвлет- функций дискретного вейвлет-преобразования с использованием итеративного алгоритма. Он начинается со значений в грубой последовательности точек выборки и выдает значения для последовательно расположенных более плотно расположенных последовательностей точек выборки. Поскольку он многократно применяет одну и ту же операцию к выходным данным предыдущего приложения, он известен как каскадный алгоритм .

Последовательное приближение

Итерационный алгоритм генерирует последовательные приближения к ψ ( t ) или φ ( t ) из коэффициентов фильтра { h } и { g }. Если алгоритм сходится к фиксированной точке, то эта фиксированная точка является базовой функцией масштабирования или вейвлетом.

Итерации определяются как

${\ displaystyle \ varphi ^ {(k + 1)} (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} h [n] {\ sqrt {2}} \ varphi ^ {(k)} (2т-н)}$

Для k- й итерации необходимо указать начальное значение φ ⁽⁰⁾ ( t ).

Оценки в частотной области основной функции масштабирования задаются выражением

${\displaystyle \Phi ^{(k+1)}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2}}\right)\Phi ^{(k)}\left({\frac {\omega }{2}}\right)}$

а предел можно рассматривать как бесконечное произведение в виде

${\displaystyle \Phi ^{(\infty )}(\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0).}$

Если такой предел существует, спектр масштабной функции равен

${\displaystyle \Phi (\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0)}$

Предел не зависит от исходной формы, принятой для φ ⁽⁰⁾ ( t ). Этот алгоритм надежно сходится к φ ( t ), даже если он разрывной.

Из этой масштабной функции вейвлет может быть сгенерирован из

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n).}$

Последовательное приближение также может быть получено в частотной области.

использованная литература

• К.С. Буррус , Р.А. Гопинатх, Х. Гуо, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник , Прентис-Холл, 1988, ISBN  0-13-489600-9 .
• http://cnx.org/content/m10486/latest/
• https://web.archive.org/web/20070615055323/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/wim/cascade/index.html