Численный метод

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В численном анализе , численный метод представляет собой математический инструмент , предназначенный для решения численных задач. Реализация численного метода с соответствующей проверкой сходимости на языке программирования называется численным алгоритмом.

Математическое определение [ править ]

Пусть будет правильно поставленной проблемой , то есть представляет собой реальную или сложную функциональную взаимосвязь, определенную на перекрестном произведении набора входных данных и набора выходных данных , такая, что существует локально функция липшица, называемая резольвентой , которая имеет свойство, которое для каждый корень из , . Определим численный метод для приближения , к последовательности задач${\ Displaystyle F (х, y) = 0}$${\ displaystyle F: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle у = г (х)}$${\ Displaystyle F (х, y) = 0}$

${\ displaystyle \ left \ {M_ {n} \ right \} _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left \ {F_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) = 0 \ right \} _ {п \ in \ mathbb {N}},}$

с , и для каждого . Проблемы, из которых состоит метод, не обязательно должны быть хорошо поставлены. Если да, то метод считается стабильным или корректным . ^[1]${\ displaystyle F_ {n}: X_ {n} \ times Y_ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {n} \ in X_ {n}}$${\ displaystyle y_ {n} \ in Y_ {n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Последовательность [ править ]

Необходимые условия для эффективного приближения численного метода - это то и это, как когда . Итак, численный метод называется непротиворечивым тогда и только тогда, когда последовательность функций поточечно сходится к на множестве своих решений:${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

Когда на методе говорят, что он строго согласован . ^[1]${\displaystyle F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle S}$

Конвергенция [ править ]

Обозначим через последовательность допустимых возмущений в течение некоторого численного метода (то есть ) , и с величиной такой , что . Условием, которому должен удовлетворять метод, чтобы быть значимым инструментом для решения проблемы, является сходимость :${\displaystyle \ell _{n}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

Легко доказать, что поточечная сходимость к влечет сходимость ассоциированного метода - функции. ^[1]${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle y}$

Ссылки [ править ]