Вейвлет Хаара

В математике вейвлет Хаара - это последовательность масштабированных функций «квадратной формы», которые вместе образуют семейство или базис вейвлетов . Вейвлет-анализ похож на анализ Фурье в том, что он позволяет представить целевую функцию на интервале в терминах ортонормированного базиса . Последовательность Хаара теперь признана первой известной вейвлет-основой и широко используется в качестве обучающего примера.

Последовательность Хаара была предложена в 1909 году Альфредом Хааром . ^[1] Хаар использовал эти функции, чтобы дать пример ортонормированной системы для пространства квадратично интегрируемых функций на единичном интервале [0, 1]. Изучение вейвлетов и даже термина «вейвлет» появилось гораздо позже. Как частный случай вейвлета Добеши, вейвлет Хаара также известен как Db1 .

Вейвлет Хаара также является самым простым из возможных вейвлетов. Технический недостаток вейвлета Хаара заключается в том, что он не является непрерывным и, следовательно, не дифференцируемым . Однако это свойство может быть преимуществом для анализа сигналов с внезапными переходами ( дискретные сигналы ), таких как мониторинг отказа инструмента в станках. ^[2]

Материнскую вейвлет-функцию вейвлета Хаара можно описать как $\psi (t)$

\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Его функцию масштабирования можно описать как $\varphi (t)$

\varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

Функции Хаара и система Хаара [ править ]

Для каждой пары п , к целых чисел в Z , то Хаара функции ψ _{п , к} определена на вещественной прямой R по формуле

\psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbf {R} .

Эта функция поддерживается на правооткрытом интервале I _n_,_k = [ k 2 ^-ⁿ , ( k +1) 2 ^-ⁿ ) , то есть вне этого интервала она обращается в нуль . Он имеет интеграл 0 и норму 1 в гильбертовом пространстве L ² ( R ) ,

\int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbf {R} )}^{2}=\int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.

Функции Хаара попарно ортогональны ,

\int _{\mathbf {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1},n_{2}}\delta _{k_{1},k_{2}},

где δ _{i , j} представляет собой символ Кронекера . Вот причина ортогональности: когда два опорных интервала и не равны, то они либо не пересекаются, либо меньшая из двух опор, скажем , содержится в нижней или верхней половине другого интервала, на при этом функция остается постоянной. В этом случае следует, что произведение этих двух функций Хаара кратно первой функции Хаара, следовательно, произведение имеет интеграл 0. $I_{n_{1},k_{1}}$ $I_{n_{2},k_{2}}$ $I_{n_{1},k_{1}}$ $\psi _{n_{2},k_{2}}$

Система Хаара на прямой - это набор функций

\{\psi _{n,k}(t)\;;\;n\in \mathbf {Z} ,\;k\in \mathbf {Z} \}.

Это полная в L ² ( R ): Система Хаара на линии ортонормированный базис в L ² ( R ).

Свойства вейвлетов Хаара [ править ]

Вейвлет Хаара имеет несколько примечательных свойств:

Любая непрерывная вещественная функция с компактным носителем может быть аппроксимирована равномерно линейными комбинациями из и их смещенных функций. Это распространяется на те функциональные пространства, где любую функцию в нем можно аппроксимировать непрерывными функциями. $\varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots$
Любая непрерывная действительная функция на [0, 1] может быть аппроксимирована равномерно на [0, 1] линейными комбинациями функции постоянной 1 , и их сдвинутых функций. ^[3] $\psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots$
Ортогональность по форме

$\int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{n,n_{1}}\delta _{k,k_{1}}.$

Здесь δ _{i , j} представляет собой символ Кронекера . Двойная функция от ф ( т ) является ψ ( т ) сам по себе.

Функции вейвлета / масштабирования с различным масштабом n имеют функциональную взаимосвязь: ^[4] так как

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}

отсюда следует, что коэффициенты масштаба n можно вычислить с помощью коэффициентов масштаба n + 1 :

Если

\chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt

и

\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt

тогда

\chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}

\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.

Система Хаара на единичном интервале и связанные с ней системы [ править ]

В этом разделе обсуждение ограничивается единичным интервалом [0, 1] и функциями Хаара, которые поддерживаются на [0, 1]. Система функций, рассмотренная Хааром в 1910 г. ^[5], называемая в этой статье системой Хаара на [0, 1] , состоит из подмножества всплесков Хаара, определяемых как

\{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;;\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},

с добавлением постоянной функции 1 на [0, 1].

В пространстве Гильберта терминов, эта система Хаара на [0, 1] является полной ортонормированной системой , то есть , ортонормированный базис , для пространства L ² ([0, 1]) квадратичны интегрируемых функций на единичном интервале.

Система Хаара на [0, 1] - с постоянной функцией 1 в качестве первого элемента, за которой следуют функции Хаара, упорядоченные в соответствии с лексикографическим порядком пар ( n , k ), - также является монотонным базисом Шаудера для пространства L p ( [0, 1]), когда 1 ≤ p <∞ . ^[6] Этот базис безусловен при 1 < p <∞ . ^[7]

Есть родственная система Радемахера, состоящая из сумм функций Хаара:

r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.

Обратите внимание, что | r _n ( t ) | = 1 на [0, 1). Это ортонормированная система, но не полная. ^[8]^[9] На языке теории вероятностей последовательность Радемахера является примером последовательности независимых случайных величин Бернулли со средним 0. Неравенство Хинчина выражает тот факт, что во всех пространствах L ^p ([0, 1] ), 1 ≤ p <∞ , последовательность Радемахера эквивалентна базису единичных векторов в ℓ ² . ^[10] В частности,замкнутая линейная оболочка последовательности Радемахера в L ^р ([0, 1]), 1 ≤ р <∞ , является изоморфно к л ² .

Система Фабера – Шаудера [ править ]

Система Фабера – Шаудера ^[11]^[12]^[13] - это семейство непрерывных функций на [0, 1], состоящее из постоянной функции 1 и кратных неопределенных интегралов функций системы Хаара на [0, 1], выбранная так, чтобы в максимальной норме была норма 1 . Эта система начинается с s ₀ = 1 , затем s ₁ ( t ) = t - неопределенный интеграл, равный нулю в 0 функции 1 , первого элемента системы Хаара на [0, 1]. Далее, для любого целого n ≥ 0 функции s _n _{, k} определяются формулой

s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.

Эти функции s _n_,_k непрерывны, кусочно-линейны , поддерживаются интервалом I _n_,_k, который также поддерживает ψ _n_,_k . Функция s _n_,_k равна 1 в средней точке x _n_,_k интервала I _n_,_k , линейной на обеих половинах этого интервала. Он принимает значения от 0 до 1 везде.

Система Фабера – Шаудера является базисом Шаудера для пространства C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1]. ^[6] Для любого f из C ([0, 1]) частичная сумма

f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])

из разложения в ряд по е в системе Фабера-Шаудера является непрерывной кусочно - линейной функции , которая совпадает с F на 2 ^п + 1 точек K 2 ^{- п} , где 0 ≤ K ≤ 2 ^н . Далее формула

f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}

дает возможность шаг за шагом вычислить расширение f . Так как F является равномерно непрерывным , то последовательность { е _п } равномерно сходится к F . Отсюда следует, что разложение f в ряд Фабера – Шаудера сходится в C ([0, 1]), и сумма этого ряда равна f .

Система Франклина [ править ]

Система Франклина получается из системы Фабера – Шаудера с помощью процедуры ортонормировки Грама – Шмидта . ^[14]^[15] Поскольку система Франклина имеет ту же линейную оболочку, что и система Фабера – Шаудера, эта оболочка плотна в C ([0, 1]), следовательно, в L ² ([0, 1]). Система Франклина Поэтому ортонормированный базис L ² ([0, 1]), состоящая из непрерывных кусочно - линейной функции. П. Франклин доказал в 1928 г., что эта система является базисом Шаудера для C ([0, 1]). ^[16] Система Франклина также является безусловным базисом Шаудера для пространства L ^p ([0, 1]), когда1 < p <∞ . ^[17] Система Франклина обеспечивает базис Шаудера в дисковой алгебре A ( D ). ^[17] Это было доказано в 1974 г. Бочкаревым, после того как существование базиса дисковой алгебры оставалось открытым более сорока лет. ^[18]

Бочкарев построил базис Шаудера в A ( D ) следующим образом: пусть f - комплекснозначная липшицева функция на [0, π]; тогда f - сумма ряда косинусов с абсолютно суммируемыми коэффициентами. Пусть T ( f ) - элемент A ( D ), определенный комплексным степенным рядом с теми же коэффициентами,

\left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.

Базис Бочкарева для A ( D ) образуют образы под T функций из системы Франклина на [0, π]. Эквивалентное описание Бочкарев для отображения Т начинается путем расширения п к даже липшицевой функции г ₁ на [-я, π], которые были определены с функцией липшицевом на единичной окружности Т . Далее, пусть г ₂ будет сопряженная функция из г ₁ , и определить Т ( ф ) , чтобы быть функция A ( D ), значение которого на границеT элемента D равен g ₁ + i g ₂ .

Имея дело с 1-периодическими непрерывными функциями, или, скорее, с непрерывными функциями f на [0, 1] такими, что f (0) = f (1) , из системы Фабера – Шаудера удаляется функция s ₁ ( t ) = t , чтобы получить периодическую систему Фабера – Шаудера . Периодическая система Франклина получается путем ортогонализации от периодической системы Фабера - Шаудер. ^[19] Можно доказать результат Бочкарева о A ( D ), доказав, что периодическая система Франклина на [0, 2π] является базисом для банахова пространства A _r, изоморфного А ( D ). ^[19] Пространство A _r состоит из комплексных непрерывных функций на единичной окружности T , сопряженная функция которых также непрерывна.

Матрица Хаара [ править ]

Матрица Хаара 2 × 2, связанная с вейвлетом Хаара, имеет вид

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.

Используя дискретное вейвлет-преобразование , можно преобразовать любую последовательность четной длины в последовательность двухкомпонентных векторов . Если умножить каждый вектор на матрицу справа , то получится результат одного этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара. Обычно разделяют последовательности s и d и продолжают преобразовывать последовательность s . Последовательность s часто называют средней частью, а последовательность d - частью деталей . ^[20] $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})$ $\left(\left(a_{0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)$ $H_{2}$ $\left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)$

Если длина последовательности кратна четырем, можно построить блоки из 4 элементов и преобразовать их аналогичным образом с помощью матрицы Хаара 4 × 4.

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},

который сочетает в себе две стадии быстрого вейвлет-преобразования Хаара.

Сравните с матрицей Уолша , которая является нелокализованной матрицей 1 / –1.

Как правило, матрица Хаара 2N × 2N может быть получена с помощью следующего уравнения.

H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}

где и - произведение Кронекера .

I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}

\otimes

Продукт Кронекера из , где есть т × п матрица и является ар × д матрица, выражается как $A\otimes B$ $A$ $B$

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.

Ненормализованная 8-точечная матрица Хаара показана ниже. $H_{8}$

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что указанная выше матрица является ненормализованной матрицей Хаара. Матрица Хаара, требуемая преобразованием Хаара, должна быть нормализована.

Из определения матрицы Хаара можно заметить, что, в отличие от преобразования Фурье, она имеет только действительные элементы (т. Е. 1, -1 или 0) и является несимметричной. $H$ $H$

В качестве примера возьмем 8-точечную матрицу Хаара . Первая строка измеряет среднее значение, а вторая строка измеряет низкочастотную составляющую входного вектора. Следующие две строки чувствительны к первой и второй половине входного вектора соответственно, что соответствует умеренным частотным компонентам. Остальные четыре строки чувствительны к четырем участкам входного вектора, которые соответствуют высокочастотным компонентам. ^[21] $H_{8}$ $H_{8}$ $H_{8}$

Преобразование Хаара [ править ]

Преобразование Хаара - простейшее из вейвлет-преобразований . Это преобразование перекрестно умножает функцию на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями, подобно тому, как преобразование Фурье перекрестно умножает функцию на синусоидальную волну с двумя фазами и многими отрезками. ^[22]^{[ требуется пояснение ]}

Введение [ править ]

Преобразование Хаара - одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфредом Хааром . Он оказался эффективным в таких приложениях, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и вычислительной технике, поскольку обеспечивает простой и эффективный в вычислительном отношении подход к анализу локальных аспектов сигнала.

Преобразование Хаара выводится из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара 4x4 показан ниже.

H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс выборки, в котором строки матрицы преобразования действуют как выборки все более и более высокого разрешения.

Сравните с преобразованием Уолша , которое также равно 1 / –1, но не локализовано.

Свойство [ править ]

Преобразование Хаара обладает следующими свойствами

1. Нет необходимости в умножении. Для этого требуются только добавления, а в матрице Хаара много элементов с нулевым значением, поэтому время вычислений невелико. Это быстрее, чем преобразование Уолша , матрица которого состоит из +1 и -1.

2. Длина входа и выхода одинакова. Тем не менее, длина должна быть степенью 2, то есть .

N=2^{k},k\in \mathbb {N}

3. Его можно использовать для анализа локализованных характеристик сигналов. Благодаря ортогональности функции Хаара можно анализировать частотные составляющие входного сигнала.

Преобразование Хаара и обратное преобразование Хаара [ править ]

Преобразование Хаара y _n входной функции x _n имеет вид

y_{n}=H_{n}x_{n}

Матрица преобразования Хаара является действительной и ортогональной. Таким образом, обратное преобразование Хаара может быть получено с помощью следующих уравнений.

H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I

где - единичная матрица. Например, при n = 4

I

H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Таким образом, обратное преобразование Хаара имеет вид

x_{n}=H^{T}y_{n}

Пример [ править ]

Коэффициенты преобразования Хаара для 4-точечного сигнала могут быть найдены как $x_{4}=[1,2,3,4]^{T}$

y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

Входной сигнал может быть полностью восстановлен с помощью обратного преобразования Хаара

{\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}

См. Также [ править ]

Уменьшение размеров
Матрица Уолша
Преобразование Уолша
Вейвлет
Чирплет
Сигнал
Хаароподобная особенность
Вейвлет Стрёмберга
Диадическая трансформация

Заметки [ править ]

^ см. стр. 361 в Хааре (1910) .
^ Ли, B .; Тарнг, Ю.С. (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для контроля отказа инструмента при концевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий . 15 (4): 238–243. DOI : 10.1007 / s001700050062 .
^ В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. Стр. 363 в Хааре (1910) .
^ Видакович, Brani (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов (2-е изд.). С. 60, 63.. DOI : 10.1002 / 9780470317020 .
^ стр. 361 в Хааре (1910)
^ a b см. стр. 3 в J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
^ Результат принадлежит RE Пэли , Замечательная серия ортогональных функций (I) , Proc. Лондонская математика. Soc. 34 (1931), стр. 241-264. См. Также стр. 155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 .
^ "Ортогональная система" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ Уолтер, Гилберт G .; Шен, Сяопин (2001). Всплески и другие ортогональные системы . Бока-Ратон: Чепмен. ISBN 1-58488-227-1.
^ см., например, стр. 66 в J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .
↑ Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
^ Schauder, Юлиуш (1928), "Eine Eigenschaft де Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28 : 317-320.
^ Голубов, Б.И. (2001) [1994], "Система Фабера-Шаудера" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ см. Z. Ciesielski, Свойства ортонормированной системы Франклина . Studia Math. 23 1963 141–157.
^ Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
^ Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций , Math. Анна. 100 (1928), 522-529.
^ a b С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге, и некоторые свойства системы Франклина . Мат. Сб. 95 (1974), 3–18. Перевел в математике. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16.
^ Появляется вопрос стр. 238, §3 в книге Банаха , Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires , Monografie Matematyczne, 1 , Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901 . Дисковая алгебра A ( D ) появляется как пример 10, с. 12 в книге Банаха.
^ a b См. стр. 161, III.D.20 и стр. 192, III.E.17 в Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Банаховые пространства для аналитиков , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 25 , Cambridge: Cambridge University Press, pp. Xiv + 382, ISBN 0-521-35618-0
^ Рух, Дэвид К .; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход к приложениям . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-38840-2.
^ "Хаар" . Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 . Проверено 23 ноября 2013 года .
^ Преобразование Хаара

Ссылки [ править ]

Хаара, Alfréd (1910), "Zur Теорье дер orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331-371, DOI : 10.1007 / BF01456326 , ЛВП : 2027 / uc1.b2619563
Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
Английский перевод основополагающей статьи Хаара: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме вейвлета Хаара .

"Система Хаара" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Бесплатная реализация вейвлет-фильтрации Хаара и интерактивная демонстрация
Свободное шумоподавление вейвлета Хаара и сжатие сигнала с потерями

Преобразование Хаара [ править ]

[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

[1] см. стр. 361 в Хааре (1910) .

[2] Ли, B .; Тарнг, Ю.С. (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для контроля отказа инструмента при концевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий . 15 (4): 238–243. DOI : 10.1007 / s001700050062 .

[3] В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. Стр. 363 в Хааре (1910) .

[4] Видакович, Brani (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов (2-е изд.). С. 60, 63.. DOI : 10.1002 / 9780470317020 .

[5] стр. 361 в Хааре (1910)

[L._Tzafriri,_1977-6] см. стр. 3 в J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .

[7] Результат принадлежит RE Пэли , Замечательная серия ортогональных функций (I) , Proc. Лондонская математика. Soc. 34 (1931), стр. 241-264. См. Также стр. 155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 .

[8] "Ортогональная система" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[9] Уолтер, Гилберт G .; Шен, Сяопин (2001). Всплески и другие ортогональные системы . Бока-Ратон: Чепмен. ISBN 1-58488-227-1.

[10] см., например, стр. 66 в J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 .

[Faber-11] Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553

[12] Schauder, Юлиуш (1928), "Eine Eigenschaft де Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28 : 317-320.

[13] Голубов, Б.И. (2001) [1994], "Система Фабера-Шаудера" , Энциклопедия математики , EMS Press

[14] см. Z. Ciesielski, Свойства ортонормированной системы Франклина . Studia Math. 23 1963 141–157.

[15] Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

[16] Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций , Math. Анна. 100 (1928), 522-529.

[Bo-17] С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге, и некоторые свойства системы Франклина . Мат. Сб. 95 (1974), 3–18. Перевел в математике. СССР-Сб. 24 (1974), 1–16.

[18] Появляется вопрос стр. 238, §3 в книге Банаха , Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires , Monografie Matematyczne, 1 , Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901 . Дисковая алгебра A ( D ) появляется как пример 10, с. 12 в книге Банаха.

[Prz-19] См. стр. 161, III.D.20 и стр. 192, III.E.17 в Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Банаховые пространства для аналитиков , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 25 , Cambridge: Cambridge University Press, pp. Xiv + 382, ISBN 0-521-35618-0

[20] Рух, Дэвид К .; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход к приложениям . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-38840-2.

[21] "Хаар" . Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 . Проверено 23 ноября 2013 года .

[22] Преобразование Хаара

[1]