Когерентные состояния в математической физике

Эту статью, возможно, придется переписать, чтобы она соответствовала стандартам качества Википедии . Вы можете помочь . Страница обсуждения может содержать предложения. ( Февраль 2019 )

Когерентные состояния были введены в физическом контексте, сначала как квазиклассические состояния в квантовой механике , затем как основа квантовой оптики, и они описаны в этом духе в статье «Когерентные состояния» (см. Также ^[1] ). Однако они породили огромное количество обобщений, которые привели к огромному количеству литературы по математической физике . В этой статье мы наметим основные направления исследований в этом направлении. Для получения дополнительной информации мы ссылаемся на несколько существующих обзоров. ^{[2] [3] [4]}

Общее определение [ править ]

Позвольте быть комплексным, сепарабельным гильбертовым пространством, локально компактным пространством и мерой на . Для каждого in обозначьте вектор in . Предположим, что этот набор векторов обладает следующими свойствами:${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d \ nu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

1. Отображение слабо непрерывно, т. Е. Для каждого вектора в функция непрерывна (в топологии ).${\displaystyle x\mapsto |x\rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\phi \rangle }$${\displaystyle X}$
2. Разрешение личности

${\displaystyle \int _{X}|x\rangle \langle x|\;d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}}$

держит в слабом смысле на гильбертовом пространстве , то есть для любых двух векторов в следующем равенстве:${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle \int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \;d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle \;.}$

Набор векторов, удовлетворяющих двум указанным выше свойствам, называется семейством обобщенных когерентных состояний . Чтобы восстановить предыдущее определение (данное в статье Когерентное состояние ) канонических или стандартных когерентных состояний (CCS), достаточно взять комплексную плоскость и${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle X\equiv \mathbb {C} }$${\displaystyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.}$

Иногда разрешение условия идентичности заменяется более слабым, с векторами просто образуя общий набор ^{[ необходимы разъяснения ]} в и функции , а пробегает , образуя воспроизводящее ядро гильбертова пространства . Цель в обоих случаях состоит в том, чтобы гарантировать, что произвольный вектор может быть выражен как линейная (целая) комбинация этих векторов. Действительно, из разрешения тождества сразу следует, что${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \;d\nu (x)\;,}$

где .${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Эти векторы являются квадратично интегрируемыми, непрерывными функциями на и удовлетворяют свойству воспроизведения${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{X}K(x,y)\Psi (y)\;d\nu (y)=\Psi (x)\,,}$

где - воспроизводящее ядро, удовлетворяющее следующим свойствам${\displaystyle K(x,y)=\langle x|y\rangle }$

${\displaystyle \quad K(x,y)={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\;,}$

${\displaystyle \int _{X}K(x,z)\;K(z,y)\;d\nu (z)=K(x,y)\;.}$

Некоторые примеры [ править ]

В этом разделе мы представляем некоторые из наиболее часто используемых типов когерентных состояний в качестве иллюстраций общей структуры, приведенной выше.

Нелинейные когерентные состояния [ править ]

Широкий класс обобщений CCS получается простой модификацией их аналитической структуры. Позвольте быть бесконечной последовательности положительных чисел ( ). Определите и по соглашению установите . В том же пространстве Фока, в котором были описаны CCS, мы теперь определяем связанные деформированные или нелинейные когерентные состояния с помощью разложения${\displaystyle \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \ldots \leq \varepsilon _{n}\leq \ldots }$${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq 0}$${\displaystyle \varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}!=1}$

${\displaystyle \vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\;\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.}$

Коэффициент нормировки выбирается так, чтобы . Эти обобщенные когерентные состояния являются переполненными в пространстве Фока и удовлетворяют разрешению тождества${\displaystyle {\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})}$${\displaystyle \langle \alpha \vert \alpha \rangle =1}$

${\displaystyle \int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\;,}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$будучи открытым диском в комплексной плоскости радиуса , радиус сходимости ряда (в случае CCS,. ) В общем случае мера имеет форму (для ), где связана с условием сквозного момента.${\displaystyle L}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$${\displaystyle L=\infty }$${\displaystyle d\nu }$${\displaystyle d\theta \;d\lambda (r)}$${\displaystyle \alpha =re^{i\theta }}$${\displaystyle d\lambda }$${\displaystyle \varepsilon _{n}!}$

Мы снова видим, что для произвольного вектора в пространстве Фока функция имеет вид , где - аналитическая функция в области . Воспроизводящее ядро, связанное с этими когерентными состояниями, есть${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle }$${\displaystyle \Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\;.}$

Когерентные состояния Барута – Жирарделло [ править ]

По аналогии со случаем CCS, можно определить обобщенный оператор уничтожения по его действию на векторы :${\displaystyle A}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \;,}$

и сопряженный к нему оператор . Они действуют на состояния Фока как${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \;,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \;.}$

В зависимости от точных значений величин эти два оператора вместе с тождеством и всеми их коммутаторами могут генерировать широкий спектр алгебр, включая различные типы деформированных квантовых алгебр . Термин `` нелинейный '', часто применяемый к этим обобщенным когерентным состояниям, снова происходит из квантовой оптики, где многие такие семейства состояний используются при изучении взаимодействия между полем излучения и атомами, где сила самого взаимодействия зависит от частоты. излучения. Конечно, эти когерентные состояния, как правило, не обладают ни теоретико-групповыми свойствами, ни свойствами минимальной неопределенности CCS (могут быть и более общие).${\displaystyle \varepsilon _{n}}$${\displaystyle I}$

Операторы и определенного выше общего типа также известны как операторы лестничной диаграммы . Когда такие операторы появляются как генераторы представлений алгебр Ли, собственные векторы обычно называют когерентными состояниями Барута – Жирарделло . ^[5] Типичный пример получается из представлений алгебры Ли группы SU (1,1) в пространстве Фока .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\dagger }}$${\displaystyle A}$

Когерентные состояния Газо – Клаудера [ править ]

Неаналитическое расширение приведенного выше выражения нелинейных когерентных состояний часто используется для определения обобщенных когерентных состояний, связанных с физическими гамильтонианами, имеющими чисто точечные спектры. Эти когерентные состояния, известные как когерентные состояния Газо – Клаудера , помечены переменными действие-угол . ^[6] Предположим, что нам дан физический гамильтониан , т. Е. Он имеет собственные значения энергии и собственные векторы , которые, как мы предполагаем, образуют ортонормированный базис для гильбертова пространства состояний . Запишем собственные , как вводя последовательность безразмерных величин упорядоченных как: . Тогда для всех и${\displaystyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}|n\rangle \langle n|}$${\displaystyle E_{0}=0}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle E_{n}=\omega \varepsilon _{n}}$${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}}$${\displaystyle 0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\ldots \;}$${\displaystyle J\geq 0}$${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$когерентные состояния Газо – Клаудера определяются как

${\displaystyle |J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \;,}$

где снова - коэффициент нормализации, который оказывается зависимым только от. Эти когерентные состояния удовлетворяют условию временной устойчивости ,${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \;,}$

и личность действия ,

${\displaystyle \langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\;.}$

Хотя эти обобщенные когерентные состояния действительно образуют сверхполный набор , разрешение тождества обычно задается не интегральным соотношением, как выше, а вместо этого интегралом в смысле Бора, как это используется в теории почти периодических функций .${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

Фактически конструкция CS Газо – Клаудера может быть расширена на векторные CS и гамильтонианы с вырожденными спектрами, как показали Али и Багарелло. ^[7]

Когерентные состояния теплового ядра [ править ]

Другой тип когерентного состояния возникает при рассмотрении частицы, конфигурационного пространство является группой многообразия компактной группы Ли K . Холл представил когерентные состояния , в которых обычно Gaussian на евклидовом пространстве заменяется тепловым ядром на К . ^[8] Пространство параметров когерентных состояний - это « комплексификация » K; например, если K есть SU (n), то комплексификация SL ( n , C ). Эти когерентные состояния имеют разрешение идентичности, которое приводит к пространству Сигала-Баргмана над комплексификацией. Результаты Холла были распространены Стензелем на компактные симметрические пространства, включая сферы.^{[9] [10]} Когерентные состояния теплового ядра, в данном случае, были применены в теории квантовой гравитации Тиманом и его сотрудниками. ^[11] Хотя в построении участвуют две разные группы Ли, когерентные состояния теплового ядра не относятся к переломовскому типу.${\displaystyle K=\mathrm {SU} (2)}$

Теоретико-групповой подход [ править ]

Гилмор и Переломов независимо друг от друга осознали, что построение когерентных состояний иногда можно рассматривать как теоретико-групповую проблему. ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17]}

Чтобы убедиться в этом, вернемся ненадолго к случаю CCS. Действительно, там оператор смещения есть не что иное, как представитель в пространстве Фока элемента группы Гейзенберга (также называемой группой Вейля – Гейзенберга), алгебра Ли которой порождается элементами и . Однако прежде чем переходить к CCS, рассмотрим сначала общий случай.${\displaystyle D(\alpha )\;}$${\displaystyle X,\,P}$${\displaystyle I}$

Пусть - локально компактная группа, и предположим, что она имеет непрерывное неприводимое представление в гильбертовом пространстве с помощью унитарных операторов . Это представление называется квадратично интегрируемым, если существует ненулевой вектор, в котором интеграл${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$${\displaystyle U(g),\;g\in G}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$

${\displaystyle c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\;d\mu (g)}$

сходится. Вот левая инвариантная мера Хаара на . Вектор, для которого называется допустимым , и можно показать, что существование одного такого вектора гарантирует существование всего плотного множества таких векторов в . Кроме того, если группа является унимодулярной , то есть, если левым и правые инвариантными меры совпадают, то существование одного допустимого вектора означает , что каждый вектор является допустимым. Учитывая квадратично интегрируемое представление и допустимый вектор , определим векторы${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle c(\psi )<\infty }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\;U(g)|\psi \rangle ,{\mbox{ for all }}g\in G.}$

Эти векторы являются аналогами канонических когерентных состояний, записанных там в терминах представления группы Гейзенберга (однако см. Раздел о CS Гилмора-Переломова ниже). Далее можно показать, что разрешение тождества

${\displaystyle \int _{G}|g\rangle \langle g|\;d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}}$

держится . Таким образом, векторы составляют семейство обобщенных когерентных состояний. Функции для всех векторов в квадратично интегрируемы по мере, и множество таких функций, которые на самом деле непрерывны в топологии , образует замкнутое подпространство в . Кроме того, отображение является линейной изометрией между и и при этом изометрии представление $ U $ получает отображается в подпредставлению левого регулярного представления о на .${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle F(g)=\langle g|\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$${\displaystyle \phi \mapsto F}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$

Пример: вейвлеты [ править ]

Типичный пример приведенной выше конструкции - аффинная группа строки . Это группа всех 2 2 матриц типа,${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$${\displaystyle \times }$

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\;,}$

${\displaystyle a}$и быть действительными числами с . Также напишем , с действием на данный . Эта группа не унимодулярна, с левой инвариантной мерой, задаваемой (правая инвариантная мера есть ). Аффинная группа имеет унитарное неприводимое представление в гильбертовом пространстве . Векторы в являются измеримыми функциями действительной переменной, и (унитарные) операторы этого представления действуют на них как${\displaystyle b}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle g=(b,a)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (b,a)\cdot x=b+ax}$${\displaystyle d\mu (b,a)=a^{-2}\;db\;da}$${\displaystyle a^{-1}\;db\;da}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U(b,a)}$

${\displaystyle (U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\;\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\;\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\;.}$

Если - функция в такой, что ее преобразование Фурье удовлетворяет условию (допустимости)${\displaystyle \psi }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle {\widehat {\psi }}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\;dk<\infty \;,}$

то можно показать, что это допустимый вектор, т. е.

${\displaystyle c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\vert \langle \psi |U(b,a)\psi \rangle \vert ^{2}\;{\frac {db\;da}{a^{2}}}<\infty \;.}$

Таким образом, следуя изложенной выше общей конструкции, векторы

${\displaystyle |b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\;U(b,a)\psi \;,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}}$

определить семейство обобщенных когерентных состояний и получить разрешение тождества

${\displaystyle \int _{G_{\text{Aff}}}|b,a\rangle \langle b,a|\;{\frac {db\;da}{a^{2}}}=I}$

на . В литературе по анализу сигналов вектор, удовлетворяющий вышеуказанному условию допустимости, называется материнским вейвлетом, а обобщенные когерентные состояния называются вейвлетами . Затем сигналы идентифицируются векторами в и функция${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle |b,a\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$

${\displaystyle F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \;,}$

называется непрерывным вейвлет-преобразованием сигнала . ^{[18] [19]}${\displaystyle \varphi }$

Эту концепцию можно расширить до двух измерений, заменив группу так называемой группой подобия плоскости, которая состоит из смещений плоскости, поворотов и глобальных расширений. Полученные двумерные вейвлеты и некоторые их обобщения широко используются при обработке изображений .^[20]${\displaystyle G_{\text{Aff}}\;}$

Когерентные состояния Гилмора – Переломова [ править ]

Построения когерентных состояний с использованием описанных выше представлений групп недостаточно. Он уже не может дать CCS, поскольку они индексируются не элементами группы Гейзенберга , а скорее точками отношения последней к ее центру, причем именно это частное . Ключевое наблюдение состоит в том, что центр группы Гейзенберга оставляет вакуумный вектор инвариантным с точностью до фазы. Обобщая эту идею, Гилмор и Переломов ^{[12] [13] [14] [15]} рассматривают локально компактную группу и унитарное неприводимое представление группы в гильбертовом пространстве , не обязательно интегрируемые с квадратом. Зафиксируйте вектор в${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$, единичной нормы, и обозначим подгруппой, состоящей из всех элементов, которые оставляют ее инвариантной с точностью до фазы , т. е. ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle U(h)\mid \psi \rangle =e^{i\omega (h)}\mid \psi \rangle \,,}$

где - действительная функция от . Позвольте быть левое пространство смежности и произвольный элемент в . Выбирая представителя смежного класса , для каждого смежного класса мы определяем векторы${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h}$${\displaystyle X=G/H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g(x)\in G}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle |x\rangle =U(g(x))|\psi \rangle \in {\mathfrak {H}}.}$

Зависимость этих векторов от конкретного выбора представителя смежного класса носит фазовый характер. Действительно, если бы вместо этого мы взяли другого представителя для одного и того же смежного класса , то, поскольку для некоторых , мы бы имели . Следовательно, квантово-механически оба и представляют одно и то же физическое состояние, и, в частности, оператор проекции зависит только от смежного класса. Определенные таким образом векторы называются когерентными состояниями Гилмора – Переломова . Поскольку предполагается, что они неприводимы, множество всех этих векторов при пробеге плотно в${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)'\in G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)'=g(x)h}$${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle }$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle }$${\displaystyle |x\rangle \langle x|}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$. В этом определении обобщенных когерентных состояний не постулируется разрешение идентичности. Однако, если несет инвариантную меру, под естественным действием , и если формальный оператор, определенный как${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B=\int _{X}|x\rangle \langle x|\;d\mu (x)\;,}$

ограничен, то он обязательно кратен идентичности, и снова восстанавливается разрешение идентичности.

Когерентные состояния Гилмора – Переломова были обобщены на квантовые группы , но для этого мы обратимся к литературе. ^{[21] [22] [23] [24] [25] [26]}

Дальнейшее обобщение: когерентные состояния на смежных пространствах [ править ]

Конструкцию Переломова можно использовать для определения когерентных состояний любой локально компактной группы. С другой стороны, особенно в случае отказа конструкции Гилмора – Переломова, существуют другие конструкции обобщенных когерентных состояний, использующие представления групп, которые обобщают понятие квадратичной интегрируемости на однородные пространства группы. ^{[2] [3]}

Вкратце, в этом подходе каждый начинает с унитарного неприводимого представления и пытается найти вектор , подгруппу и секцию такие, что${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$

${\displaystyle \int _{G/H}|x\rangle \langle x|\;d\mu (x)=T\;,}$

где , - ограниченный положительный оператор с ограниченным обратным и - квазиинвариантная мера на . Не предполагается, что будет инвариантным до фазы под действием, и ясно, что лучшая ситуация - это когда является кратным тождеству. Хотя эта общая конструкция несколько техническая, она обладает огромной универсальностью для полупрямых групп продуктов типа , где - замкнутая подгруппа . Таким образом, это полезно для многих физически важных групп, таких как группа Пуанкаре или евклидова группа , которые не имеют квадратично интегрируемых представлений в смысле предыдущего определения. В частности, интегральное условие, определяющее оператор${\displaystyle |x\rangle =U(\sigma (x))|\psi \rangle }$${\displaystyle T\;}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle X=G/H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rtimes K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle T}$гарантирует, что любой вектор в может быть записан в терминах обобщенных когерентных состояний, а именно${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {H}}\;}$${\displaystyle |x\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \;d\mu (x)\;,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \;,}$

что является основной целью любых когерентных состояний.

Когерентные состояния: байесовская конструкция для квантования набора мер [ править ]

Теперь мы отойдем от стандартной ситуации и представим общий метод построения когерентных состояний, исходя из нескольких наблюдений за структурой этих объектов как суперпозиций собственных состояний некоторого самосопряженного оператора, как и гамильтониан гармонического осциллятора для стандартной системы координат. . Суть квантовой механики состоит в том, что эта суперпозиция имеет вероятностный привкус. Фактически, мы замечаем, что вероятностная структура канонических когерентных состояний включает два распределения вероятностей, которые лежат в основе их построения. Есть своего рода дуальность: распределение Пуассона, определяющее вероятность обнаружения возбуждений, когда квантовая система находится в когерентном состоянии , и гамма-распределение.${\displaystyle n}$${\displaystyle |z\rangle }$по набору комплексных параметров, точнее по диапазону квадрата радиальной переменной. Обобщение следует этой схеме двойственности. Пусть будет набор параметров, снабженный мерой и связанным с ней гильбертовым пространством комплекснозначных функций, квадратично интегрируемых по . Выберем в конечном или счетном ортонормированном множестве :${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}}$

${\displaystyle \langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.}$

В случае бесконечной счетности это множество должно подчиняться (решающему) условию конечности:

${\displaystyle 0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.}$

Пусть - сепарабельное комплексное гильбертово пространство с ортонормированным базисом во взаимно однозначном соответствии с элементами . Два приведенных выше условия подразумевают, что семейство нормированных когерентных состояний в , которые определяются формулой${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,}$

разрешает личность в :${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\,|x\rangle \langle x|=I_{\mathfrak {H}}\,.}$

Такое отношение позволяет нам реализовать когерентное состояние или квантование кадра набора параметров путем связывания с функцией, которая удовлетворяет соответствующим условиям, следующий оператор в  :${\displaystyle X}$${\displaystyle X\ni x\mapsto f(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\,|x\rangle \langle x|\,.}$

Оператор является симметричным, если он вещественен, и самосопряженным (как квадратичная форма), если он вещественен и полуограничен. Оригинал - это верхний символ , обычно неуникальный для оператора . Он будет называться классической наблюдаемой по отношению к семье , если так называемый нижний символ из , определяемый как ${\displaystyle A_{f}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}}$${\displaystyle A_{f}}$

${\displaystyle {\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.}$

имеет умеренные функциональные свойства, которые необходимо уточнить в соответствии с дополнительными топологическими свойствами, предоставленными исходному набору . Последний пункт этого построения пространства квантовых состояний касается его статистических аспектов. Между двумя распределениями вероятностей действительно существует взаимодействие:${\displaystyle X}$

(я) Для почти каждого , A дискретного распределения, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}}{{\mathcal {N}}(x)}}.}$

Эту вероятность можно рассматривать как относящиеся к экспериментам, проводимым над системой в рамках некоторого экспериментального протокола, с целью измерения спектральных значений определенного самосопряженного оператора , то есть квантовой наблюдаемой , действующей в дискретном спектральном разрешении и имеющей дискретное спектральное разрешение .${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}|e_{n}\rangle \langle e_{n}|}$

(ii) Для каждого , непрерывное распределение на , ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X,\mu )}$

${\displaystyle X\ni x\mapsto \vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,.}$

Здесь мы наблюдаем байесовскую двойственность, типичную для когерентных состояний. Есть две интерпретации: разрешение единства, подтвержденное когерентными состояниями, вводит предпочтительную априорную меру на множестве , которая является набором параметров дискретного распределения, причем само это распределение играет роль функции правдоподобия . Связанные дискретно проиндексированные непрерывные распределения становятся связанным условным апостериорным распределением . Следовательно, вероятностный подход к экспериментальным наблюдениям относительно должен служить ориентиром при выборе набора 's. Отметим, что непрерывное априорное распределение${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi _{n}(x)}$будет иметь отношение к квантованию, тогда как дискретное апостериорное характеризует измерение физического спектра, из которого построена когерентная суперпозиция квантовых состояний . ^[1]${\displaystyle |e_{n}\rangle }$

См. Также [ править ]

• Когерентные состояния
• Гипотеза Либа
• Квантование

Ссылки [ править ]