Лестничный оператор

В линейной алгебре (и ее приложении к квантовой механике ) повышающий или понижающий оператор (вместе известный как лестничные операторы ) - это оператор, который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор подъема иногда называют оператором создания , а оператор опускания - оператором уничтожения . Хорошо известные применения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента .

Терминология [ править ]

Существует некоторая путаница в отношении взаимосвязи между операторами восходящей и понижающей лестницы и операторами рождения и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля . Оператор рождения a _i^† увеличивает количество частиц в состоянии i , а соответствующий оператор уничтожения a _i уменьшает количество частиц в состоянии i . Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения оператора лестницы: увеличения или уменьшения собственного значения другого оператора (в данном случае оператора числа частиц ).

Путаница возникает из-за того, что термин оператор лестницы обычно используется для описания оператора, который действует для увеличения или уменьшения квантового числа, описывающего состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания / уничтожения QFT, требуется использование как оператора уничтожения для удаления частицы из начального состояния, так и оператора создания для добавления частицы в конечное состояние.

Термин «лестница оператор» также иногда используется в математике, в контексте теории алгебр Ли и в частности аффинных алгебр Ли , чтобы описать SU (2) подалгебры, из которого корневой системы и высокие модули веса может строиться с помощью операторов лестницы. ^[1] В частности, старший вес аннулируется повышающими операторами; остальная часть положительного корневого пространства получается путем многократного применения понижающих операторов (один набор лестничных операторов на подалгебру).

Общая формулировка [ править ]

Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное соотношение ,

{\ Displaystyle [N, X] = cX, \ quad}

для некоторого скалярного c . Если - собственное состояние N с уравнением на собственные значения, ${\ Displaystyle \ scriptstyle {| п \ rangle}}$

N|n\rangle =n|n\rangle ,\,

тогда оператор X действует таким образом, что сдвигает собственное значение на c : $\scriptstyle {|n\rangle }$

{\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}

Другими словами, если является собственным состоянием N с собственным значением n, то является собственным состоянием N с собственным значением n + c или равно нулю. Оператор X является оператором повышения для N, если c вещественно и положительно, и оператором понижения для N, если c вещественно и отрицательно. $\scriptstyle {|n\rangle }$ $\scriptstyle {X|n\rangle }$

Если N - эрмитов оператор, то c должен быть вещественным и эрмитово сопряженное к X подчиняется коммутационному соотношению:

[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad

В частности, если X - понижающий оператор для N, то X ^† является повышающим оператором для N, и наоборот .

Угловой момент [ править ]

Конкретное применение концепции оператора лестницы можно найти в квантово-механической трактовке углового момента . Для общего углового момента вектора , J , с компонентами, J _х , J _у и J _Z один определяет два лестничных операторов, J ₊ и J _- , ^[2]

J_{+}=J_{x}+iJ_{y},\quad

J_{-}=J_{x}-iJ_{y},\quad

где i - мнимая единица .

Коммутационное соотношение между декартовыми компонентами любого оператора углового момента задаются

[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},

где ε _ijk - символ Леви-Чивиты, и каждый из i , j и k может принимать любое из значений x , y и z .

Отсюда получаются коммутационные соотношения между лестничными операторами и J _z :

\left[J_{z},J_{\pm }\right]=\pm \hbar J_{\pm }\quad ,

\left[J_{+},J_{-}\right]=2\hbar J_{z}\quad .

(Технически это алгебра Ли ). ${{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )$

Свойства лестничных операторов можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J _z в данном состоянии,

{\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j\,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j\,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}

Сравните этот результат с

J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .\quad

Таким образом, можно сделать вывод, что это некоторый скаляр, умноженный на , $\scriptstyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }$ $\scriptstyle {|j\,m\pm 1\rangle }$

J_{+}|j\,m\rangle =\alpha |j\,m+1\rangle ,\quad

J_{-}|j\,m\rangle =\beta |j\,m-1\rangle .\quad

Это иллюстрирует определяющую особенность лестничных операторов в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, таким образом отображая одно квантовое состояние на другое. Это причина того, что их часто называют операторами повышения и понижения.

Чтобы получить значения α и β, сначала возьмем норму каждого оператора, учитывая, что J ₊ и J _- являются эрмитовой сопряженной парой ( ), $\scriptstyle {J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$

\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2}

,

\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}

.

Произведение лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J ² и J _z ,

J_{-}J_{+}=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},

J_{+}J_{-}=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.

Таким образом, можно выразить значения | α | ² и | β | ² в терминах собственных значений из J ² и J _г ,

|\alpha |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),

|\beta |^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).

Эти фазы на & alpha ; и β физически не существенные, таким образом , они могут быть выбраны , чтобы быть положительными и реальными ( фаза конвенцией Кондона-Шортли ). Тогда у нас есть: ^[3]

J_{+}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j\,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j\,m+1\rangle ,

J_{-}|j\,m\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j\,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j\,m-1\rangle .

Подтверждая, что m ограничено значением j ( ), имеем $\scriptstyle {-j\leq m\leq j}$

J_{+}|j\,j\rangle =0,\,

J_{-}|j\,(-j)\rangle =0.\,

Приведенная выше демонстрация фактически представляет собой построение коэффициентов Клебша-Гордана .

Приложения в атомной и молекулярной физике [ править ]

Многие члены гамильтонианов атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Пример является термином магнитного диполя в сверхтонком гамильтониане , ^[4]

{\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,\quad

где I - ядерный спин.

Алгебру углового момента часто можно упростить, преобразовав ее в сферический базис . Используя обозначения сферических тензорных операторов , компоненты «-1», «0» и «+1» J ⁽¹⁾ ≡ J задаются формулами, ^[5]

{\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}}\\J_{0}^{(1)}&=J_{z}\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}

Из этих определений можно показать, что указанное выше скалярное произведение может быть разложено как

\mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)},

Значение этого расширения является то , что он явно указывает , какие состояния связаны этим термином в гамильтониане, то есть те , с квантовыми числами , отличающимися на м _I = ± 1 и м _J = ∓1 только .

Гармонический осциллятор [ править ]

Другое применение концепции оператора лестницы можно найти в квантовомеханическом рассмотрении гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как

{\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}

Они предоставляют удобный способ извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциального уравнения системы.

Водородоподобный атом [ править ]

Другое применение концепции оператора лестницы можно найти в квантово-механической трактовке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. ^[6] Мы можем определить операторы понижения и повышения (на основе классического вектора Лапласа – Рунге – Ленца )

{\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}}

где - угловой момент, - линейный момент, - приведенная масса системы, - заряд электрона, - атомный номер ядра. Аналогично операторам лестницы углового момента есть и . ${\vec {L}}$ ${\vec {p}}$ $\mu$ $e$ $Z$ $A_{+}=A_{x}+iA_{y}$ $A_{-}=A_{x}-iA_{y}$

Для продолжения работы необходимы следующие коммутаторы:

[A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }

и

[A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }

.

Следовательно,

A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }>\rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1>

и

-L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell >\right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell >\right)

так

A_{+}|?,\ell ,\ell >\rightarrow |?,\ell +1,\ell +1>

где "?" указывает на возникающее квантовое число, которое появляется в результате обсуждения.

Учитывая уравнения Паули ^[7], уравнение Паули IV:

1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})

и уравнение Паули III:

\left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j}

и начиная с уравнения

A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}>=0

и расширяясь, получаем (при условии , что максимальное значение квантового числа углового момента согласуется со всеми другими условиями), $\ell ^{*}$

\left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}>=0

что приводит к формуле Ридберга :

E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}}

подразумевая, что , где - традиционное квантовое число. $\ell ^{*}+1\rightarrow n\rightarrow ?$ $n$

История [ править ]

Многие источники приписывают Дираку изобретение лестничных операторов. ^[8] Использование Дирака показывает , что лестничных операторов в полном угловой момент квантового число должно быть неотрицательным половина целым кратным ħ. $j$

См. Также [ править ]

Операторы создания и уничтожения
Квантовый гармонический осциллятор

Ссылки [ править ]

^ Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
^ де Ланж, О.Л .; Р. Э. Рааб (1986). «Лестничные операторы орбитального углового момента». Американский журнал физики . 54 (4): 372–375. Bibcode : 1986AmJPh..54..372D . DOI : 10.1119 / 1.14625 .
Перейти ↑ Sakurai, Jun J. (1994). Современная квантовая механика . Дели, Индия: Pearson Education, Inc., стр. 192. ISBN. 81-7808-006-0.
^ Вудгейт, Гордон К. (1983-10-06). Элементарная атомная структура . ISBN 978-0-19-851156-4. Проверено 3 марта 2009 .
^ «Операторы углового момента» . Заметки выпускника по квантовой механике . Университет Вирджинии . Проверено 6 апреля 2009 .
^ author = Дэвид, К.В., "Решение лестничного оператора для электронных уровней энергии атома водорода", Am. J. Phys., 34, 984, (1966) Burkhardt, CE, and Levanthal, J., "Векторные операции Ленца над собственными функциями сферических атомов водорода", Am. J. Phys., 72, 1013, (2004)
^ Вольфганг Паули, "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik", Z. Physik, 36, 336 (1926); Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, Довер, Нью-Йорк, 1968.
^ https://www.fisica.net/mecanica-quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf

[1] Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X

[Pena-2] де Ланж, О.Л .; Р. Э. Рааб (1986). «Лестничные операторы орбитального углового момента». Американский журнал физики . 54 (4): 372–375. Bibcode : 1986AmJPh..54..372D . DOI : 10.1119 / 1.14625 .

[3] Перейти ↑ Sakurai, Jun J. (1994). Современная квантовая механика . Дели, Индия: Pearson Education, Inc., стр. 192. ISBN. 81-7808-006-0.

[Woodgate2-4] Вудгейт, Гордон К. (1983-10-06). Элементарная атомная структура . ISBN 978-0-19-851156-4. Проверено 3 марта 2009 .

[Virginia-5] «Операторы углового момента» . Заметки выпускника по квантовой механике . Университет Вирджинии . Проверено 6 апреля 2009 .

[6] uthor = Дэвид, К.В., "Решение лестничного оператора для электронных уровней энергии атома водорода", Am. J. Phys., 34, 984, (1966) Burkhardt, CE, and Levanthal, J., "Векторные операции Ленца над собственными функциями сферических атомов водорода", Am. J. Phys., 72, 1013, (2004)

[7] Вольфганг Паули, "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik", Z. Physik, 36, 336 (1926); Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, Довер, Нью-Йорк, 1968.

[WEBB-8] ttps://www.fisica.net/mecanica-quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf

[1]