В математике , аффинная алгебра Ли является бесконечномерной алгеброй Ли , которая строится каноническим образом из конечномерной простой алгебры Ли . Это алгебра Каца – Муди, для которой обобщенная матрица Картана является положительно полуопределенной и имеет коранг 1. С чисто математической точки зрения аффинные алгебры Ли интересны тем, что их теория представлений , как и теория представлений конечномерной полупростой Ли. алгебр , гораздо лучше понят, чем общие алгебры Каца – Муди. Как заметил Виктор Кац , формула характерадля представлений аффинных алгебр Ли следует некоторые комбинаторные тождества, тождества Макдональда .
Аффинные алгебры Ли играют важную роль в теории струн и двумерной конформной теории поля благодаря способу их построения: начиная с простой алгебры Ли, рассматривается алгебра петель ,, образованный -значные функции на окружности (интерпретируемой как замкнутая струна) с поточечным коммутатором. Аффинная алгебра Липолучается путем добавления одного дополнительного измерения к алгебре петель и модификации коммутатора нетривиальным способом, который физики называют квантовой аномалией (в данном случае аномалией модели WZW ), а математики - центральным расширением . В более общем смысле, если σ - автоморфизм простой алгебры Лисвязанный с автоморфизмом его диаграммы Дынкина , скрученная алгебра петель состоит из -значные функции f на вещественной прямой, удовлетворяющие условию скрученной периодичности f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) . Их центральные расширения - это в точности скрученные аффинные алгебры Ли . Точка зрения теории струн помогает понять многие глубокие свойства аффинных алгебр Ли, такие как тот факт, что характеры их представлений трансформируются между собой в модулярной группе .
Аффинные алгебры Ли из простых алгебр Ли
Определение
Если - конечномерная простая алгебра Ли, соответствующая аффинная алгебра Ли строится как центральное расширение бесконечномерной алгебры Ли, с одномерным центром Как векторное пространство
где - комплексное векторное пространство многочленов Лорана от неопределенного t . Скобка Ли определяется формулой
для всех а также , где скобка Ли в алгебре Ли а также это форма Картана-Киллинга на
Аффинная алгебра Ли, соответствующая конечномерной полупростой алгебре Ли, является прямой суммой аффинных алгебр Ли, соответствующих ее простым слагаемым. Существует выдающийся вывод аффинной алгебры Ли, определяемый формулой
Соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди определяется как полупрямое произведение путем добавления дополнительного генератора d , удовлетворяющего [ d , A ] = δ ( A ).
Построение диаграмм Дынкина
Диаграмма Дынкина каждой аффинной алгебры Ли состоит из того из соответствующей простой алгебры Ли плюс дополнительного узла, который соответствует добавлению мнимого корня. Конечно, такой узел не может быть присоединен к диаграмме Дынкина просто в любом месте, но для каждой простой алгебры Ли существует количество возможных присоединений, равное мощности группы внешних автоморфизмов алгебры Ли. В частности, эта группа всегда содержит единичный элемент, и соответствующая аффинная алгебра Ли называется раскрученной аффинной алгеброй Ли. Когда простая алгебра допускает автоморфизмы, которые не являются внутренними автоморфизмами, можно получить другие диаграммы Дынкина, которые соответствуют скрученным аффинным алгебрам Ли.
Набор расширенных (раскрученных) аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами зеленого цвета | «Скрученные» аффинные формы обозначаются надстрочными индексами (2) или (3). ( k - количество узлов в графе) |
Классификация центральных пристроек
Присоединение лишнего узла к диаграмме Дынкина соответствующей простой алгебры Ли соответствует следующей конструкции. Аффинную алгебру Ли всегда можно построить как центральное расширение алгебры петель соответствующей простой алгебры Ли. Если вместо этого кто-то желает начать с полупростой алгебры Ли, то необходимо центрально расширить на количество элементов, равное количеству простых компонентов полупростой алгебры. В физике вместо этого часто рассматривают прямую сумму полупростой алгебры и абелевой алгебры. В этом случае также необходимо добавить еще n центральных элементов для n абелевых образующих.
Вторая целочисленная когомология группы петель соответствующей простой компактной группы Ли изоморфна целым числам. Центральные расширения аффинной группы Ли по одной образующей окружности топологически расслоения над этой свободной группой петель, которые классифицируются по два-классу , известных как первый Черна класс от расслоения . Поэтому центральные расширения аффинной группы Ли классифицируются одним параметром k, который в физической литературе называется уровнем , где он впервые появился. Унитарные представления со старшим весом аффинных компактных групп существуют только тогда, когда k - натуральное число. В более общем смысле, если рассматривать полупростую алгебру, для каждого простого компонента существует центральный заряд.
Теория представлений
Теория представлений аффинных алгебр Ли обычно разрабатывается с использованием модулей Верма . Как и в случае полупростых алгебр Ли, их можно получить как модули старшего веса . Нет конечномерных представлений; это следует из того факта, что нулевые векторы конечномерного модуля Верма обязательно равны нулю; тогда как для аффинных алгебр Ли - нет. Грубо говоря, это следует потому, что форма Киллинга лоренцева в направления, таким образом иногда называются «координатами светового конуса» на струне. «Радиально упорядоченные» продукты оператора тока можно понимать как обычные, упорядоченные по времени, если взять с участием времяподобное направление вдоль мирового листа струны и пространственное направление.
Группа Вейля и персонажи
Группа Вейля аффинной алгебры Ли может быть записана как полупрямое произведение группы Вейля алгебры нулевой моды (алгебры Ли, используемой для определения алгебры петель ) и решетки сопутствующих корней .
Характер формула Вейля из алгебраических символов аффинных Ли алгебры обобщается на формулы характеров Вейля-Кац . Из них следует ряд интересных построений. Можно построить обобщения тета-функции Якоби . Эти тета-функции преобразуются в модулярную группу . Обычные тождества знаменателя полупростых алгебр Ли также являются обобщением; поскольку символы могут быть записаны как «деформации» или q-аналоги с наибольшим весом, это привело ко многим новым комбинаторным тождествам, включая многие ранее неизвестные тождества для функции эта Дедекинда . Эти обобщения можно рассматривать как практический пример программы Ленглендса .
Приложения
Благодаря конструкции Сугавары универсальная обертывающая алгебра любой аффинной алгебры Ли имеет алгебру Вирасоро в качестве подалгебры. Это позволяет аффинным алгебрам Ли служить алгебрами симметрий конформных теорий поля, таких как модели WZW или смежные модели. Как следствие, аффинные алгебры Ли также появляются в описании мировой таблицы теории струн .
Рекомендации
- Di Francesco, P .; Mathieu, P .; Сенешаль, Д. (1997), Теория конформного поля , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94785-X
- Фукс, Юрген (1992), аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
- Годдард, Питер ; Олив, Дэвид (1988), алгебры Каца-Муди и Вирасоро: переиздание тома для физиков , расширенная серия по математической физике, 3 , World Scientific, ISBN 9971-5-0419-7 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Кац, Виктор (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Коно, Тошитаке (1998), конформная теория поля и топология , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2130-X
- Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), группы петель , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )