Алгебра петель

В математике , алгебры петель определенные типы алгебр Ли , представляющие особый интерес в теоретической физике .

Определение [ править ]

Если г есть алгебра Ли, то тензорное произведение из г с С ^∞ ( S ¹ ) , то алгебра из (комплексных) гладких функций по окружности коллектора S ¹ ( что эквивалентно, гладкие комплекснозначной периодические функции данного периода),

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (S ^ {1})}$,

является бесконечномерной алгеброй Ли со скобкой Ли, заданной формулой

${\ displaystyle [g_ {1} \ otimes f_ {1}, g_ {2} \ otimes f_ {2}] = [g_ {1}, g_ {2}] \ otimes f_ {1} f_ {2}}$.

Здесь g ₁ и g ₂ - элементы g, а f ₁ и f ₂ - элементы C ^∞ ( S ¹ ) .

Это не совсем то, что могло бы соответствовать прямому произведению бесконечного числа копий g , по одной для каждой точки в S ¹ , из-за ограничения гладкости. Вместо этого его можно рассматривать в терминах гладкого отображения от S ¹ до g ; другими словами, гладкий параметризованный цикл в g . Вот почему она называется алгеброй петель .

Группа петель [ править ]

Точно так же набор всех гладких отображений из S ¹ в группу Ли G образует бесконечномерную группу Ли (группу Ли в том смысле, что мы можем определить над ней функциональные производные ), называемую группой петель . Алгебра Ли группы петель - это соответствующая алгебра петель.

Преобразование Фурье [ править ]

Мы можем выполнить преобразование Фурье на этой алгебре петель, определив

${\ displaystyle g \ otimes t ^ {n}}$

в качестве

${\ displaystyle g \ otimes e ^ {- в \ sigma}}$

куда

0 ≤ σ <2π

является координатизацией S ¹ .

Приложения [ править ]

Если g - полупростая алгебра Ли , то нетривиальное центральное расширение ее алгебры петель порождает аффинную алгебру Ли .

Ссылки [ править ]

• Фукс, Юрген (1992), аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X