Действие Намбу – Гото - простейшее инвариантное действие в теории бозонных струн , оно также используется в других теориях, которые исследуют струноподобные объекты (например, космические струны ). Это отправная точка анализа поведения струны нулевой толщины (бесконечно тонкой) с использованием принципов лагранжевой механики . Так же , как действие для свободной точечной частицы пропорционально ее собственное время - то есть , «длина» его мировой линии - действия релятивистской струны пропорционально площадь листа которой строка следы , как он проходит через пространство.
Он назван в честь японских физиков Ёитиро Намбу и Тецуо Гото . [1]
Задний план
Релятивистская лагранжева механика
Основной принцип лагранжевой механики, принцип стационарного действия , заключается в том, что объект, подверженный внешним воздействиям, «выберет» путь, который делает определенную величину, действие , экстремумом. Действие - это функциональная математическая взаимосвязь, которая проходит весь путь и дает одно число. Физический путь , то , что на самом деле следует объект, это путь , по которому действие «стационарное» (или экстремальные): любое малое изменение пути от физической не существенно изменить действие. (Часто это эквивалентно тому, что физический путь - это тот, для которого действие минимально.) Действия обычно записываются с использованием лагранжианов, формул, которые зависят от состояния объекта в определенной точке пространства и / или времени. В нерелятивистской механике, например, лагранжиан точечной частицы - это разница между кинетической и потенциальной энергией:. Действие, часто написанное, тогда является интегралом этой величины от времени начала до времени окончания:
(Обычно при использовании лагранжианов мы предполагаем, что знаем начальную и конечную позиции частицы, и нас интересует путь, по которому частица перемещается между этими положениями.)
Такой подход к механике имеет то преимущество, что он легко расширяется и обобщается. Например, мы можем написать лагранжиан для релятивистской частицы, который будет действителен, даже если частица движется со скоростью, близкой к скорости света. Чтобы сохранить лоренц-инвариантность , действие должно зависеть только от величин, которые одинаковы для всех (лоренцевых) наблюдателей, то есть действие должно быть скаляром Лоренца . Самая простая такая величина - собственное время , время, измеряемое часами, которые несет частица. Согласно специальной теории относительности, все наблюдатели Лоренца, наблюдающие за движением частицы, будут вычислять одно и то же значение для величины
а также тогда будет бесконечно малым собственным временем. Для точечной частицы, не подверженной внешним силам ( т. Е. Частицы , движущейся по инерции), релятивистское действие равно
Мировые листы
Точно так же, как нульмерная точка очерчивает мировую линию на диаграмме пространства-времени, одномерная струна представлена мировым листом . Все мировые листы являются двумерными поверхностями, поэтому нам нужны два параметра, чтобы указать точку на мировом листе. Теоретики струн используют символы а также по этим параметрам. Оказывается, теории струн включают пространства более высоких измерений, чем привычный нам трехмерный мир; Теория бозонных струн требует 25 пространственных измерений и одной оси времени. Если - количество пространственных измерений, точку можно представить вектором
Мы описываем строку с помощью функций, которые отображают позицию в пространстве параметров (, ) в точку в пространстве-времени. Для каждого значения а также эти функции задают уникальный вектор пространства-времени:
Функции определить форму, которую принимает мировой лист. Различные наблюдатели Лоренца будут расходиться во мнениях относительно координат, которые они присваивают определенным точкам на мировом листе, но все они должны прийти к согласию относительно общей надлежащей площади, которую имеет мировой лист. Действие Намбу – Гото выбрано пропорционально этой общей надлежащей площади.
Позволять быть метрикой на -мерное пространство-время. Потом,
- индуцированная метрика на мировом листе, где а также .
Для области мирового листа выполняется следующее:
где а также
Используя обозначения, которые:
а также
можно переписать метрику :
действие Намбу – Гото определяется как [2]
где . Коэффициенты перед интегралом дают действию правильные единицы, энергию, умноженную на время. натяжение струны, а это скорость света. Обычно теоретики струн работают в «натуральных единицах», где установлен в 1 (вместе с постоянной Планка и постоянная Ньютона ). Также, отчасти по историческим причинам, они используют «параметр наклона». вместо . С этими изменениями действие Намбу – Гото становится
Эти две формы, конечно, полностью эквивалентны: выбор одной из них - вопрос условности и удобства.
Еще две эквивалентные формы:
а также
Обычно действие Намбу – Гото еще не имеет формы, подходящей для изучения квантовой физики струн. Для этого его нужно модифицировать аналогично действию точечной частицы. Это классически равно минус массе, умноженной на инвариантную длину в пространстве-времени, но должно быть заменено квадратичным выражением с тем же классическим значением. [3] Для струн аналоговая поправка обеспечивается действием Полякова , которое классически эквивалентно действию Намбу – Гото, но дает «правильную» квантовую теорию. Однако можно развить квантовую теорию на основе действия Намбу – Гото в калибровке светового конуса .
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Намбу, Йоитиро, Лекции на Копенгагенском летнем симпозиуме (1970), не опубликовано.
- ^ Zwiebach, Barton (2003). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521880329.
- ^ См. Главу 19стандартного учебника Кляйнерта по интегралам по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 5-е издание, World Scientific (Сингапур, 2009). Архивировано 24 апреля 2009 г. в Wayback Machine (также доступно в Интернете ).
дальнейшее чтение
- Ортин, Томас, Гравитация и струны , Кембриджские монографии, издательство Кембриджского университета (2004). ISBN 978-0-521-03546-0 .