Мембрана Дирака

Модель заряженной мембраны, представленная Полем Дираком в 1962 году. Первоначальной мотивацией Дирака было объяснение массы мюона как возбуждения основного состояния, соответствующего электрону . Предвидя рождение теории струн почти на десять лет, он первым представил то, что сейчас называется типом действия Намбу – Гото для мембран.

В модели мембраны Дирака отталкивающие электромагнитные силы на мембране уравновешиваются сжимающими силами, возникающими из-за положительного натяжения. В случае сферической мембраны классические уравнения движения подразумевают, что соблюдается баланс радиуса , где - классический радиус электрона . Используя условие квантования Бора – Зоммерфельда для гамильтониана сферически-симметричной мембраны, Дирак находит приближение массы, соответствующей первому возбуждению, как , где - масса электрона, которая составляет примерно четверть наблюдаемой массы мюона.${\ displaystyle 0.75r_ {e}}$${\ displaystyle r_ {e}}$${\ displaystyle 53m_ {e}}$${\ displaystyle m_ {e}}$

Принцип действия [ править ]

Дирак избрал нестандартный способ сформулировать принцип действия мембраны. Поскольку закрытые мембраны обеспечивают естественное разделение пространства на внутреннее и внешнее, существует особая криволинейная система координат в пространстве-времени и функция, такая, что ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle х ^ {\ му}}$${\ displaystyle f (x)}$

- определяет мембрану${\ displaystyle f (x) = 0}$

- , описать область вне или внутри мембраны${\ displaystyle f (x)> 0}$${\ displaystyle f (x) <0}$

Выбор и следующий калибр , , где , ( ) является внутренней параметризацией мембраны мирового объема, действие мембраны , предложенное Дираком является${\ Displaystyle х ^ {1} = е (х)}$${\displaystyle \sigma ^{0}=x^{0}=:\tau }$${\displaystyle \sigma ^{1}=x^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{3}}$${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

${\displaystyle S=S_{EM}+S_{membrane}}$

${\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{mem.}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}$

где индуцированная метрика и множители J и M имеют вид

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}$

${\displaystyle J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}}$

В приведенном выше случае они прямолинейны и ортогональны. Используемая пространственно-временная сигнатура (+, -, -, -). Обратите внимание, что это просто обычное действие для электромагнитного поля в криволинейной системе, в то время как это интеграл по мировому объему мембраны, то есть именно тот тип действия, который используется позже в теории струн.${\displaystyle y^{\Lambda }}$${\displaystyle S_{EM}}$${\displaystyle S_{membrane}}$

Уравнения движения [ править ]

Из вариации относительно и следуют 3 уравнения движения . Это: - вариация относительно - это приводит к уравнениям Максвелла без источника - вариация относительно - это дает следствие уравнений Максвелла - вариация относительно${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle y^{\Lambda }}$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle x_{1}>0}$${\displaystyle y^{\Lambda }}$${\displaystyle x_{1}>0}$${\displaystyle y^{\Lambda }}$${\displaystyle x_{1}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}$

Последнее уравнение имеет геометрическую интерпретацию: правая сторона пропорциональна кривизне мембраны. Для сферически-симметричного случая получаем

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}$

Следовательно, из условия баланса следует, где - радиус уравновешенной мембраны. Полная энергия для сферической мембраны радиусом равна${\displaystyle {\dot {\rho }}=0}$${\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\omega }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}$

и он минимален в равновесии при , следовательно . С другой стороны, полная энергия в равновесии должна быть (в единицах), и мы получаем .${\displaystyle \beta =\omega }$${\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a}$${\displaystyle m_{e}}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle a=0.75r_{e}}$

Гамильтонова формулировка [ править ]

Небольшие колебания относительно равновесия в сферически-симметричном случае подразумевают частоты - . Следовательно, переходя к квантовой теории, энергия одного кванта была бы . Это намного больше, чем масса мюона, но частоты отнюдь не малы, поэтому это приближение может не работать должным образом. Чтобы получить лучшую квантовую теорию, необходимо разработать гамильтониан системы и решить соответствующее уравнение Шредингера.${\displaystyle {\sqrt {6}}/a}$${\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}$

Для гамильтоновой формулировки Дирак вводит обобщенные импульсы

- для : и - импульсы, сопряженные с и соответственно ( , выбор координаты )${\displaystyle x^{1}>0}$${\displaystyle B^{\mu }}$${\displaystyle w_{R}}$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle y^{R}}$${\displaystyle R=1,2,3}$${\displaystyle x^{0}=y^{0}}$

- для : - импульсов, сопряженных с${\displaystyle x^{1}=0}$${\displaystyle W_{R}}$${\displaystyle y^{R}}$

Тогда можно заметить следующие ограничения

- для поля Максвелла

${\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}$

- для импульсов мембраны

${\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}$

где - обратная , .${\displaystyle c^{ab}}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle a,b=0,2,3}$

Эти ограничения необходимо учитывать при вычислении гамильтониана с использованием метода скобок Дирака . Результатом этого вычисления является гамильтониан вида

${\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}$

где - гамильтониан электромагнитного поля, записанный в криволинейной системе.${\displaystyle H_{EM}}$

Квантование [ править ]

Для сферически-симметричного движения гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}$

однако прямое квантование неясно из-за извлечения квадратного корня из дифференциального оператора. Чтобы получить дальнейшее развитие, Дирак рассматривает метод Бора-Зоммерфельда:

${\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }$

и находит для .${\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}}$${\displaystyle n=1}$

См. Также [ править ]

• Brane

Ссылки [ править ]

PAM Dirac, Расширенная модель электрона, Proc. Рой. Soc. A268, (1962) 57–67.