Скобка Дирака является обобщением скобки Пуассона , разработанным Дираком [1] для лечения классических систем с вторым родом в гамильтоновой механике , и , таким образом , чтобы они могли пройти каноническое квантование . Изящная работа с более общими лагранжианами - важная часть развития гамильтоновой механики Дираком ; в частности, когда есть ограничения, так что количество кажущихся переменных превышает количество динамических. [2] Говоря более абстрактно, двойная форма, вытекающая из скобки Дирака, является ограничением симплектической формык поверхности связи в фазовом пространстве . [3]
Эта статья предполагает знакомство со стандартными лагранжевым и гамильтоновым формализмами и их связь с каноническим квантованием . Подробности модифицированного гамильтонова формализма Дирака также суммируются, чтобы поместить скобку Дирака в контекст.
Неадекватность стандартной гамильтоновой процедуры
Стандартное развитие гамильтоновой механики неадекватно в нескольких конкретных ситуациях:
- Когда лагранжиан не более чем линейен по скорости хотя бы одной координаты; в этом случае определение канонического импульса приводит к ограничению . Это наиболее частая причина использования скобок Дирака. Например, лагранжиан (плотность) для любого фермиона имеет такой вид.
- Когда есть калибровочные (или другие нефизические) степени свободы, которые необходимо зафиксировать.
- Когда есть какие-либо другие ограничения, которые нужно наложить в фазовом пространстве.
Пример лагранжиана, линейного по скорости
Пример , в классической механике частица с зарядом ц и массами м замкнутом к й - у плоскости с сильной константой, однородное магнитное поле перпендикулярно, так , то указывающий в г -направления с прочностью B . [4]
Лагранжиан для этой системы при соответствующем выборе параметров равен
где - векторный потенциал магнитного поля,; c - скорость света в вакууме; и V () - произвольный внешний скалярный потенциал; можно легко принять его квадратичным по x и y без потери общности. Мы используем
как наш векторный потенциал; это соответствует однородному и постоянному магнитному полю B в направлении z . Здесь шляпы обозначают единичные векторы. Однако позже в статье они используются, чтобы отличить квантово-механические операторы от их классических аналогов. Использование должно быть ясно из контекста.
Явно лагранжиан составляет всего лишь
что приводит к уравнениям движения
Для гармонического потенциала градиент V составляет всего лишь координаты - ( x , y ) .
Теперь в пределе очень большого магнитного поля qB / mc ≫ 1 . Затем можно отбросить кинетический член, чтобы получить простой приближенный лагранжиан,
с уравнениями движения первого порядка
Обратите внимание, что этот приближенный лагранжиан линейен по скоростям , что является одним из условий, при которых стандартная гамильтонова процедура не работает. Хотя этот пример был мотивирован как приближение, рассматриваемый лагранжиан законен и приводит к непротиворечивым уравнениям движения в лагранжевом формализме.
Однако, следуя гамильтоновой процедуре, канонические импульсы, связанные с координатами, теперь равны
которые необычны тем, что не обратимы к скоростям; вместо этого они должны быть функциями координат: четыре переменные фазового пространства линейно зависимы, поэтому базис переменных является переполненным .
Затем преобразование Лежандра дает гамильтониан
Обратите внимание, что этот «наивный» гамильтониан не зависит от импульсов , а это означает, что уравнения движения (уравнения Гамильтона) несовместимы.
Гамильтонова процедура не работает. Можно попытаться решить эту проблему, исключив два из компонентов 4- мерного фазового пространства, скажем y и p y , до уменьшенного фазового пространства 2 измерений, которое иногда выражает координаты как импульсы, а иногда как координаты. Однако это не общее или строгое решение. Это доходит до сути вопроса: определение канонических импульсов подразумевает ограничение на фазовое пространство (между импульсами и координатами), которое никогда не принималось во внимание.
Обобщенная гамильтонова процедура
В лагранжевой механике, если система имеет голономные связи , то для их учета к лагранжиану обычно добавляются множители Лагранжа. Дополнительные члены исчезают, когда ограничения удовлетворяются, тем самым заставляя путь стационарного действия находиться на поверхности ограничения. В этом случае переход к гамильтонову формализму вводит ограничение на фазовое пространство в гамильтоновой механике, но решение аналогично.
Прежде чем продолжить, полезно понять понятия слабого равенства и сильного равенства . Две функции в фазовом пространстве, f и g , слабо равны, если они равны при выполнении ограничений, но не во всем фазовом пространстве , обозначенном f ≈ g . Если f и g равны независимо от выполнения ограничений, они называются строго равными, записывается f = g . Важно отметить, что для получения правильного ответа нельзя использовать слабые уравнения перед вычислением производных или скобок Пуассона .
Новая процедура работает следующим образом: начните с лагранжиана и определите канонические импульсы обычным способом. Некоторые из этих определений могут быть необратимыми и вместо этого дают ограничение в фазовом пространстве (как указано выше). Ограничения, полученные таким образом или наложенные с самого начала проблемы, называются первичными ограничениями . Ограничения, обозначенные φ j , должны слабо обращаться в нуль, φ j ( p, q ) ≈ 0 .
Далее, один находит наивным гамильтониан , Н , обычным способом с помощью преобразования Лежандра, точно так , как в приведенном выше примере. Обратите внимание, что гамильтониан всегда можно записать как функцию только от q s и p s, даже если скорости не могут быть преобразованы в функции импульсов.
Обобщение гамильтониана
Дирак утверждает, что мы должны обобщить гамильтониан (в некоторой степени аналогично методу множителей Лагранжа) на
где c j - не константы, а функции координат и импульсов. Поскольку этот новый гамильтониан является наиболее общей функцией координат и импульсов, слабо равной наивному гамильтониану, H * является самым широким обобщением гамильтониана из возможных, так что δH * ≈ δH, когда δφ j ≈ 0 .
Чтобы дополнительно прояснить c j , рассмотрим, как можно получить уравнения движения из наивного гамильтониана в стандартной процедуре. Можно расширить вариацию гамильтониана двумя способами и установить их равными (используя несколько сокращенную запись с подавленными индексами и суммами):
где второе равенство выполняется после упрощения с помощью уравнений движения Эйлера-Лагранжа и определения канонического импульса. Из этого равенства выводятся уравнения движения в гамильтоновом формализме:
где символ слабого равенства больше не отображается явно, поскольку по определению уравнения движения выполняются слабо. В данном контексте нельзя просто установить коэффициенты при δq и δp отдельно равными нулю, поскольку вариации в некоторой степени ограничены ограничениями. В частности, изменения должны касаться поверхности ограничения.
Можно продемонстрировать решение
для вариаций δq n и δp n, ограниченных ограничениями Φ j ≈ 0 (при условии, что ограничения удовлетворяют некоторым условиям регулярности ), как правило, [5]
где u m - произвольные функции.
Используя этот результат, уравнения движения принимают вид
где u k являются функциями координат и скоростей, которые, в принципе, могут быть определены из второго уравнения движения, приведенного выше.
Преобразование Лежандра между лагранжевым формализмом и гамильтоновым формализмом было сохранено за счет добавления новых переменных.
Условия согласованности
Уравнения движения становятся более компактными при использовании скобки Пуассона, поскольку если f является некоторой функцией координат и импульсов, то
если предположить, что скобка Пуассона с u k (функциями скорости) существует; это не вызывает проблем, так как вклад слабо исчезает. Итак, есть некоторые условия согласованности, которые должны быть выполнены, чтобы этот формализм имел смысл. Если ограничения будут выполнены, то их уравнения движения должны слабо обращаться в нуль, то есть нам потребуется
Существует четыре различных типа условий, которые могут возникнуть в результате вышеизложенного:
- Уравнение, которое изначально неверно, например 1 = 0 .
- Уравнение, которое одинаково верно, возможно, после использования одного из наших основных ограничений.
- Уравнение, которое накладывает новые ограничения на наши координаты и импульсы, но не зависит от u k .
- Уравнение, которое служит для определения u k .
Первый случай показывает, что исходный лагранжиан дает противоречивые уравнения движения, например L = q . Второй случай не привносит ничего нового.
Третий случай дает новые ограничения в фазовом пространстве. Ограничение, полученное таким образом, называется вторичным ограничением . После нахождения вторичного ограничения необходимо добавить его к расширенному гамильтониану и проверить новые условия согласованности, которые могут привести к еще большему количеству ограничений. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока не исчезнут ограничения. Различие между первичными и вторичными ограничениями является в значительной степени искусственным (т.е. ограничение для одной и той же системы может быть первичным или вторичным в зависимости от лагранжиана), поэтому в этой статье не проводится различий между ними с этого момента. Предполагая, что условие согласованности повторяется до тех пор, пока не будут найдены все ограничения, φ j проиндексирует их все. Обратите внимание, что в этой статье вторичное ограничение используется для обозначения любого ограничения, которое не было изначально в задаче или получено из определения канонических импульсов; некоторые авторы различают вторичные ограничения, третичные ограничения и так далее.
Наконец, последний случай помогает исправить u k . Если в конце этого процесса u k не определены полностью, это означает, что в системе есть нефизические (калибровочные) степени свободы. После того, как все ограничения (первичные и вторичные) добавлены к наивному гамильтониану и включены решения условий согласованности для u k , результат называется полным гамильтонианом .
Определение u k
У к должен решить множество неоднородных линейных уравнений вида
Вышеприведенное уравнение должно иметь хотя бы одно решение, иначе исходный лагранжиан несовместим; однако в системах с калибровочными степенями свободы решение не будет единственным. Наиболее общее решение имеет вид
где U k - частное решение, а V k - наиболее общее решение однородного уравнения
Наиболее общее решение будет линейной комбинацией линейно независимых решений вышеуказанного однородного уравнения. Количество линейно независимых решений равно количеству u k (что совпадает с количеством ограничений) за вычетом количества условий согласованности четвертого типа (в предыдущем подразделе). Это количество нефизических степеней свободы в системе. Обозначая линейно независимые решения V k a, где индекс a изменяется от 1 до числа нефизических степеней свободы, общее решение условий согласованности имеет вид
где v a - совершенно произвольные функции времени. Другой выбор v a соответствует калибровочному преобразованию и должен оставить физическое состояние системы неизменным. [6]
Полный гамильтониан
Здесь естественно ввести полный гамильтониан
и что обозначается
Временная эволюция функции на фазовом пространстве f определяется соотношением
Позже вводится расширенный гамильтониан. Для калибровочно-инвариантных (физически измеримых величин) величин все гамильтонианы должны давать одинаковую эволюцию во времени, поскольку все они слабо эквивалентны. Это различие становится важным только для неинвариантных величин.
Скобка Дирака
Выше все, что нужно, чтобы найти уравнения движения в модифицированной гамильтоновой процедуре Дирака. Однако наличие уравнений движения не является конечной точкой теоретических размышлений. Если кто-то хочет канонически квантовать общую систему, ему нужны скобки Дирака. Перед определением скобок Дирака необходимо ввести ограничения первого и второго класса .
Назовем функцию координат и импульсов f (q, p) первым классом, если ее скобка Пуассона со всеми ограничениями слабо равна нулю, т. Е.
для всех j . Обратите внимание, что единственными величинами, которые слабо обращаются в нуль, являются ограничения φ j , и поэтому все, что слабо обращается в нуль, должно быть строго равным линейной комбинации ограничений. Можно показать, что скобка Пуассона двух величин первого класса также должна быть первоклассной. Ограничения первого класса тесно связаны с нефизическими степенями свободы, упомянутыми ранее. А именно, количество независимых ограничений первого класса равно количеству нефизических степеней свободы, и, кроме того, первичные ограничения первого класса генерируют калибровочные преобразования. Далее Дирак постулировал, что все вторичные ограничения первого класса являются генераторами калибровочных преобразований, что оказалось ложным; однако, как правило, предполагается, что все ограничения первого класса генерируют калибровочные преобразования при использовании этой обработки. [7]
Когда вторичные ограничения первого класса добавляются в гамильтониан с произвольным v a в качестве первичных ограничений первого класса, добавляются для получения полного гамильтониана, тогда получается расширенный гамильтониан . Расширенный гамильтониан дает наиболее общую возможную временную эволюцию для любых калибровочно-зависимых величин и может фактически обобщать уравнения движения из уравнений лагранжевого формализма.
Для целей введения скобки Дирака более непосредственный интерес представляют ограничения второго класса . Ограничения второго класса - это ограничения, которые имеют ненулевую скобку Пуассона по крайней мере с одним другим ограничением.
Например, рассмотрим ограничения φ 1 и φ 2 , скобка Пуассона которых является просто константой c ,
Теперь предположим, что кто-то хочет использовать каноническое квантование, тогда координаты фазового пространства становятся операторами, коммутаторы которых становятся в iħ раз их классической скобкой Пуассона. Если предположить, что нет проблем с упорядочением, которые приводят к новым квантовым поправкам, это означает, что
где шляпы подчеркивают тот факт, что ограничения накладываются на операторов.
С одной стороны, каноническое квантование дает указанное выше коммутационное соотношение, но с другой стороны, φ 1 и φ 2 являются ограничениями, которые должны исчезнуть в физических состояниях, тогда как правая часть не может исчезнуть. Этот пример иллюстрирует необходимость некоторого обобщения скобки Пуассона, учитывающего ограничения системы и приводящего к последовательной процедуре квантования. Эта новая скобка должна быть билинейной, антисимметричной, удовлетворять тождеству Якоби, как и скобка Пуассона, сводиться к скобке Пуассона для неограниченных систем и, кроме того, скобка любого ограничения с любой другой величиной должна исчезнуть .
На этом этапе ограничения второго класса будут помечены а . Определите матрицу с записями
В этом случае скобка Дирака двух функций на фазовом пространстве f и g определяется как
где M −1 ab обозначает элемент ab обратной матрицы M. Дирак доказал, что M всегда будет обратимым .
Несложно проверить, что приведенное выше определение скобки Дирака удовлетворяет всем желаемым свойствам, особенно последнему, - обращению в нуль для аргумента, являющегося ограничением.
При применении канонического квантования к гамильтоновой системе со связями коммутатор операторов заменяется в iħ раз их классической скобкой Дирака . Поскольку скобка Дирака учитывает ограничения, не нужно быть осторожным при оценке всех скобок перед использованием каких-либо слабых уравнений, как в случае со скобкой Пуассона.
Заметим, что хотя скобка Пуассона бозонных (четных грассмановых) переменных сама с собой должна равняться нулю, скобка Пуассона фермионов, представленных как переменные Грассмана с самой собой, не должна исчезать. Это означает , что в фермионном случае это возможно, чтобы было нечетное число второго рода.
Иллюстрация к приведенному примеру
Возвращаясь к приведенному выше примеру, наивный гамильтониан и два основных ограничения таковы:
Следовательно, расширенный гамильтониан можно записать
Следующим шагом является применение условий согласованности { Φ j , H * } PB ≈ 0 , которые в этом случае становятся
Это не второстепенные ограничения, а условия, которые фиксируют u 1 и u 2 . Следовательно, нет никаких вторичных ограничений, а произвольные коэффициенты полностью определены, что указывает на отсутствие нефизических степеней свободы.
Если подставить значения u 1 и u 2 , то можно увидеть, что уравнения движения имеют вид
которые самосогласованы и совпадают с лагранжевыми уравнениями движения.
Простой расчет подтверждает, что φ 1 и φ 2 являются ограничениями второго класса, поскольку
следовательно, матрица выглядит как
который легко инвертируется в
где ε ab - символ Леви-Чивиты . Таким образом, скобки Дирака определяются как
Если всегда использовать скобку Дирака вместо скобки Пуассона, то нет проблемы с порядком применения ограничений и вычисления выражений, поскольку скобка Дирака для чего-либо слабо нулевого сильно равна нулю. Это означает, что вместо этого можно просто использовать наивный гамильтониан со скобками Дирака, чтобы таким образом получить правильные уравнения движения, которые можно легко подтвердить на приведенных выше.
Для квантования системы необходимы скобки Дирака между всеми переменными фазового пространства. Ненулевые скобки Дирака для этой системы:
в то время как перекрестные члены исчезают, и
Следовательно, правильная реализация канонического квантования диктует коммутационные соотношения,
с исчезновением перекрестных членов, и
В этом примере есть ненулевой коммутатор между а также , что означает, что эта структура задает некоммутативную геометрию . (Поскольку две координаты не коммутируют, будет действовать принцип неопределенности для положений x и y .)
Дальнейшие иллюстрации гиперсферы
Аналогично, для свободного движения на гиперсфере S n , координаты n + 1 ограничены, x i x i = 1 . Из простого кинетического лагранжиана видно, что их импульсы перпендикулярны им, x i p i = 0 . Таким образом, соответствующие скобки Дирака также легко вычислить [8].
( 2 n + 1) ограниченные переменные фазового пространства ( x i , p i ) подчиняются гораздо более простым скобкам Дирака, чем 2 n неограниченных переменных, если бы одна исключила одну из x s и одну из p s с помощью двух ограничений ab initio, который подчинялся бы простым скобкам Пуассона. Скобки Дирака добавляют простоту и элегантность за счет чрезмерных (ограниченных) переменных фазового пространства.
Например, для свободного движения по окружности, n = 1 , для x 1 ≡ z и исключение x 2 из ограничения окружности дает неограниченное
с уравнениями движения
колебание; в то время как эквивалентная условная система с Н = р - 2 = / E урожайность
откуда мгновенно, практически на глаз, колебания обеих переменных,
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Dirac, PAM (1950). «Обобщенная гамильтонова динамика». Канадский математический журнал . 2 : 129–014. DOI : 10,4153 / CJM-1950-012-1 .
- ^ Дирак, Поль AM (1964). Лекции по квантовой механике . Серия монографий Белферской высшей школы естественных наук. 2 . Belfer Graduate School of Science, Нью-Йорк. ISBN 9780486417134. Руководство по ремонту 2220894 .; Дувр, ISBN 0486417131 .
- ^ См. Страницы 48-58 гл. 2 в Henneaux, Марк и Тейтельбойм, Клаудио, Квантование калибровочных систем . Издательство Принстонского университета, 1992. ISBN 0-691-08775-X
- ^ Dunne, G .; Jackiw, R .; Pi, SY; Trugenberger, C. (1991). «Автодуальные солитоны Черна-Саймонса и двумерные нелинейные уравнения». Physical Review D . 43 (4): 1332. Bibcode : 1991PhRvD..43.1332D . DOI : 10.1103 / PhysRevD.43.1332 .
- ^ См. Страницу 8 в Хенно и Тейтельбойм в ссылках.
- ^ Вайнберг, Стивен, Квантовая теория полей , том 1. Издательство Кембриджского университета, 1995. ISBN 0-521-55001-7
- ^ См. Henneaux и Teitelboim, страницы 18-19.
- ^ Corrigan, E .; Захос, СК (1979). «Нелокальные заряды для суперсимметричной σ-модели». Физика Письма Б . 88 (3-4): 273. Bibcode : 1979PhLB ... 88..273C . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (79) 90465-9 .