Векторный потенциал

В векторном исчислении , А векторный потенциал является векторным полем которого ротор является заданным векторным полем. Это аналог скалярного потенциала , который представляет собой скалярное поле, градиент которого является заданным векторным полем.

Формально, учитывая векторное поле v , векторный потенциал - это векторное поле A такое, что

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

Следствие [ править ]

Если векторное поле v допускает векторный потенциал A , то из равенства

{\ Displaystyle \ набла \ cdot (\ набла \ раз \ mathbf {A}) = 0}

( Расхождение в завиток равен нулю), получаем

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0,}

откуда следует, что v должно быть соленоидальным векторным полем .

Позволять

{\ Displaystyle \ mathbf {v}: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

- соленоидальное векторное поле, дважды непрерывно дифференцируемое . Предположим, что v ( x ) убывает достаточно быстро при || х || → ∞. Определять

{\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ nabla _ { y} \ times \ mathbf {v} (\ mathbf {y})} {\ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ |}} \, d ^ {3} \ mathbf {y }.}

Тогда A - векторный потенциал для v , т. Е.

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {v}.}

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, в котором говорится, что любое векторное поле может быть разложено как сумму соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .

Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не уникален. Если A - векторный потенциал для v , то также

\mathbf {A} +\nabla f,

где f - любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это следует из того, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность приводит к определенной степени свободы в формулировке электродинамики или калибровочной свободе и требует выбора калибровки .