Соленоидальное векторное поле

Пример соленоидального векторного поля, ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (х, y) = (y, -x)}$

В векторном исчислении в соленоидальном векторном поле (также известный как несжимаемое векторное поле , в бездивергентном векторном поле , или поперечные векторное поле ) представляет собой векторное поле v с расходимостью нулевого во всех точках в области:

${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {v} = 0. \,}$

Обычный способ выразить это свойство - сказать, что поле не имеет источников или стоков. ^{[примечание 1]}

Свойства [ править ]

Теорема о расходимости дает эквивалентное интегральное определение соленоидального поля; а именно, что для любой замкнутой поверхности чистый полный поток через поверхность должен быть равен нулю:

${\ Displaystyle \ \ \ \ mathbf {v} \ cdot \, d \ mathbf {S} = 0}$,

где - внешняя нормаль к каждому элементу поверхности.${\ displaystyle d \ mathbf {S}}$

Основная теорема векторного исчисления утверждает , что любое векторное поле можно представить в виде суммы безвихревым и вихревого поля. Условие нулевой дивергенции выполняется всякий раз, когда векторное поле v имеет только компоненту векторного потенциала , потому что определение векторного потенциала A как:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ набла \ раз \ mathbf {A}}$

автоматически приводит к идентичности (как можно показать, например, используя декартовы координаты):

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0.}$

Обратное утверждение: для любого соленоидального V существует векторный потенциал A таких , что (Строго говоря, это имеет предмет для определенных технических условий на V , см разложения Гельмгольца .)${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}$

Этимология [ править ]

«Соленоид » происходит от греческого слова « соленоид» - σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), что означает «труба», от σωλην (sōlēn) или труба. В данном контексте «соленоид» означает «ограниченный, как если бы он был в трубе, то есть с фиксированным объемом».

Примеры [ править ]

• Магнитное поле B (см уравнений Максвелла )
• Скорость поля в несжимаемой жидкости
• Завихренности поля
• Электрическое поле Е в нейтральных областях ( );${\ displaystyle \ rho _ {e} = 0}$
• Плотность тока J при неизменной плотности заряда .${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho _ {e}} {\ partial t}} = 0}$
• Магнитный векторный потенциал в кулоновской калибровке

См. Также [ править ]

• Продольные и поперечные векторные поля
• Функция потока
• Консервативное векторное поле

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Дувр, ISBN 0-486-66110-5