Разложение Гельмгольца

В физике и математике , в области векторного исчисления , теоремы Гельмгольца , ^{[1] [2]} также известный как основная теорема векторного исчисления , ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9]} утверждает , что любое достаточно гладкое , быстро распадающийся векторное поле в трех измерениях может быть разложено на сумму в безвихревом ( завитке -бесплатно) векторном поле и соленоидальный ( дивергенции -free) векторное поле; это известно какРазложение Гельмгольца или представление Гельмгольца . Он назван в честь Германа фон Гельмгольца . ^[10]

Поскольку у безвихревого векторного поля есть скалярный потенциал, а у соленоидального векторного поля есть векторный потенциал , разложение Гельмгольца утверждает, что векторное поле (удовлетворяющее соответствующим условиям гладкости и убывания) может быть разложено как сумма вида , где - скалярное поле называется «скалярный потенциал», а A - векторное поле, называемое векторным потенциалом.${\ Displaystyle - \ набла \ фи + \ набла \ раз \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ phi}$

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть - векторное поле на ограниченной области , которая дважды непрерывно дифференцируема, и пусть - поверхность, охватывающая область . Затем его можно разложить на компонент без завитков и компонент без дивергенции: ^[11]${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle V \ substeq \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla \ Phi + \ nabla \ times \ mathbf {A},}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$

и является оператором набла относительно , not .${\displaystyle \nabla '}$${\displaystyle \mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Если и поэтому неограничен и исчезает быстрее, чем as , то ^[12]${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$

Вывод [ править ]

Предположим, что у нас есть вектор-функция, для которой нам известны ротор, и расходимость , в области и поля на границе. Написание функции с использованием дельта-функции в форме${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$

${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ ,}$

где - оператор Лапласа, имеем${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$

где мы использовали определение векторного лапласиана :

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$

дифференцирование / интегрирование по и в последней строке, линейность аргументов функции:${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$

${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$

Тогда с помощью векторных тождеств

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Благодаря теореме о расходимости уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$

с нормалью внешней поверхности .${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Определение

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

окончательно получаем

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$является функцией Грина для лапласиана , и в более общих условиях ее следует заменить соответствующей функцией Грина - например, в двух измерениях ее следует заменить на . Для более высокомерного обобщения см. Обсуждение разложения Ходжа ниже .${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Другой вывод из преобразования Фурье [ править ]

Обратите внимание, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если не определено в ограниченной области, то будет убывать быстрее, чем . Таким образом, гарантируется существование преобразования Фурье , обозначаемого как . Мы применяем соглашение${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$

Преобразование Фурье скалярного поля - это скалярное поле, а преобразование Фурье векторного поля - это векторное поле той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Поля с заданными расхождениями и завитками [ править ]

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Пусть C - соленоидальное векторное поле, а d - скалярное поле на R ^3, которое достаточно гладкое и обращается в нуль быстрее, чем 1 / r ² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$

если дополнительно векторное поле F обращается в нуль при r → ∞ , то F единственно. ^[12]

Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если оно также обращается в нуль на бесконечности, оно однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике , поскольку уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей в статическом случае относятся именно к этому типу. ^[12] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$

где представляет собой оператор потенциала Ньютона . (При воздействии на векторное поле, такое как ∇ × F , определено, что оно действует на каждый компонент.)${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Дифференциальные формы [ править ]

Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, обобщения векторных полей на R ³ до дифференциальных форм на риманова многообразия М . Большинство формулировок разложения Ходжа требует, чтобы M была компактной . ^[13] Поскольку это неверно для R ³ , теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.

Слабая формулировка [ править ]

Разложение Гельмгольца также можно обобщить, уменьшив предположения регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω - ограниченная односвязная липшицева область . Любое суммируемое с квадратом векторное поле u ∈ ( L ² (Ω)) ³ имеет ортогональное разложение:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

где φ находится в пространстве Соболева H ¹ (Ω) суммируемых с квадратом функций на Ω , частные производные которых, определенные в смысле распределения , интегрируемы с квадратом, а A ∈ H (rot, Ω) - пространство векторных полей Соболева, состоящее из квадратов интегрируемые векторные поля с квадратично интегрируемым ротором.

Для чуть более гладкого векторного поля u ∈ H (curl, Ω) справедливо аналогичное разложение:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$

где φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

Продольные и поперечные поля [ править ]

Терминология, часто используемая в физике, относится к безвихревой составляющей векторного поля как к продольной составляющей и к бездивергентной составляющей как к поперечной составляющей . ^[14] Эта терминология происходит от следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье векторного поля . Затем разложите это поле в каждой точке k на две составляющие, одна из которых указывает продольно, то есть параллельно k , а другая - в поперечном направлении, то есть перпендикулярно k . Пока у нас есть${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждой из этих компонент. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$

Поскольку и ,${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

мы можем получить

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

так что это действительно разложение Гельмгольца. ^[15]

См. Также [ править ]

• Представление Клебша для связанной декомпозиции векторных полей
• Лагранжиан Дарвина для приложения
• Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты .${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Скалярно-векторно-тензорное разложение

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

Ссылки на слабую формулировку [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема Гельмгольца о MathWorld