В векторном исчислении , А консервативно векторное поле является векторным полем , то есть градиент некоторой функции . [1] Консервативные векторные поля обладают тем свойством, что линейный интеграл не зависит от пути; выбор любого пути между двумя точками не меняет значения линейного интеграла . Независимость от траектории линейного интеграла эквивалентна консервативности векторного поля. Консервативное векторное поле также является безвихревым ; в трех измерениях это означает, что у него исчезающий локон . Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что областьпросто связано .
Консервативные векторные поля естественным образом возникают в механике : они являются векторными полями , представляющих силы из физических систем , в которых энергия является консервативной . [2] Для консервативной системы работа, выполняемая при перемещении по пути в конфигурационном пространстве, зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальную энергию, которая не зависит от фактического пройденного пути.
Неформальное обращение
В двумерном и трехмерном пространстве существует двусмысленность в принятии интеграла между двумя точками, поскольку между двумя точками существует бесконечно много путей - помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно было бы выбрать криволинейный путь большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, как правило, значение интеграла зависит от пройденного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от пройденного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов.у которых нет компонента вдоль прямой линии между двумя точками. Чтобы визуализировать это, представьте, что два человека поднимаются на скалу; один решает взобраться на утес, поднимаясь по нему вертикально, а второй решает пройти по извилистой тропе, длина которой превышает высоту обрыва, но только под небольшим углом к горизонтали. Хотя два туриста выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину утеса, на вершине они оба наберут одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии. Это потому, что гравитационное поле консервативно. В качестве примера неконсервативного поля представьте, что вы толкаете коробку из одного конца комнаты в другой. Чтобы протолкнуть коробку по прямой линии через комнату, нужно заметно меньше работать против трения, чем по изогнутой дорожке, покрывающей большее расстояние.
Интуитивное объяснение
Картина М.С. Эшера « Восходящий и нисходящий» иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент переменной высоты над землей при движении по лестнице. Это вращательное движение в том смысле, что человек может продолжать подниматься выше или продолжать опускаться, двигаясь по кругу. Это неконсервативно в том смысле, что при подъеме можно вернуться к исходной точке, более чем на один спуск или наоборот. На реальной лестнице высота над землей представляет собой скалярное потенциальное поле: если человек возвращается в то же место, он поднимается вверх ровно столько, сколько спускается вниз. Его градиент будет консервативным векторным полем и является безвихревым. Ситуация, изображенная на картине, невозможна.
Определение
Векторное поле , где открытое подмножество , называется консервативным тогда и только тогда, когда существует скалярное поле на такой, что
Здесь, обозначает градиент от. Когда приведенное выше уравнение выполняется,называется скалярным потенциалом для.
Основная теорема векторного исчисления утверждает , что любое векторное поле можно представить в виде суммы консервативного векторного поля и вихревого поля .
Независимость от пути
Ключевое свойство консервативного векторного поля состоит в том, что его интеграл вдоль пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного маршрута. Предположим, что это исправляемый путь в с начальной точкой и конечная точка . Если для некоторых скалярное поле чтобы является консервативным векторным полем, то градиентная теорема утверждает, что
Это справедливо как следствие цепного правила и фундаментальной теоремы исчисления .
Эквивалентная формулировка этого состоит в том, что
для каждого исправляемого простого замкнутого пути в . Обратное утверждение также верно: Если циркуляция в вокруг каждого исправляемого простого замкнутого пути в является , тогда - консервативное векторное поле.
Безвихревые векторные поля
Позволять , и разреши быть векторное поле, с открыт как всегда. потомназывается безвихревым тогда и только тогда , когда ее ротор является везде в , т. е. если
По этой причине такие векторные поля иногда называют векторными полями без завитков или векторными полями без завитков . Их также называют продольными векторными полями .
Это тождество векторного исчисления, которое для любого скалярное поле на , у нас есть
Поэтому каждый консервативное векторное поле на также является безвихревым векторным полем на .
При условии, что это просто связано , обратное это также верно: Каждый безвихревым векторное поле на это консервативное векторное поле на .
Выше утверждение не верно в общем , еслине просто связано. Позволять быть с -ось удалена, т. е. . Теперь определим векторное поле на от
потом имеет нулевой ротор всюду в , т.е. безвихревый. Однако тираж вокруг единичного круга в -самолет . Действительно, заметим , что в полярных координатах ,, поэтому интеграл по единичной окружности равен
Следовательно, не имеет свойства независимости пути, о котором говорилось выше, и не является консервативным.
В односвязной открытой области безвихревое векторное поле обладает свойством независимости от пути. Это можно увидеть, отметив, что в такой области безвихревое векторное поле является консервативным, а консервативные векторные поля обладают свойством независимости от пути. Результат также может быть доказан непосредственно с помощью теоремы Стокса . В односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути, также должно быть безвихревым.
Говоря более абстрактно, при наличии римановой метрики векторные поля соответствуют дифференциальным-форм . Консервативные векторные поля соответствуют точному -forms , то есть к формам, которые являются внешней производной функции (скалярное поле) на . Безвихревые векторные поля соответствуют замкнутым -форм , то есть к-формы такой, что . В виде, любая точная форма замкнута, поэтому любое консервативное векторное поле является безвихревым. Наоборот, все закрыто-формы точны, еслиэто просто связано .
Завихренность
завихренности векторного поля можно определить как:
Завихренность безвихревого поля везде равна нулю. [3] Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что жидкость, которая является безвихревой в невязком потоке , останется безвихревой. Этот результат может быть получен из уравнения переноса завихренности , полученного путем взятия ротора из уравнений Навье-Стокса.
Для двумерного поля завихренность действует как мера локального вращения жидких элементов. Обратите внимание, что завихренность ничего не говорит о глобальном поведении жидкости. Жидкость, движущаяся по прямой линии, может иметь завихренность, а жидкость, движущаяся по кругу, может быть безвихревой.
Консервативные силы
Если векторное поле, связанное с силой является консервативным, тогда сила называется консервативной силой .
Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила и электрическая сила, связанная с электростатическим полем. Согласно закону тяготения Ньютона , с гравитационной силой действуя на массу из-за массы , которое является расстоянием между ними подчиняется уравнению
где - гравитационная постоянная иэто единичный вектор, указывающий из к . Сила тяжести консервативна, потому что, где
- гравитационная потенциальная энергия . Можно показать, что любое векторное поле вида консервативен при условии, что интегрируемо.
Для консервативных сил , путь независимости можно интерпретировать как то , что работа при переходе от точки в точку не зависит от выбранного пути, и что работа сделано при обходе простого замкнутого цикла :
Полная энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии или наоборот.
Смотрите также
- Векторное поле Бельтрами
- Консервативная сила
- Консервативная система
- Комплексное ламеллярное векторное поле
- Разложение Гельмгольца
- Лапласово векторное поле
- Продольные и поперечные векторные поля
- Соленоидальное векторное поле
Рекомендации
- ^ Марсден, Джерролд ; Тромба, Энтони (2003). Векторное исчисление (Пятое изд.). WHFreedman and Company. С. 550–561.
- ^ Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание, Elsevier Academic Press (2005)
- ^ Липманн, HW ; Рошко А. (1993) [1957], Элементы газовой динамики , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0С. 194–196.
дальнейшее чтение
- Ачесон, ди-джей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0198596790.