Уравнение Лапласа для безвихревого потока

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Безвихревое течение возникает там, где ротор скорости жидкости везде равен нулю. Вот когда

{\ Displaystyle \ набла \ раз {\ vec {v}} = 0}

Аналогично, если предполагается, что жидкость несжимаема:

{\ displaystyle \ rho (x, y, z, t) = \ rho {\ text {(константа)}}}

Затем, исходя из уравнения неразрывности :

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ vec {v}}) = 0}

Условие несжимаемости означает, что производная плотности по времени равна 0, и что плотность может быть извлечена из дивергенции и разделена, таким образом оставив уравнение неразрывности для несжимаемой системы:

{\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ vec {v}} = 0}

Теперь разложение Гельмгольца можно использовать для записи скорости как суммы градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала. Это:

{\ displaystyle {\ vec {v}} = - \ nabla \ phi + \ nabla \ times {\ vec {A}}}

Заметим, что наложение условия, подразумевающего, что ${\ Displaystyle \ набла \ раз {\ vec {v}} = 0}$

{\ Displaystyle \ набла \ раз (\ набла \ раз {\ vec {A}}) = 0}

Ротор градиента всегда равен 0. Обратите внимание, что ротор ротора функции равномерно равен 0 только для векторного потенциала, равного нулю. Итак, по условию безвихревого течения:

{\ displaystyle {\ vec {v}} = - \ nabla \ phi}

Затем, используя уравнение неразрывности , можно снова подставить скалярный потенциал, чтобы найти уравнение Лапласа для безвихревого потока: ${\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ vec {v}} = 0}$

$\nabla ^{2}\phi =0\,$

Обратите внимание, что уравнение Лапласа является хорошо изученным линейным уравнением в частных производных. Его решения бесконечны; однако от большинства решений можно отказаться при рассмотрении физических систем, поскольку граничные условия полностью определяют потенциал скорости .

Примеры общих граничных условий включают скорость жидкости, определяемую как 0 на границах системы. ${\vec {v}}=-\nabla \phi$

При решении этого уравнения в целом существует большое количество совпадений с электромагнетизмом , поскольку уравнение Лапласа также моделирует электростатический потенциал в вакууме.

Есть много причин изучать безвихревой поток, среди них;

Многие проблемы реального мира содержат большие области безвихревого потока.
Его можно изучить аналитически.
Это показывает нам важность пограничных слоев и сил вязкости .
Он предоставляет нам инструменты для изучения концепций подъемной силы и сопротивления .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Ландау, ЛД; Лифшиц Е.М. (1984). Гидромеханика (2-е изд.). ISBN 0-7506-2767-0.