В физике и механике жидкости , пограничный слой является слоем жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности , где эффекты вязкости являются существенными. Жидкость или газ в пограничном слое имеет тенденцию прилипать к поверхности.
Пограничный слой вокруг человека нагревается человеком, поэтому он теплее окружающего воздуха. Ветерок разрушает пограничный слой, а волосы и одежда защищают его, заставляя человека чувствовать себя холоднее или теплее. На крыле самолета пограничный слой - это часть потока, близкая к крылу, где силы вязкости искажают окружающий невязкий поток. В атмосфере Земли , то атмосферный пограничный слой является слоем воздуха вблизи поверхности земли. На него влияет поверхность; дневные и ночные потоки тепла, вызванные нагреванием земли солнцем, передачей влаги или количества движения к поверхности или от поверхности.
Типы пограничного слоя
Ламинарные пограничные слои можно условно классифицировать в соответствии с их структурой и условиями, в которых они созданы. Тонкий сдвиговый слой, который развивается на колеблющемся теле, является примером пограничного слоя Стокса , в то время как пограничный слой Блазиуса относится к хорошо известному решению подобия около прикрепленной плоской пластины, удерживаемой в набегающем однонаправленном потоке, и пограничном слое Фолкнера – Скана , обобщение профиля Блазиуса. Когда жидкость вращается и силы вязкости уравновешиваются эффектом Кориолиса (а не конвективной инерцией), образуется слой Экмана . В теории теплопередачи возникает тепловой пограничный слой. Поверхность может иметь одновременно несколько типов пограничного слоя.
Вязкий характер воздушного потока снижает локальные скорости на поверхности и вызывает трение кожи. Слой воздуха над поверхностью крыла, который замедляется или останавливается из-за вязкости, является пограничным слоем. Существует два разных типа течения в пограничном слое: ламинарный и турбулентный. [1]
Ламинарное течение в пограничном слое
Ламинарная граница представляет собой очень плавный поток, в то время как турбулентный пограничный слой содержит завихрения или «водовороты». Ламинарный поток создает меньшее сопротивление поверхностного трения, чем турбулентный поток, но менее устойчив. Течение пограничного слоя по поверхности крыла начинается с плавного ламинарного обтекания. По мере того как поток продолжается обратно от передней кромки, толщина ламинарного пограничного слоя увеличивается.
Турбулентный поток в пограничном слое
На некотором расстоянии от передней кромки плавный ламинарный поток прерывается и переходит в турбулентный поток. С точки зрения лобового сопротивления, желательно, чтобы переход от ламинарного к турбулентному потоку происходил как можно дальше от кормы крыла или чтобы большая часть поверхности крыла находилась внутри ламинарной части пограничного слоя. Однако ламинарный поток с низкой энергией имеет тенденцию к более резкому разрушению, чем турбулентный слой.
Аэродинамика
Аэродинамический пограничный слой был первым определен Прандтль в документе , представленном 12 августа 1904 года на третьем Международном конгрессе математиков в Гейдельберге, Германия . Он упрощает уравнения потока жидкости, разделяя поле потока на две области: одна внутри пограничного слоя, где преобладает вязкость и создает большую часть сопротивления, испытываемого граничным телом; и один за пределами пограничного слоя, где вязкостью можно пренебречь без значительного влияния на раствор. Это позволяет получить решение в замкнутой форме для потока в обеих областях, что значительно упрощает полные уравнения Навье – Стокса . Большая часть теплопередачи к телу и от тела также происходит внутри пограничного слоя, что снова позволяет упростить уравнения в поле потока за пределами пограничного слоя. Распределение давления в пограничном слое в направлении, нормальном к поверхности (например, аэродинамическому профилю ), остается постоянным во всем пограничном слое и такое же, как и на самой поверхности.
Толщина пограничного слоя скорости обычно определяются как расстояние от твердого тела до точки , в которой скорость потока вязки составляет 99% от скорости набегающей (скорость поверхности невязкого потока). [ необходимая цитата ] Толщина вытеснения - это альтернативное определение, в котором говорится, что пограничный слой представляет собой дефицит массового расхода по сравнению с невязким потоком со скольжением на стенке. Это расстояние, на которое стенка должна быть смещена в невязком случае, чтобы получить тот же общий массовый расход, что и в вязком случае. Условие прилипания требует , чтобы скорость потока на поверхности твердого объекта , равным нулю , и температура жидкости будет равна температуре поверхности. Затем скорость потока в пограничном слое будет быстро увеличиваться в соответствии с приведенными ниже уравнениями пограничного слоя.
Толщина тепловой пограничный слоя является так же расстоянием от тела , при котором температура составляет 99% от температуры набегающей. Соотношение двух толщин определяется числом Прандтля . Если число Прандтля равно 1, два пограничных слоя имеют одинаковую толщину. Если число Прандтля больше 1, тепловой пограничный слой тоньше, чем скоростной пограничный слой. Если число Прандтля меньше 1, что имеет место для воздуха при стандартных условиях, тепловой пограничный слой толще, чем скоростной пограничный слой.
В высокопроизводительных конструкциях, таких как планеры и коммерческие самолеты, большое внимание уделяется управлению поведением пограничного слоя для минимизации сопротивления. Следует учитывать два эффекта. Во-первых, пограничный слой увеличивает эффективную толщину тела за счет толщины смещения , тем самым увеличивая сопротивление давлению. Во-вторых, силы сдвига на поверхности крыла создают сопротивление поверхностного трения .
При высоких числах Рейнольдса , типичных для полноразмерных самолетов, желательно иметь ламинарный пограничный слой. Это приводит к снижению поверхностного трения из-за характерного профиля скорости ламинарного потока. Однако пограничный слой неизбежно утолщается и становится менее стабильным по мере того, как поток развивается вдоль тела, и в конечном итоге становится турбулентным , процесс, известный как переход пограничного слоя . Один из способов решения этой проблемы - отсосать пограничный слой через пористую поверхность (см. « Отсасывание пограничного слоя» ). Это может уменьшить сопротивление, но обычно это непрактично из-за его механической сложности и мощности, необходимой для перемещения воздуха и его удаления. Методы естественного ламинарного потока (NLF) подталкивают переход пограничного слоя к корме за счет изменения формы аэродинамического профиля или фюзеляжа таким образом, чтобы его самая толстая точка располагалась в большей задней части и была менее толстой. Это снижает скорости в ведущей части, и такое же число Рейнольдса достигается при большей длине.
При более низких числах Рейнольдса , например, на моделях самолетов, относительно легко поддерживать ламинарный поток. Это дает низкое трение кожи, что желательно. Однако тот же профиль скорости, который придает ламинарному пограничному слою низкое поверхностное трение, также вызывает сильное воздействие на него неблагоприятных градиентов давления . Когда давление начинает восстанавливаться в задней части хорды крыла, ламинарный пограничный слой будет стремиться отделиться от поверхности. Такое разделение потока приводит к значительному увеличению сопротивления давлению , поскольку оно значительно увеличивает эффективный размер сечения крыла. В этих случаях может быть полезным намеренно вызвать турбулентность пограничного слоя в точке, предшествующей месту ламинарного разделения, с помощью турбулятора . Более полный профиль скорости турбулентного пограничного слоя позволяет ему выдерживать неблагоприятный градиент давления без разделения. Таким образом, хотя поверхностное трение увеличивается, общее сопротивление уменьшается. Этот принцип лежит в основе создания ямок на мячах для гольфа, а также в генераторах вихрей на самолетах. Также были разработаны специальные секции крыла, которые адаптируют восстановление давления, поэтому ламинарное разделение уменьшается или даже устраняется. Это представляет собой оптимальный компромисс между сопротивлением давления от разделения потока и поверхностным трением от индуцированной турбулентности.
При использовании полумоделей в аэродинамических трубах иногда используют пениш , чтобы уменьшить или устранить влияние пограничного слоя.
Уравнения пограничного слоя
Вывод уравнений пограничного слоя был одним из самых важных достижений в гидродинамике. Используя порядок анализа величины , хорошо известные регулирующие уравнений Навье-Стокса из вязкой жидкости потока может быть значительно упрощено в пределах пограничного слоя. Примечательно, что характеристика уравнений в частных производных (PDE) становится параболической, а не эллиптической формой полных уравнений Навье – Стокса. Это значительно упрощает решение уравнений. Используя приближение пограничного слоя, поток разделяется на невязкую часть (которую легко решить несколькими методами) и пограничный слой, который регулируется более простым решением PDE . Уравнения неразрывности и Навье – Стокса для двумерного установившегося течения несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид
где а также компоненты скорости, это плотность, это давление, а - кинематическая вязкость жидкости в точке.
Приближение гласит, что при достаточно высоком числе Рейнольдса поток по поверхности можно разделить на внешнюю область невязкого потока, на которую не влияет вязкость (большая часть потока), и область вблизи поверхности, где вязкость важна ( пограничный слой). Позволять а также - продольная и поперечная (нормаль к стенке) скорости внутри пограничного слоя соответственно. Используя масштабный анализ , можно показать, что приведенные выше уравнения движения сокращаются в пределах пограничного слоя, чтобы стать
и если жидкость несжимаема (как жидкости в стандартных условиях):
Анализ порядка величины предполагает, что продольный масштаб длины значительно больше, чем поперечный масштаб длины внутри пограничного слоя. Отсюда следует, что изменения свойств в продольном направлении обычно намного меньше, чем в нормальном направлении стенки. Применение этого к уравнению неразрывности показывает, чтонормальная скорость стенки мала по сравнению с продольная скорость.
Поскольку статическое давление не зависит от , тогда давление на краю пограничного слоя - это давление во всем пограничном слое в данном продольном положении. Внешнее давление можно получить, применив уравнение Бернулли . Позволять - скорость жидкости вне пограничного слоя, где а также оба параллельны. Это дает при замене на следующий результат
Для потока, в котором статическое давление также не меняет направление потока
так остается постоянным.
Таким образом, уравнение движения упрощается и становится
Эти приближения используются в различных практических задачах, представляющих научный и технический интерес. Вышеупомянутый анализ предназначен для любого мгновенного ламинарного или турбулентного пограничного слоя, но используется в основном в исследованиях ламинарного потока, поскольку средний поток также является мгновенным потоком, поскольку отсутствуют флуктуации скорости. Это упрощенное уравнение представляет собой параболическое уравнение в частных производных и может быть решено с использованием решения подобия, часто называемого пограничным слоем Блазиуса .
Теорема транспонирования Прандтля
Прандтль заметил, что из любого решения удовлетворяющее уравнениям пограничного слоя, дальнейшее решение , который также удовлетворяет уравнениям пограничного слоя, можно построить, написав [2]
где произвольно. Поскольку решение не является уникальным с математической точки зрения, [3] к решению может быть добавлена любая из бесконечного набора собственных функций, как показано Стюартсоном [4] и Полом А. Либби . [5] [6]
Интеграл импульса фон Кармана
Фон Карман вывел интегральное уравнение путем интегрирования уравнения пограничного слоя через пограничный слой в 1921 году. [7] Уравнение имеет вид
где
- напряжение сдвига стенки, - скорость всасывания / впрыска у стенки, - толщина вытеснения и - толщина импульса. Приближение Кармана – Польхаузена выводится из этого уравнения.
Интеграл энергии
Интеграл энергии был получен Вигхардтом . [8] [9]
где
- - скорость диссипации энергии из-за вязкости через пограничный слой и - энергетическая толщина. [10]
Преобразование фон Мизеса
Для стационарных двумерных пограничных слоев фон Мизес [11] ввел преобразование, которое принимает а также ( функция потока ) в качестве независимых переменных вместо а также и использует зависимую переменную вместо . Тогда уравнение пограничного слоя станет
Исходные переменные восстанавливаются из
Позднее это преобразование было распространено на сжимаемый пограничный слой фон Карманом и Х. С. Циеном . [12]
Превращение Крокко
Для устойчивого двумерного сжимаемого пограничного слоя Луиджи Крокко [13] ввел преобразование, которое принимает а также как независимые переменные вместо а также и использует зависимую переменную (напряжение сдвига) вместо . Тогда уравнение пограничного слоя принимает вид
Исходная координата восстанавливается из
Турбулентные пограничные слои
Обработка турбулентных пограничных слоев намного сложнее из-за зависящего от времени изменения свойств потока. Одним из наиболее широко используемых методов борьбы с турбулентными потоками является применение разложения Рейнольдса . Здесь мгновенные характеристики потока разлагаются на среднее значение и колеблющуюся составляющую. Применение этого метода к уравнениям пограничного слоя дает полные уравнения турбулентного пограничного слоя, которые не часто приводятся в литературе:
Используя аналогичный анализ по порядку величины, приведенные выше уравнения могут быть сведены к членам высшего порядка. Выбирая шкалы длины для изменений в поперечном направлении, и для изменений в продольном направлении, с , уравнение x-импульса упрощается до:
Это уравнение не удовлетворяет условию прилипания к стене. Подобно тому, как Прандтль сделал для своих уравнений пограничного слоя, необходимо использовать новый, меньший масштаб длины, чтобы позволить вязкому члену стать ведущим порядком в уравнении импульса. Выбираяв масштабе по оси y уравнение импульса в главном порядке для этого "внутреннего пограничного слоя" определяется выражением:
В пределе бесконечного числа Рейнольдса можно показать, что член градиента давления не влияет на внутреннюю область турбулентного пограничного слоя. Новая «внутренняя шкала длины» представляет собой вязкую шкалу длин и имеет порядок , с участием масштаб скорости турбулентных колебаний, в данном случае скорость трения .
В отличие от уравнений ламинарного пограничного слоя, наличие двух режимов, управляемых разными наборами масштабов потока (т.е. внутренним и внешним масштабированием), сделало поиск универсального решения подобия для турбулентного пограничного слоя трудным и спорным. Чтобы найти решение подобия, которое охватывает обе области потока, необходимо асимптотически согласовать решения из обеих областей потока. Такой анализ приведет к так называемому логарифмическому или степенному закону .
Дополнительный срок в уравнениях турбулентного пограничного слоя известно как напряжение сдвига Рейнольдса и неизвестно априори . Поэтому решение уравнений турбулентного пограничного слоя требует использования модели турбулентности , которая направлена на выражение напряжения сдвига Рейнольдса через известные переменные потока или производные. Отсутствие точности и общности таких моделей является основным препятствием на пути успешного прогнозирования свойств турбулентного потока в современной гидродинамике.
В пристеночной области существует слой постоянного напряжения. Из-за затухания флуктуаций вертикальной скорости у стенки член напряжения Рейнольдса станет незначительным, и мы обнаружим, что существует линейный профиль скорости. Это верно только для самой пристенной области .
Тепломассообмен
В 1928 году французский инженер Андре Левек заметил, что на конвективную теплопередачу в текущей жидкости влияют только значения скорости, близкие к поверхности. [14] [15] Для потоков с большим числом Прандтля изменение температуры / массы от температуры поверхности к температуре набегающего потока происходит в очень тонкой области вблизи поверхности. Следовательно, наиболее важными являются скорости жидкости внутри этой очень тонкой области, в которой изменение скорости можно считать линейным с нормальным расстоянием от поверхности. Таким образом, для
когда , тогда
где θ - касательная параболы Пуазейля, пересекающей стенку. Хотя решение Левека касалось передачи тепла в поток Пуазейля, его понимание помогло другим ученым прийти к точному решению проблемы теплового пограничного слоя. [16] Шу заметил, что в пограничном слое u снова является линейной функцией y , но в этом случае касательная к стенке является функцией x . [17] Он выразил это с помощью модифицированной версии профиля Левека,
Это дает очень хорошее приближение даже для низких числа, так что только жидкие металлы с гораздо меньше единицы не может рассматриваться таким образом. [16] В 1962 году Кестин и Персен опубликовали статью, описывающую решения для теплопередачи, когда тепловой пограничный слой полностью находится внутри импульсного слоя и для различных распределений температуры стенок. [18] Для задачи о плоской пластине со скачком температуры при, они предлагают замену, которая сводит параболическое уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения, температура в любой точке жидкости, может быть выражена как неполная гамма-функция . [15] Шлихтинг предложил эквивалентную замену, которая сводит уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению, решением которого является та же неполная гамма-функция. [19]
Константы конвективного переноса из анализа пограничного слоя
Пол Ричард Генрих Блазиус получил точное решение вышеупомянутых уравнений ламинарного пограничного слоя . [20] Толщина пограничного слояявляется функцией числа Рейнольдса для ламинарного потока.
- = толщина пограничного слоя: область потока, в которой скорость меньше 99% скорости в дальней зоне ; находится вдоль полубесконечной пластины, а это число Рейнольдса, определяемое ( плотность и динамическая вязкость).
В решении Блазиуса граничные условия используются в безразмерной форме:
- в
- в а также
Обратите внимание, что во многих случаях граничное условие прилипания выполняется, что , скорость жидкости на поверхности пластины равна скорости пластины во всех точках. Если пластина не двигается, то. Если допускается проскальзывание жидкости, требуется гораздо более сложный вывод. [21]
Фактически, решение Блазиуса для ламинарного профиля скорости в пограничном слое над полубесконечной пластиной может быть легко расширено для описания теплового и концентрационного пограничных слоев для тепломассопереноса соответственно. Вместо дифференциального баланса x-импульса (уравнения движения) здесь используется аналогично полученный баланс энергии и массы:
Энергия:
Масса:
Для баланса количества движения кинематическая вязкость можно рассматривать как коэффициент диффузии по импульсу . В энергетическом балансе это заменяется температуропроводностью, а по массовой диффузии в балансе масс. По температуропроводности вещества его теплопроводность, это его плотность и его теплоемкость. Нижний индекс AB обозначает диффузию вида A, диффундирующего в вид B.
В предположении, что эти уравнения становятся эквивалентными балансу импульса. Таким образом, для числа Прандтля и число Шмидта решение Блазиуса применяется напрямую.
Соответственно, этот вывод использует родственную форму граничных условий, заменяя с участием или же (абсолютная температура или концентрация вида A). Нижний индекс S обозначает состояние поверхности.
- в
- в а также
Используя функцию линии тока, Блазиус получил следующее решение для касательного напряжения на поверхности пластины.
А через граничные условия известно, что
Нам даны следующие соотношения для потока тепла / массы от поверхности пластины
Таким образом, для
где области течения, где а также меньше 99% от их значений в дальней зоне. [22]
Поскольку число Прандтля конкретной жидкости не часто является единицей, немецкий инженер Э. Польхаузен, который работал с Людвигом Прандтлем, попытался эмпирически расширить эти уравнения, чтобы применить. Его результаты могут быть применены ктакже. [23] Он обнаружил, что для числа Прандтля больше 0,6 толщина теплового пограничного слоя приблизительно определяется по формуле:
- и поэтому
Из этого решения можно охарактеризовать константы конвективного тепломассопереноса на основе области течения в пограничном слое. Закон проводимости Фурье и закон охлаждения Ньютона сочетаются с термином потока, полученным выше, и толщиной пограничного слоя.
Это дает локальную конвективную постоянную в одной точке на полубесконечной плоскости. Интегрирование по длине пластины дает среднее значение
После вывода с условиями массообмена ( = константа конвективного массопереноса, = диффузность вида A в разновидность B, ), получаются следующие решения:
Эти решения применимы для ламинарного потока с числом Прандтля / Шмидта больше 0,6. [22]
Многие принципы, применимые к самолетам, также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам.
На кораблях, в отличие от самолетов, мы имеем дело с несжимаемыми потоками, где изменение плотности воды незначительно (повышение давления, близкое к 1000 кПа, приводит к изменению всего на 2–3 кг / м 3 ). Эта область гидродинамики называется гидродинамикой. Судовой инженер сначала занимается гидродинамикой, а уже потом - силой. Развитие, разрушение и разделение пограничного слоя становятся критическими, поскольку высокая вязкость воды создает высокие напряжения сдвига. Еще одним следствием высокой вязкости является эффект скользящего потока, при котором корабль движется, как копье, пробивающее губку с большой скоростью. [ необходима цитата ]
Турбина пограничного слоя
Этот эффект был использован в турбине Тесла , запатентованной Николой Тесла в 1913 году. Она называется безлопаточной турбиной, потому что в ней используется эффект пограничного слоя, а не жидкость, попадающая на лопасти, как в обычной турбине. Турбины с пограничным слоем также известны как турбина когезионного типа, безлопастная турбина и турбина со слоем Прандтля (после Людвига Прандтля ).
Прогнозирование толщины переходного пограничного слоя в цилиндре с помощью анализа размеров
Используя уравнения нестационарной и вязкой силы для цилиндрического потока, вы можете предсказать толщину переходного пограничного слоя, найдя число Уомерсли ().
Переходная сила =
Вязкая сила =
Приравнивание их друг к другу дает:
Решение для дельты дает:
В безразмерном виде:
где = Число Уомерсли; = плотность; = скорость; ?; = длина переходного пограничного слоя; = вязкость; = характерная длина.
Прогнозирование условий конвективного течения в пограничном слое в цилиндре с использованием анализа размеров
Используя уравнения конвективной и вязкой силы в пограничном слое для цилиндрического потока, вы можете предсказать условия конвективного потока в пограничном слое, найдя безразмерное число Рейнольдса ().
Конвективная сила:
Вязкая сила:
Приравнивание их друг к другу дает:
Решение для дельты дает:
В безразмерном виде:
где = Число Рейнольдса; = плотность; = скорость; = длина конвективного пограничного слоя; = вязкость; = характерная длина.
Поглощение пограничного слоя
Поглощение пограничного слоя обещает повышение топливной эффективности самолета за счет установленного в корме движителя, поглощающего медленный пограничный слой фюзеляжа и возобновляющего подпитку следа для уменьшения лобового сопротивления и повышения эффективности движителя . Для работы в искаженном воздушном потоке вентилятор тяжелее, его эффективность снижается, а его интеграция затруднительна. Он используется в таких концепциях, как Aurora D8 или французское исследовательское агентство Onera ’s Nova, экономя 5% в крейсерском режиме за счет поглощения 40% пограничного слоя фюзеляжа. [24]
Airbus представил концепцию Nautilius на конгрессе ICAS в сентябре 2018 года: чтобы охватить весь пограничный слой фюзеляжа и минимизировать азимутальное искажение потока, фюзеляж разделяется на два шпинделя с вентиляторами с байпасным соотношением 13-18: 1 . Эффективность движения достигает 90%, как у открытых роторов, вращающихся в противоположных направлениях, с меньшими, более легкими, менее сложными и шумными двигателями. Он может снизить расход топлива более чем на 10% по сравнению с обычным подкрыльевым двигателем с байпасным соотношением 15: 1. [24]
Смотрите также
- Разделение пограничного слоя
- Толщина пограничного слоя
- Толщина и форма теплового пограничного слоя
- Отсасывание пограничного слоя
- Контроль пограничного слоя
- Пограничный микрофон
- Пограничный слой Блазиуса
- Пограничный слой Фолкнера – Скана
- Слой Экмана
- Планетарный пограничный слой
- Логарифмический закон стены
- Коэффициент формы (поток в пограничном слое)
- Напряжение сдвига
- Поверхностный слой
Рекомендации
- ^ Янг, AD (1989). Пограничные слои (1-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики. ISBN 0930403576.
- ^ Прандтль, Л. (1938). "Zur Berechnung der Grenzschichten". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 18 (1): 77–82. Полномочный код : 1938ZaMM ... 18 ... 77P . DOI : 10.1002 / zamm.19380180111 .
- ^ Ван Дайк, Милтон. Методы возмущений в механике жидкости. Parabolic Press, Incorporated, 1975.
- ^ Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. DOI : 10.1002 / sapm1957361173 .
- ^ Либби, Пол А .; Фокс, Герберт (1963). «Некоторые решения теории возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал гидромеханики . 17 (3): 433. DOI : 10.1017 / S0022112063001439 .
- ^ Фокс, Герберт; Либби, Пол А. (1964). «Некоторые решения теории возмущений в теории ламинарного пограничного слоя. Часть 2. Уравнение энергии». Журнал гидромеханики . 19 (3): 433–451. Bibcode : 1964JFM .... 19..433F . DOI : 10.1017 / S0022112064000830 .
- ^ фон Карман, Т. (1921). "Über Luminare und Turbulente Reibung" . Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Bibcode : 1921ZaMM .... 1..233K . DOI : 10.1002 / zamm.19210010401 .
- ^ Wieghardt, K. Об уравнении энергии для расчета ламинарных пограничных слоев. Объединенное разведывательное управление, 1946 год.
- ^ Вигхардт, К. (1948). "Über einen Energiesatz zur Berechnung Lamarer Grenzschichten". Ingenieur-Archiv . 16 (3–4): 231–242. DOI : 10.1007 / BF00548007 . S2CID 119750449 .
- ^ Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963.
- ^ Толлмин, Уолтер; Шлихтинг, Германн; Гёртлер, Генри; Ригельс, FW (1961). "Bemerkungen zur Hydrodynamik". Людвиг Прандтль Гезаммельте Абхандлунген . С. 627–631. DOI : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_49 . ISBN 978-3-662-11837-5.
- ^ фон Карман, Т .; Цзянь, HS (1938). «Пограничный слой в сжимаемых жидкостях». Журнал авиационных наук . 5 (6): 227–232. DOI : 10.2514 / 8.591 .
- ^ Crocco, L. "Характерное преобразование уравнений пограничного слоя в газах". ARC 4582 (1939): 1940.
- ^ Левек, А. (1928). "Les Lois de la Transmission de Chaleur par конвекция". Annales des Mines ou Recueil de Mémoires sur l'Exploitation des Mines et sur les Sciences et les Arts qui s'y Rattachent, Mémoires (на французском языке). XIII (13): 201–239.
- ^ а б Найл МакМахон. "Андре Левек p285, обзор его приближения профиля скорости" . Архивировано из оригинала на 2012-06-04.
- ^ а б Мартин, Х. (2002). «Обобщенное уравнение Левека и его практическое использование для прогнозирования скоростей тепломассопереноса по перепаду давления». Химическая инженерия . 57 (16). С. 3217–3223. DOI : 10.1016 / S0009-2509 (02) 00194-X .
- ^ Schuh, H. (1953). "Об асимптотических решениях для теплопередачи при различных температурах стенок в ламинарном пограничном слое с профилями скорости Хартри". Журнал авиационных наук . 20 (2). С. 146–147. DOI : 10.2514 / 8.2566 .
- ^ Кестин, Дж. И Персен, Л.Н. (1962). «Передача тепла через турбулентный пограничный слой при очень высоких числах Прандтля». Международный журнал тепломассообмена . 5 (5): 355–371. DOI : 10.1016 / 0017-9310 (62) 90026-1 .
- ^ Шлихтинг, Х. (1979). Теория пограничного слоя (7-е изд.). Нью-Йорк (США): Макгроу-Хилл.
- ^ Блазиус, Х. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung" . Zeitschrift für Mathematik und Physik . 56 : 1–37.( Перевод на английский )
- ^ Мартин, Майкл Дж. (2001). "Решение пограничного слоя Блазиуса с условиями скольжения". Материалы конференции AIP . 585 . С. 518–523. DOI : 10.1063 / 1.1407604 . ЛВП : 2027,42 / 87372 .
- ^ a b Геанкоплис, Кристи Дж. Транспортные процессы и принципы процесса разделения: (включая единичные операции). Четвертое изд. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Профессиональный технический справочник Prentice Hall, 2003. Печать.
- ^ Польхаузен, Э. (1921). "Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung" . Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (2): 115–121. Полномочный код : 1921ZaMM .... 1..115P . DOI : 10.1002 / zamm.19210010205 .
- ^ а б Грэм Уорвик (19 ноября 2018 г.). «Неделя технологий, 19-23 ноября 2018 г.» . Авиационная неделя и космические технологии .
- Шансон, Х. (2009). Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости . CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3.
- А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными , Chapman & Hall / CRC Press, Бока-Ратон - Лондон, 2004. ISBN 1-58488-355-3
- Полянин А.Д., Кутепов А.М., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Гидродинамика, массо- и теплопередача в химической технологии. Лондон, Тейлор и Фрэнсис, 2002. ISBN 0-415-27237-8
- Герман Шлихтинг, Клаус Герстен, Э. Краузе, Х. Младший Эртель, К. Майес "Теория пограничного слоя" 8-е издание Springer 2004 г. ISBN 3-540-66270-7
- Джон Д. Андерсон-младший, "Пограничный слой Людвига Прандтля" , Physics Today , декабрь 2005 г.
- Андерсон, Джон (1992). Основы аэродинамики (2-е изд.). Торонто: SSCHAND. С. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
- Х. Теннекес и Дж. Л. Ламли , "Первый курс по турбулентности", MIT Press, (1972).
- Лекции Уильяма К. Джорджа "Турбулентность для 21 века"
Внешние ссылки
- Национальная научная цифровая библиотека - пограничный слой
- Мур, Франклин К., " Эффект смещения трехмерного пограничного слоя ". Отчет NACA 1124, 1953 г.
- Бенсон, Том, « Пограничный слой ». НАСА Glenn Learning Technologies.
- Разделение пограничного слоя
- Уравнения пограничного слоя: точные решения - от EqWorld
- Джонс, ТВ ПОГРАНИЧНЫЙ ТЕПЛООБМЕН