Консервативное векторное поле

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В векторном исчислении , А консервативно векторное поле является векторным полем , то есть градиент некоторой функции . ^[1] Консервативные векторные поля обладают тем свойством, что линейный интеграл не зависит от пути; выбор любого пути между двумя точками не меняет значения линейного интеграла . Независимость от траектории линейного интеграла эквивалентна консервативности векторного поля. Консервативное векторное поле также является безвихревым ; в трех измерениях это означает, что у него исчезающий локон . Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что областьпросто связано .

Консервативные векторные поля естественным образом возникают в механике : они являются векторными полями , представляющих силы из физических систем , в которых энергия является консервативной . ^[2] Для консервативной системы работа, выполняемая при движении по пути в конфигурационном пространстве, зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальную энергию, которая не зависит от фактического пройденного пути.

Неформальное обращение [ править ]

В двумерном и трехмерном пространстве существует двусмысленность в принятии интеграла между двумя точками, поскольку между двумя точками существует бесконечно много путей - помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно было бы выбрать криволинейный путь большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, как правило, значение интеграла зависит от пройденного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от пройденного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов.${\ displaystyle d {R}}$у которых нет компонента на прямой линии между двумя точками. Чтобы визуализировать это, представьте, что два человека поднимаются на скалу; один решает взобраться на утес, поднимаясь по нему вертикально, а второй решает пройти по извилистой тропе, длина которой превышает высоту обрыва, но только под небольшим углом к ​​горизонтали. Хотя два путешественника выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину утеса, на вершине они оба наберут одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии. Это потому, что гравитационное поле консервативно. В качестве примера неконсервативного поля представьте, что вы толкаете коробку из одного конца комнаты в другой. Чтобы толкать коробку по прямой через комнату, требуется заметно меньше усилий против трения, чем по изогнутой дорожке, покрывающей большее расстояние.

Изображение двух возможных путей интеграции. Зеленым цветом показан самый простой путь; синий показывает более извилистую кривую

Интуитивное объяснение [ править ]

Картина М.К. Эшера « Восходящий и нисходящий» иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент переменной высоты над землей при движении по лестнице. Это вращательное движение в том смысле, что человек может продолжать подниматься выше или опускаться ниже, когда движется по кругу. Это неконсервативно в том смысле, что при подъеме можно вернуться к исходной точке, более чем на спуске, или наоборот. На реальной лестнице высота над землей представляет собой скалярное потенциальное поле: если кто-то возвращается в то же место, он поднимается вверх ровно столько, сколько спускается вниз. Его градиент был бы консервативным векторным полем и не имел вращения. Ситуация, изображенная на картине, невозможна.

Определение [ править ]

Векторное поле , в котором есть открытое подмножество , называются консервативными , если и только если существует скалярное поле на такое , что${\ displaystyle \ mathbf {v}: U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

Здесь, обозначает градиент от . Когда приведенное выше уравнение выполняется, называется скалярным потенциалом для .${\displaystyle \nabla \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Основная теорема векторного исчисления утверждает , что любое векторное поле можно представить в виде суммы консервативного векторного поля и вихревого поля .

Независимость от пути [ править ]

Ключевым свойством консервативного векторного поля является то, что его интеграл вдоль пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного маршрута. Предположим, что это спрямляемый путь с начальной и конечной точками . Если для некоторого скалярного поля так , что является консервативным векторное поле, то теорема Градиент утверждает , что${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$

Это верно как следствие цепного правила и основной теоремы исчисления .

Эквивалентная формулировка этого состоит в том, что

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0}$

для каждого исправляемого простого замкнутого пути в . Обратное утверждение также верно: если обращение по всему спрямляемому простому замкнутому контуру в это , то является консервативным векторным полем.${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Безвихревые векторные поля [ править ]

Вышеупомянутое векторное поле, определенное на, имеет нулевой ротор почти всюду и, следовательно, является безвихревым. Однако он не консервативен и не зависит от пути.${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$

Позвольте , и пусть быть векторным полем, с открытым как всегда. Тогда называется безвихревым тогда и только тогда, когда его ротор находится всюду в , т. Е. Если${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$

По этой причине такие векторные поля иногда называют векторными полями без завитков или векторными полями без завитков . Их также называют продольными векторными полями .

Тождество векторного исчисления состоит в том, что для любого скалярного поля на мы имеем${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$

Следовательно, каждое консервативное векторное поле на также является безвихревым векторным полем на .${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

При условии, что это односвязно , верно и обратное: каждое безвихревое векторное поле на является консервативным векторным полем на .${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle U}$

Выше утверждение не верно в общем , если не просто подключен. Пусть будет с -Axis удалена, то есть . Теперь определим векторное поле с помощью${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$

Тогда имеет нулевой ротор всюду в , т.е. является безвихревым. Однако циркуляция по единичной окружности в плоскости равна . Действительно, заметим , что в полярных координатах , так интеграл по единичной окружности${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$

Следовательно, не имеет свойства независимости пути, о котором говорилось выше, и не является консервативным. ${\displaystyle \mathbf {v} }$

В односвязной открытой области безвихревое векторное поле обладает свойством независимости от пути. Это можно увидеть, отметив, что в такой области безвихревое векторное поле является консервативным, а консервативные векторные поля обладают свойством независимости от пути. Результат также может быть доказан непосредственно с помощью теоремы Стокса . В односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути, также должно быть безвихревым.

Говоря более абстрактно, при наличии римановой метрики векторные поля соответствуют дифференциальным β-формам 1 {\displaystyle 1} . Консервативные векторные поля соответствуют точным -формам , то есть формам, которые являются внешней производной функции (скалярного поля) на . Вихревые векторные поля соответствуют замкнутым -формам , т. Е. Таким -формам , что . Как , любая точная форма замкнута, так что любой консерватор векторное поле безвихревое. С другой стороны , все замкнутые -формы являются точными , если это просто связано .${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle d^{2}=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle U}$

Завихренность [ править ]

Завихренности векторного поля может быть определен следующим образом:${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$

Завихренность безвихревого поля везде равна нулю. ^[3] Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что жидкость, которая не вращается в невязком потоке , останется безвихревой. Этот результат может быть получен из уравнения переноса завихренности , полученного путем взятия ротора из уравнений Навье-Стокса.

Для двумерного поля завихренность действует как мера локального вращения жидких элементов. Обратите внимание, что завихренность ничего не говорит о глобальном поведении жидкости. Жидкость, движущаяся по прямой линии, может иметь завихренность, а жидкость, движущаяся по кругу, может быть безвихревой.

Консервативные силы [ править ]

Если векторное поле, связанное с силой, является консервативным, то говорят, что сила является консервативной силой .${\displaystyle \mathbf {F} }$

Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила и электрическая сила, связанная с электростатическим полем. Согласно закону тяготения Ньютона , гравитационная сила, действующая на массу из-за массы , которая представляет собой расстояние между ними, подчиняется уравнению${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

где - гравитационная постоянная, а - единичный вектор, направленный из направления в сторону . Сила тяжести консервативна, потому что , где${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$

${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$

- гравитационная потенциальная энергия . Можно показать, что любое векторное поле формы консервативно при условии, что оно интегрируемо.${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle F(r)}$

Для консервативных сил , путь независимость можно интерпретировать как то , что работа при переходе от точки к точке не зависит от выбранного пути, и что работа делается в обходе простой замкнутой петли :${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$

Полная энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии или наоборот.

См. Также [ править ]

• Векторное поле Бельтрами
• Консервативная сила
• Консервативная система
• Сложное пластинчатое векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Лапласово векторное поле
• Продольные и поперечные векторные поля
• Соленоидальное векторное поле

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ачесон, ди-джей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0198596790.