Подъем (сила)

Планер Райт 1902 года демонстрирует свою подъемную силу, подтягиваясь вверх

Жидкость течет вокруг поверхности объекта оказывает усилие на нем. Подъем - это составляющая этой силы, перпендикулярная направлению набегающего потока. ^[1] Это контрастирует с силой сопротивления , которая является составляющей силы, параллельной направлению потока. Подъем обычно действует в направлении вверх, чтобы противостоять силе тяжести , но он может действовать в любом направлении под прямым углом к ​​потоку.

Если окружающая жидкость представляет собой воздух, сила называется аэродинамической силой . В воде или любой другой жидкости это называется гидродинамической силой .

Динамический подъем отличается от других видов подъема в жидкостях. Аэростатическая подъемная сила или плавучесть , при которой внутренняя жидкость легче окружающей жидкости, не требует движения и используется воздушными шарами, дирижаблями, дирижаблями, лодками и подводными лодками. Подъемник глиссирования , в котором только нижняя часть тела погружается в поток жидкости, используется на моторных лодках, досках для серфинга и водных лыжах.

Обзор [ править ]

Жидкость течет вокруг поверхности объекта применяет силу против него. Не имеет значения, проходит ли жидкость мимо неподвижного тела или тело движется через неподвижный объем жидкости. Подъем - это составляющая этой силы, перпендикулярная направлению набегающего потока. ^[1] Подъем всегда сопровождается силой сопротивления , которая является составляющей поверхностной силы, параллельной направлению потока.

Лифт в основном связан с крыльями из самолетов , хотя он более широко порождена многими другими обтекаемых тел , таких как пропеллеры , воздушные змеи , вертолетных роторов , гоночных крыльев автомобиля , морские паруса и ветровые турбины в воздухе, и парусник кили , судовые рули и подводные крылья в воде. Лифт также используется летающими и планирующими животными , особенно птицами , летучими мышами и насекомыми.и даже в растительном мире семенами определенных деревьев. ^[2]

Хотя общепринятое значение слова « подъем » предполагает, что подъемная сила противодействует весу, подъемная сила может быть в любом направлении относительно силы тяжести, поскольку она определяется в отношении направления потока, а не направления силы тяжести. Когда самолет летит по прямой и горизонтальной плоскости, большая часть подъемной силы противодействует силе тяжести. ^[3] Однако, когда самолет поднимается , спускается или кренится в повороте, подъемная сила наклоняется по отношению к вертикали. ^[4] Подъемная сила также может выступать в качестве прижимной силы при выполнении некоторых фигур высшего пилотажа или на крыле гоночного автомобиля. Лифт также может быть в основном горизонтальным, например, на парусном судне.

Подъемная сила, обсуждаемая в этой статье, в основном связана с аэродинамическими профилями, хотя морские подводные крылья и гребные винты имеют одинаковые физические принципы и работают одинаково, несмотря на различия между воздухом и водой, такие как плотность, сжимаемость и вязкость.

Упрощенные физические объяснения подъемной силы на профиле [ править ]

Аэродинамический профиль является обтекаемой формой, которая способна генерировать значительно больше , чем сопротивление подъемной силы. ^[5] Плоская пластина может создавать подъемную силу, но не такую ​​большую, как обтекаемый профиль, и с несколько большим сопротивлением.

Есть несколько способов объяснить, как аэродинамический профиль создает подъемную силу. Некоторые из них сложнее или физически более строгие, чем другие; некоторые оказались неверными. ^{[6] [7] [8] [9] [10]} Например, есть объяснения, основанные непосредственно на законах движения Ньютона, и объяснения, основанные на принципе Бернулли . Либо можно использовать для объяснения подъема. ^{[11] [12]}

Отклонение потока и законы Ньютона [ править ]

Аэродинамический профиль создает подъемную силу за счет приложения к воздуху направленной вниз силы при его прохождении. Согласно третьему закону Ньютона , воздух должен оказывать на аэродинамический профиль равную противоположную (восходящую) силу - подъемную силу. ^{[13] [14] [15] [16]}

Воздушный поток меняет направление, когда проходит через аэродинамический профиль и следует по изогнутой вниз траектории. Согласно второму закону Ньютона, это изменение направления потока требует, чтобы аэродинамический профиль воздействовал на воздух направленной вниз силой. Затем третий закон Ньютона требует, чтобы воздух воздействовал на аэродинамический профиль направленной вверх силой; таким образом, сила реакции, подъемная сила, создается противоположно изменению направления. В случае крыла самолета крыло оказывает на воздух направленную вниз силу, а воздух воздействует на крыло направленную вверх силу. ^{[17] [18] [19] [20] [21] [22]}

Поворот потока вниз не происходит исключительно за счет нижней поверхности аэродинамического профиля, и воздушный поток над аэродинамическим профилем в значительной степени является причиной поворота вниз.

Повышенная скорость потока и принцип Бернулли [ править ]

Принцип Бернулли утверждает, что существует взаимосвязь между давлением в одной точке жидкости и скоростью жидкости в этой точке, поэтому, если кто-то знает скорость в двух точках внутри жидкости и давление в одной точке, можно вычислить давление во второй точке, и наоборот. ^[23] Для любого аэродинамического профиля, создающего подъемную силу, должен быть дисбаланс давления (т.е. более низкое среднее давление воздуха с одной стороны, чем с другой). Принцип Бернулли гласит, что увеличение скорости должно сопровождать любое снижение давления; и уменьшение скорости должно сопровождать любое повышение давления. В случае крыла самолета воздух течет быстрее и с меньшим давлением над крылом, чем под ним.

Сохранение массы [ править ]

Исходя из картины течения, наблюдаемой как в теории, так и в экспериментах, повышенная скорость потока по верхней поверхности может быть объяснена с точки зрения защемления трубки тока и сохранения массы . ^[24]

В соответствии с принципом непрерывности массы для несжимаемого потока скорость объемного потока (например, единицы объема в минуту) должна быть постоянной внутри каждой струйной трубки, поскольку материя не создается или не разрушается. Если струйная трубка становится более узкой, скорость потока должна увеличиваться в более узкой области, чтобы поддерживать постоянную скорость потока, чтобы удовлетворить принципу сохранения массы. ^[25]

Эксперименты в аэродинамической трубе и математический анализ показывают, что верхние трубки потока сжимаются при движении вверх и вокруг профиля. Сохранение массы говорит о том, что скорость потока должна увеличиваться по мере уменьшения площади трубки потока. ^[26] Точно так же расширяются нижние трубки потока, и их скорость потока замедляется.

Согласно принципу Бернулли, давление на верхней поверхности, где поток движется быстрее, ниже, чем давление на нижней поверхности, где он движется медленнее. Эта разница давлений создает чистую аэродинамическую силу, направленную вверх.

Ограничения упрощенных объяснений [ править ]

Как объясняется ниже в более подробном физическом объяснении , создание подъемной силы требует поддержания разницы давлений как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях и, следовательно, требует как поворота потока вниз, так и изменений скорости потока в соответствии с принципом Бернулли. Таким образом, упрощенные объяснения, данные выше, являются неполными, поскольку они определяют подъемную силу только с точки зрения одного или другого. И, в зависимости от деталей, у них есть и другие недостатки.

Объяснение, основанное на отклонении потока и законах Ньютона, верное, но неполное. Это не объясняет, как аэродинамический профиль может придать поворот вниз гораздо более глубокой полосе потока, чем он фактически касается. Кроме того, это не объясняет, как поддерживаются перепады давления в горизонтальном направлении. То есть, он не учитывает бернуллиевскую часть взаимодействия. ^[27]

Объяснения, основанные на увеличении скорости потока и принципе Бернулли, сначала пытаются установить, что есть более высокая скорость потока над верхней поверхностью, но они не могут правильно объяснить, что вызывает ускорение потока:

• Сохранения массы объяснения , которая опирается на сужение streamtubes над верхней поверхностью не объясняет , почему streamtubes изменение размера. Чтобы понять, почему воздух течет именно так, требуется более сложный анализ. ^{[28] [29] [30]}
• Иногда предлагается геометрический аргумент, чтобы продемонстрировать, почему трубки потока меняют размер: утверждается, что верхняя часть «затрудняет» или «сужает» воздух больше, чем нижняя, следовательно, более узкие трубки. Для обычных крыльев, плоских снизу и изогнутых сверху, это имеет некоторый интуитивный смысл. Но он не объясняет, как плоские пластины, симметричные крылья, паруса парусников или обычные крылья, летящие вверх ногами, могут создавать подъемную силу, а попытки вычислить подъемную силу на основе величины сужения не предсказывают экспериментальных результатов. ^{[31] [32] [33] [34]}
• Распространенная версия, которая полагается на равное время прохождения, просто неверна, как объясняется ниже под ложным объяснением, основанным на равном времени прохождения .

Объяснения, основанные только на Бернулли, подразумевают, что разница в скорости возникает по причинам, отличным от разницы давлений, и что разница скоростей затем приводит к разнице давлений по принципу Бернулли. Это подразумеваемая односторонняя причинность - заблуждение. Настоящая причинно-следственная связь между давлением и скоростью обратна. Наконец, объяснения, касающиеся только Бернулли, не объясняют, как поддерживаются перепады давления в вертикальном направлении. То есть они не учитывают нисходящую часть взаимодействия. ^[27]

Альтернативные объяснения, заблуждения и разногласия [ править ]

Было выдвинуто множество альтернативных объяснений возникновения подъемной силы аэродинамическим профилем, большинство из которых предназначалось для объяснения феномена подъемной силы для широкой аудитории. Хотя объяснения могут иметь общие черты с объяснениями выше, могут быть введены дополнительные предположения и упрощения. Некоторые объяснения вводят предположения, которые оказались неверными, такие как равное время прохождения , а некоторые использовали противоречивую терминологию, такую ​​как «эффект Коанды».

Ложное объяснение, основанное на равном времени доставки [ править ]

Основные или популярные источники часто описывают теорию подъемной силы "равного времени прохождения", которая ошибочно предполагает, что частицы воздуха, которые разделяются на передней кромке профиля, должны соединяться на задней кромке, заставляя воздух перемещаться по более длинной верхней поверхности. идти быстрее. Затем цитируется принцип Бернулли, чтобы сделать вывод о том, что, поскольку воздух движется по нижней части крыла медленнее, давление воздуха должно быть выше, толкая крыло вверх. ^[35]

Однако не существует физического принципа, требующего равного времени прохождения, и экспериментальные результаты показывают, что это предположение неверно. ^{[36] [37] [38] [39] [40] [41]} Фактически, воздух, движущийся над крылом профиля, создающим подъемную силу, движется намного быстрее, чем предсказывает теория равного прохождения. ^[42] Кроме того, теория нарушает третий закон движения Ньютона , поскольку она описывает силу, действующую на крыло, без противоположной силы в воздухе. ^[43]

Утверждение, что воздух должен одновременно достигать задней кромки, иногда называют «ошибкой равного времени прохождения». ^{[44] [45] [46] [47] [48]}

Споры относительно эффекта Коанды [ править ]

В своем первоначальном смысле эффект Коанды относится к тенденции струи жидкости оставаться прикрепленной к прилегающей поверхности, которая отклоняется от потока, и как результат уноса окружающего воздуха в поток. Эффект назван в честь Анри Коанды , румынского специалиста по аэродинамике, который использовал его во многих своих патентах.

В более широком смысле, некоторые считают, что эффект включает в себя тенденцию любого пограничного слоя жидкости прилипать к изогнутой поверхности, а не только пограничного слоя, сопровождающего струю жидкости. Именно в этом более широком смысле эффект Коанды используется некоторыми для объяснения того, почему воздушный поток остается прикрепленным к верхней стороне аэродинамического профиля. ^[49] Джеф Раскин , ^[50]например, описывается простая демонстрация использования соломинки для обдува верхней поверхности крыла. Крыло отклоняется вверх, демонстрируя, что эффект Коанды создает подъемную силу. Эта демонстрация правильно демонстрирует эффект Коанды в виде струи жидкости (выхлоп из соломинки), прилипающей к изогнутой поверхности (крылу). Однако верхняя поверхность в этом потоке представляет собой сложный, нагруженный вихрями слой смешения, а на нижней поверхности поток неподвижен . Физика этой демонстрации сильно отличается от физического обтекания крыла. ^[51] Использование в этом смысле встречается в некоторых популярных справочниках по аэродинамике. ^{[49] [50]}Это противоречивое использование термина «эффект Коанды». Более устоявшаяся точка зрения в области аэродинамики состоит в том, что эффект Коанды определяется в более ограниченном смысле выше ^{[51] [52] [53],} а поток, следующий за верхней поверхностью, просто отражает отсутствие разделения пограничного слоя; таким образом, это не пример эффекта Коанды. ^{[54] [55] [56] [57]}

Основные атрибуты подъемника [ править ]

Подъемная сила возникает в результате разницы давлений и зависит от угла атаки, формы профиля, плотности воздуха и скорости полета.

Перепады давления [ править ]

Давление - это нормальная сила на единицу площади, которую воздух оказывает на себя и на поверхности, которых он касается. Подъемная сила передается через давление, которое действует перпендикулярно поверхности профиля. Таким образом, результирующая сила проявляется как разность давлений. Направление результирующей силы означает, что среднее давление на верхней поверхности аэродинамического профиля ниже, чем среднее давление на нижней стороне. ^[58]

Эти перепады давления возникают в связи с изогнутым воздушным потоком. Когда жидкость движется по криволинейной траектории, возникает градиент давления, перпендикулярный направлению потока, с более высоким давлением снаружи кривой и более низким давлением внутри. ^[59] Эта прямая связь между изогнутыми линиями тока и разностью давлений, иногда называемая теоремой кривизны линий тока , была получена Леонардом Эйлером в 1754 году из второго закона Ньютона :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} p} {\ operatorname {d} R}} = \ rho {\ frac {v ^ {2}} {R}}}$

Левая часть этого уравнения представляет собой перепад давления, перпендикулярный потоку жидкости. В правой части ρ - плотность, v - скорость, а R - радиус кривизны. Эта формула показывает, что более высокие скорости и более узкая кривизна создают большие перепады давления и что для прямого потока (R → ∞) перепад давления равен нулю. ^[60]

Угол атаки [ править ]

Угол атаки есть угол между линией хорды аэродинамического профиля и набегающим воздушным потоком. Симметричный аэродинамический профиль создает нулевую подъемную силу при нулевом угле атаки. Но с увеличением угла атаки воздух отклоняется на больший угол, и вертикальный компонент скорости воздушного потока увеличивается, что приводит к увеличению подъемной силы. При малых углах симметричный аэродинамический профиль создает подъемную силу, примерно пропорциональную углу атаки. ^{[61] [62]}

По мере увеличения угла атаки подъемная сила достигает максимума под некоторым углом; увеличение угла атаки сверх этого критического угла атаки вызывает отделение потока на верхней поверхности от крыла; отклонение вниз меньше, поэтому аэродинамический профиль создает меньшую подъемную силу. Говорят, что аэродинамический профиль остановился . ^[63]

Форма аэродинамического профиля [ править ]

Максимальная подъемная сила , которая может быть сгенерирована с помощью аэродинамической поверхности при заданной скорости полета , зависит от формы аэродинамического профиля, особенно количество выпуклость (кривизны таким образом, что верхняя поверхность является более выпуклой , чем на нижней поверхности, как показано на рисунке справа). Увеличение развала обычно увеличивает максимальную подъемную силу при заданной воздушной скорости. ^{[64] [65]}

Изогнутые крылья создают подъемную силу при нулевом угле атаки. Когда линия хорды горизонтальна, задняя кромка направлена ​​вниз, а поскольку воздух следует за задней кромкой, он отклоняется вниз. ^[66] Когда изогнутый аэродинамический профиль перевернут, угол атаки можно отрегулировать таким образом, чтобы подъемная сила была направлена ​​вверх. Это объясняет, как самолет может летать вверх ногами. ^{[67] [68]}

Условия потока [ править ]

Условия окружающего потока, которые влияют на подъемную силу, включают плотность, вязкость и скорость потока жидкости. На плотность влияет температура и скорость звука среды, то есть эффекты сжимаемости.

Скорость и плотность воздуха [ править ]

Подъем пропорционален плотности воздуха и приблизительно пропорционален квадрату скорости потока. Подъемная сила также зависит от размера крыла, как правило, пропорциональна площади крыла, проецируемой в направлении подъемной силы. В расчетах удобно определять подъемную силу с помощью коэффициента подъемной силы на основе этих факторов.

Граничный слой и перетаскивание профиля [ править ]

Какой бы гладкой ни казалась поверхность крылового профиля, любая поверхность является шероховатой в масштабе молекул воздуха. Молекулы воздуха, летящие на поверхность, отскакивают от шероховатой поверхности в случайных направлениях относительно их исходных скоростей. В результате, когда воздух рассматривается как сплошной материал, видно, что он не может скользить по поверхности, и скорость воздуха относительно аэродинамического профиля снижается почти до нуля на поверхности (т. Е. Молекулы воздуха «прилипают» к поверхности. к поверхности вместо того, чтобы скользить по ней), так называемое условие прилипания . ^[69] Так как воздух у поверхности имеет близкую к нулю скорость, но воздух вдали от поверхности движется, существует тонкий пограничный слой, в котором воздух вблизи поверхности подвергается сдвиговому движению.^{[70] [71]} Вязкость воздухасопротивляется сдвигу, вызывая напряжение сдвига на поверхности профиля, называемое сопротивлением поверхностного трения . На большей части поверхности большинства профилей пограничный слой по своей природе является турбулентным, что увеличивает сопротивление поверхностного трения. ^{[71] [72]}

В обычных условиях полета пограничный слой остается прикрепленным как к верхней, так и к нижней поверхностям вплоть до задней кромки, и его влияние на остальную часть потока незначительно. По сравнению с предсказаниями теории невязкого потока , в которой нет пограничного слоя, присоединенный пограничный слой снижает подъемную силу на умеренную величину и несколько изменяет распределение давления, что приводит к сопротивлению давления, связанному с вязкостью, сверх поверхностного трения. тащить. Суммарное сопротивление поверхностного трения и сопротивление давления, связанное с вязкостью, обычно называют сопротивлением профиля . ^{[72] [73]}

Задержка [ править ]

Максимальная подъемная сила профиля при заданной воздушной скорости ограничена отрывом пограничного слоя . По мере увеличения угла атаки достигается точка, в которой пограничный слой больше не может оставаться прикрепленным к верхней поверхности. Когда пограничный слой отделяется, он оставляет область рециркулирующего потока над верхней поверхностью, как показано на фотографии визуализации потока справа. Это называется стойлом или стойлом . При углах атаки над стойлом подъемная сила значительно уменьшается, хотя и не падает до нуля. Максимальная подъемная сила, которая может быть достигнута до сваливания, с точки зрения коэффициента подъемной силы, обычно составляет менее 1,5 для одноэлементных профилей и может быть более 3,0 для профилей с высокоподъемными щелевыми закрылками и развернутыми устройствами передней кромки.^[74]

Блефовые тела [ править ]

Обтекание обтекаемых тел - то есть без обтекаемой формы или сваливающихся аэродинамических профилей - может также создавать подъемную силу в дополнение к сильной силе сопротивления. Этот подъем может быть постоянным или колебаться из-за образования вихрей . Взаимодействие гибкости объекта с образованием вихрей может усилить эффекты колеблющейся подъемной силы и вызвать вибрации, вызванные вихрями . ^[75] Например, обтекание кругового цилиндра порождает вихревую улицу Кармана : вихрипопеременно сбрасываются с боков цилиндра. Колебательный характер потока создает колеблющуюся подъемную силу на цилиндре, хотя итоговая (средняя) сила ничтожна. Подъемная сила частота характеризуются безразмерным Струхаля число , которое зависит от числа Рейнольдса потока. ^{[76] [77]}

Для гибкой конструкции эта колебательная подъемная сила может вызывать колебания, вызванные вихрями. При определенных условиях - например, резонансе или сильной корреляции подъемной силы по размаху - результирующее движение конструкции из-за колебаний подъемной силы может сильно усилиться. Такие колебания могут создавать проблемы и угрожать обрушением высоких искусственных сооружений, таких как промышленные дымоходы . ^[75]

В эффекте Магнуса подъемная сила создается вращающимся цилиндром в набегающем потоке. Здесь механическое вращение действует на пограничный слой, заставляя его разделяться в разных местах с двух сторон цилиндра. Асимметричное разделение изменяет эффективную форму цилиндра в том, что касается потока, так что цилиндр действует как подъемный аэродинамический профиль с циркуляцией во внешнем потоке. ^[78]

Более подробное физическое объяснение [ править ]

Как описано выше в разделе « Упрощенные физические объяснения подъемной силы на аэродинамическом профиле », существует два основных популярных объяснения: одно основано на отклонении потока вниз (законы Ньютона), а второе - на перепадах давления, сопровождаемых изменениями скорости потока (принцип Бернулли. ). Любой из них сам по себе правильно определяет некоторые аспекты подъемного потока, но оставляет другие важные аспекты явления необъясненными. Более полное объяснение включает как отклонение вниз, так и перепады давления (включая изменения скорости потока, связанные с перепадами давлений), и требует более подробного рассмотрения потока. ^[79]

Подъем на поверхности профиля [ править ]

Форма аэродинамического профиля и угол атаки работают вместе, так что аэродинамический профиль оказывает направленное вниз усилие на воздух, когда он проходит мимо. Согласно третьему закону Ньютона, воздух должен оказывать на аэродинамический профиль равную и противоположную (направленную вверх) силу, которая и является подъемной силой. ^[15]

Суммарная сила воздуха возникает как разность давлений на поверхностях аэродинамического профиля. ^[80] Давление в жидкости всегда положительно в абсолютном смысле, ^[81] поэтому давление всегда следует рассматривать как толкающее, а не как тянущее. Таким образом, давление толкает внутрь аэродинамический профиль повсюду как на верхней, так и на нижней поверхности. Протекающий воздух реагирует на присутствие крыла, уменьшая давление на верхнюю поверхность крыла и увеличивая давление на нижнюю поверхность. Давление на нижнюю поверхность толкает вверх сильнее, чем пониженное давление на верхнюю поверхность толкает вниз, и в итоге получается подъем вверх. ^[80]

Разница давлений, приводящая к подъемной силе, действует непосредственно на поверхности аэродинамического профиля; однако понимание того, как создается разница давлений, требует понимания того, что поток делает на более широкой площади.

Более широкий обтекание профиля [ править ]

Аэродинамический профиль влияет на скорость и направление потока на большой площади, создавая узор, называемый полем скорости.. Когда аэродинамический профиль создает подъемную силу, поток перед аэродинамическим профилем отклоняется вверх, поток над и под аэродинамическим профилем отклоняется вниз, а поток за аэродинамическим профилем снова отклоняется вверх, оставляя воздух далеко позади аэродинамического профиля в том же состоянии, что и встречный поток далеко вперед. Течение над верхней поверхностью ускоряется, а под аэродинамическим профилем - замедляется. Вместе с отклонением воздуха впереди вверх и с отклонением воздуха сразу за ним вниз это создает чистый циркуляционный компонент потока. Отклонение вниз и изменения скорости потока выражены и охватывают большую площадь, как это видно на анимации потока справа. Эти различия в направлении и скорости потока максимальны вблизи профиля и постепенно уменьшаются намного выше и ниже.Все эти особенности поля скоростей также проявляются в теоретических моделях подъемных потоков.^{[82] [83]}

На давление также влияет большая площадь в виде неравномерного давления, называемого полем давления . Когда аэродинамический профиль создает подъемную силу, имеется диффузная область низкого давления над аэродинамическим профилем и обычно диффузная область высокого давления ниже, как показано изобарами (кривыми постоянного давления) на чертеже. Разница давлений, действующая на поверхность, является лишь частью этого поля давления. ^[84]

Взаимодействие перепадов давления и изменений скорости потока [ править ]

Неоднородное давление оказывает на воздух силы в направлении от более высокого давления к более низкому давлению. Направление силы различается в разных местах вокруг аэродинамического профиля, как показано стрелками в виде блоков в поле давления вокруг фигуры аэродинамического профиля . Воздух над аэродинамическим профилем выталкивается к центру области низкого давления, а воздух под аэродинамическим профилем выталкивается наружу из центра области высокого давления.

Согласно второму закону Ньютона , сила заставляет воздух ускоряться в направлении силы. Таким образом, вертикальные стрелки в распределении давления с изобарамиНа рисунке показано, что воздух над и под аэродинамическим профилем ускоряется или поворачивается вниз, и что неравномерное давление, таким образом, является причиной отклонения потока вниз, видимого в анимации потока. Для этого поворота вниз аэродинамический профиль должен иметь положительный угол атаки или иметь достаточный положительный развал. Обратите внимание, что поворот потока вниз над верхней поверхностью является результатом того, что воздух выталкивается вниз под более высоким давлением над ним, чем под ним. Некоторые объяснения, относящиеся к «эффекту Коанды», предполагают, что вязкость играет ключевую роль в повороте вниз, но это неверно. (см. ниже в разделе « Разногласия относительно эффекта Коанды »).

Стрелки перед аэродинамическим профилем указывают на то, что поток перед аэродинамическим профилем отклоняется вверх, а стрелки за аэродинамическим профилем указывают, что поток позади аэродинамического профиля снова отклоняется вверх после того, как он отклоняется вниз по профилю. Эти отклонения также видны в анимации потока.

Стрелки перед профилем и позади него также указывают на то, что воздух, проходящий через область низкого давления над профилем, ускоряется при входе и замедляется при выходе. Воздух, проходящий через область высокого давления под аэродинамическим профилем, замедляется при входе, а затем ускоряется при выходе. Таким образом, неравномерное давление также является причиной изменений скорости потока, видимых в анимации потока. Изменения скорости потока соответствуют принципу Бернулли , который гласит, что в устойчивом потоке без вязкости более низкое давление означает более высокую скорость, а более высокое давление означает более низкую скорость.

Таким образом, изменения направления и скорости потока напрямую вызваны неравномерным давлением. Но эта причинно-следственная связь не односторонняя; он работает в обоих направлениях одновременно. На движение воздуха влияет разность давлений, но наличие разницы давления зависит от движения воздуха. Таким образом, взаимосвязь является взаимным или взаимным взаимодействием: поток воздуха меняет скорость или направление в ответ на разницу давления, а разница давления поддерживается сопротивлением воздуха изменению скорости или направления. ^[85] Разница давлений может существовать только в том случае, если есть что-то, на что она может давить. В аэродинамическом потоке разность давлений противодействует инерции воздуха, поскольку воздух ускоряется разницей давления. ^[86]Вот почему масса воздуха является частью расчета и почему подъемная сила зависит от плотности воздуха.

Поддержание разности давлений, которая создает подъемную силу на поверхностях аэродинамического профиля, требует поддержания модели неравномерного давления на широкой площади вокруг аэродинамического профиля. Это требует поддержания разницы давлений как в вертикальном, так и в горизонтальном направлениях и, следовательно, требует как поворота потока вниз, так и изменения скорости потока в соответствии с принципом Бернулли. Разница давлений и изменения направления и скорости потока поддерживают друг друга во взаимном взаимодействии. Разница давлений естественным образом вытекает из второго закона Ньютона и из того факта, что течение вдоль поверхности следует преимущественно наклонным контурам аэродинамического профиля. И тот факт, что воздух имеет массу, имеет решающее значение для взаимодействия. ^[87]

Насколько простые объяснения не оправдывают себя [ править ]

Создание подъемной силы требует как поворота потока вниз, так и изменения скорости потока в соответствии с принципом Бернулли. Каждое из упрощенных объяснений, приведенных выше в разделе « Упрощенные физические объяснения подъемной силы на аэродинамическом профиле», не оправдывает ожиданий из- за попытки объяснить подъемную силу только в терминах одного или другого, таким образом объясняя лишь часть явления и оставляя другие части необъясненными. ^[27]

Количественная оценка роста [ править ]

Интеграция давления [ править ]

Когда распределение давления на поверхности аэродинамического профиля известно, определение общей подъемной силы требует сложения вкладов в силу давления от локальных элементов поверхности, каждый из которых имеет свое собственное локальное значение давления. Таким образом, полная подъемная сила представляет собой интеграл давления над поверхностью аэродинамического профиля в направлении, перпендикулярном потоку в дальней зоне. ^[88]

${\ displaystyle L = \ oint p \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {k} \; \ mathrm {d} S,}$

куда:

• S - площадь проекции (в плане) аэродинамического профиля, измеренная перпендикулярно среднему воздушному потоку;
• n - нормальный единичный вектор, направленный в крыло;
• k - вертикальный единичный вектор, нормальный к направлению набегающего потока .

В приведенном выше уравнении подъемной силы не учитываются силы поверхностного трения , которые малы по сравнению с силами давления.

Используя продольный вектор i, параллельный набегающему потоку, вместо k в интеграле, мы получаем выражение для сопротивления давления D _p (которое включает в себя часть давления сопротивления профиля и, если крыло трехмерное, индуцированное тащить). Если мы будем использовать по размаху вектор J , мы получаем боковую силу Y .

${\ displaystyle {\ begin {align} D_ {p} & = \ oint p \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {i} \; \ mathrm {d} S, \\ [1.2ex] Y & = \ oint p \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {j} \; \ mathrm {d} S. \ end {align}}}$

Справедливость этого интегрирования обычно требует, чтобы форма аэродинамического профиля была замкнутой кривой, которая является кусочно гладкой.

Коэффициент подъема [ править ]

Подъемная сила зависит от размера крыла и приблизительно пропорциональна его площади. Часто бывает удобно количественно определить подъемную силу данного аэродинамического профиля по его коэффициенту подъемной силы , который определяет его общую подъемную силу в единицах площади крыла.${\ displaystyle C_ {L}}$

Если дано значение для крыла при заданном угле атаки, то можно определить подъемную силу, создаваемую для конкретных условий потока: ^[89]${\ displaystyle C_ {L}}$

${\ Displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} \ rho v ^ {2} SC_ {L}}$

куда

• ${\ displaystyle L}$ это подъемная сила
• ${\ displaystyle \ rho}$это плотность воздуха
• ${\ displaystyle v}$это скорость или истинная воздушная скорость
• ${\ displaystyle S}$ площадь крыла в плане (проекция)
• ${\ displaystyle C_ {L}}$это коэффициент подъемной силы под желаемым углом атаки, числа Маха и числа Рейнольдса ^[90]

Математические теории подъемной силы [ править ]

Математические теории подъемной силы основаны на механике сплошной жидкости, предполагающей, что воздух течет как сплошная жидкость. ^{[91] [92] [93]} Подъемная сила создается в соответствии с фундаментальными принципами физики, наиболее важными из которых являются следующие три принципа: ^[94]

• Сохранение количества движения , которое является следствием законов движения Ньютона, особенно второго закона Ньютона, который связывает результирующую силу, действующую на элемент воздуха, со скоростью его изменения количества движения ,
• Сохранение массы , включая предположение, что поверхность крылового профиля непроницаема для воздуха, обтекающего его, и
• Сохранение энергии , которое гласит, что энергия не создается и не разрушается.

Поскольку аэродинамический профиль влияет на поток в широкой области вокруг него, законы сохранения механики воплощены в форме уравнений в частных производных в сочетании с набором требований граничных условий, которым поток должен удовлетворять на поверхности профиля и вдали от профиль. ^[95]

Для прогнозирования подъемной силы требуется решение уравнений для конкретной формы профиля и условий потока, что обычно требует вычислений, которые настолько объемны, что их можно использовать только на компьютере, с помощью методов вычислительной гидродинамики (CFD). Определение чистой аэродинамической силы из решения CFD требует «сложения» ( интегрирования ) сил, обусловленных давлением и сдвигом, определяемых CFD по каждому элементу поверхности аэродинамического профиля, как описано в разделе « интегрирование давления ».

Уравнения Навье – Стокса (NS) обеспечивают потенциально наиболее точную теорию подъемной силы, но на практике учет эффектов турбулентности в пограничном слое на поверхности профиля требует некоторой потери точности и требует использования усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье – Стокса. уравнения (RANS). Также были разработаны более простые, но менее точные теории.

Уравнения Навье – Стокса (NS) [ править ]

Эти уравнения представляют собой сохранение массы, второй закон Ньютона (сохранение количества движения), сохранение энергии, закон Ньютона для действия вязкости , закон теплопроводности Фурье , уравнение состояния, связывающее плотность, температуру и давление, а также формулы для вязкость и теплопроводность жидкости. ^{[96] [97]}

В принципе, уравнения NS в сочетании с граничными условиями отсутствия сквозного потока и отсутствия проскальзывания на поверхности аэродинамического профиля могут быть использованы для прогнозирования подъемной силы в любой ситуации обычного полета в атмосфере с высокой точностью. Однако воздушные потоки в практических ситуациях всегда связаны с турбулентностью в пограничном слое рядом с поверхностью аэродинамического профиля, по крайней мере, над задней частью аэродинамического профиля. Прогнозирование подъемной силы путем решения уравнений НС в их необработанной форме потребовало бы вычислений, чтобы разрешить детали турбулентности, вплоть до мельчайших вихрей. Это пока невозможно даже на самом мощном современном компьютере. ^[98] Таким образом, в принципе уравнения NS обеспечивают полную и очень точную теорию подъемной силы, но для практического прогнозирования подъемной силы требуется, чтобы эффекты турбулентности моделировались в уравнениях RANS, а не вычислялись напрямую.

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS) [ править ]

Это уравнения NS с турбулентными движениями, усредненными по времени, и эффекты турбулентности на усредненный по времени поток, представленный моделированием турбулентности (дополнительная система уравнений, основанная на сочетании анализа размеров и эмпирической информации о том, как турбулентность влияет на поток). пограничный слой в усредненном по времени смысле). ^{[99] [100]} Решение RANS состоит из усредненного по времени вектора скорости, давления, плотности и температуры, определенных в плотной сетке точек, окружающей аэродинамический профиль.

Требуемый объем вычислений представляет собой мизерную долю (миллиардные) ^[98] того, что потребовалось бы для разрешения всех турбулентных движений в необработанном расчете NS, и с доступными большими компьютерами теперь практично выполнять вычисления RANS для целых самолетов. в трех измерениях. Поскольку модели турбулентности не идеальны, точность расчетов RANS недостаточна, но она достаточна для практического проектирования самолетов. Подъем, прогнозируемый RANS, обычно находится в пределах нескольких процентов от фактического подъема.

Уравнения невязкого течения (Эйлера или потенциала) [ править ]

Уравнения Эйлера - это уравнения НС без эффектов вязкости, теплопроводности и турбулентности. ^[101] Как и в случае решения RANS, решение Эйлера состоит из вектора скорости, давления, плотности и температуры, определенных в плотной сетке точек, окружающей аэродинамический профиль. Хотя уравнения Эйлера проще, чем уравнения НС, они не поддаются точным аналитическим решениям.

Дальнейшее упрощение доступно с помощью теории потенциального потока , которая уменьшает количество неизвестных, которые необходимо определить, и делает возможными аналитические решения в некоторых случаях, как описано ниже.

Расчеты Эйлера или потенциального потока приблизительно правильно предсказывают распределение давления на поверхностях аэродинамического профиля для углов атаки ниже сваливания, где они могут пропустить общую подъемную силу на 10-20%. При углах атаки над стойлом нечеткие вычисления не предсказывают, что срыв произошел, и в результате они сильно переоценивают подъемную силу.

В теории потенциального потока предполагается, что поток является безвихревым , то есть небольшие частицы жидкости не имеют чистой скорости вращения. Математически это выражается утверждением, что ротор векторного поля скорости всюду равен нулю. Безвихревые потоки обладают тем удобным свойством, что скорость может быть выражена как градиент скалярной функции, называемой потенциалом . Представленный таким образом поток называется потенциальным потоком. ^{[102] [103] [104] [105]}

В теории потенциального течения поток считается несжимаемым. Теория несжимаемого потенциального потока имеет то преимущество, что уравнение (уравнение Лапласа ), которое необходимо решить для потенциала, является линейным , что позволяет строить решения путем суперпозиции других известных решений. Уравнение несжимаемого потенциального потока также можно решить с помощью конформного отображения, метод, основанный на теории функций комплексного переменного. В начале 20-го века, до появления компьютеров, конформное отображение использовалось для генерации решений уравнения потенциального потока несжимаемой жидкости для класса идеализированных форм крылового профиля, что дало некоторые из первых практических теоретических предсказаний распределения давления на подъемном профиле.

Решение потенциального уравнения напрямую определяет только поле скорости. Поле давления выводится из поля скорости с помощью уравнения Бернулли.

Применение теории потенциального потока к подъемному потоку требует специального рассмотрения и дополнительных предположений. Проблема возникает из-за того, что подъемная сила на профиле в невязком потоке требует циркуляции в потоке вокруг профиля (см. « Циркуляция и теорема Кутты – Жуковского » ниже), но единственная потенциальная функция, непрерывная во всей области вокруг профиля, не может представлять собой поток с ненулевой циркуляцией. Решение этой проблемы - ввести срез ветки, кривая или линия от некоторой точки на поверхности профиля до бесконечного расстояния, и допускать скачок значения потенциала на разрезе. Скачок потенциала вызывает циркуляцию в потоке, равную скачку потенциала, и, таким образом, позволяет представить ненулевую циркуляцию. Однако скачок потенциала является свободным параметром, который не определяется уравнением потенциала или другими граничными условиями, и поэтому решение является неопределенным. Решение с потенциальным потоком существует для любого значения циркуляции и любого значения подъемной силы. Один из способов решить эту неопределенность, чтобы наложить условие Кутты , ^{[106] [107]}Это означает, что из всех возможных решений физически разумным является решение, при котором поток плавно покидает заднюю кромку. Эскизы линий тока иллюстрируют одну картину потока с нулевой подъемной силой, в которой поток идет вокруг задней кромки и покидает верхнюю поверхность перед задней кромкой, и другую картину потока с положительной подъемной силой, при которой поток плавно выходит на задней кромке в соответствии с условием Кутты.

Линеаризованный потенциальный поток [ править ]

Это теория потенциального обтекания с дальнейшими предположениями, что профиль очень тонкий, а угол атаки мал. ^[108] Линеаризованная теория предсказывает общий характер распределения давления на профиле и то, как на него влияют форма профиля и угол атаки, но она недостаточно точна для проектных работ. Для двумерного профиля такие вычисления могут быть выполнены за доли секунды в электронной таблице на ПК.

Циркуляция и теорема Кутты – Жуковского [ править ]

Когда аэродинамический профиль создает подъемную силу, несколько компонентов общего поля скоростей способствуют чистой циркуляции воздуха вокруг него: восходящий поток перед аэродинамическим профилем, ускоренный поток вверху, замедленный поток внизу и нисходящий поток позади него.

Циркуляцию можно понимать как общее количество «вращения» (или завихренности ) невязкой жидкости вокруг аэродинамического профиля.

Теорема Кутта – Жуковски связывает подъемную силу на единицу ширины двумерного крылового профиля с этой циркуляционной составляющей потока. ^{[82] [109] [110]} Это ключевой элемент в объяснении подъемной силы, которая следует за развитием обтекания аэродинамического профиля, когда аэродинамический профиль начинает свое движение из состояния покоя, и формируется начальный вихрь, который остается позади, что приводит к образование циркуляции вокруг профиля. ^{[111] [112] [113]} Подъем затем выводится из теоремы Кутта-Жуковского. Это объяснение в значительной степени математическое, и его общее развитие основано на логических выводах, а не на физических причинно-следственных связях. ^[114]

Модель Кутта – Жуковски не предсказывает, сколько циркуляции или подъемной силы будет производить двумерный аэродинамический профиль. Для расчета подъемной силы на единицу пролета с помощью метода Кутта – Жуковски требуется известное значение циркуляции. В частности, если выполняется условие Кутта, при котором задняя точка торможения перемещается к задней кромке аэродинамического профиля и закрепляется там на время полета, подъемная сила может быть вычислена теоретически с помощью метода конформного отображения.

Подъемная сила, создаваемая обычным аэродинамическим профилем, определяется как конструкцией, так и условиями полета, такими как скорость движения вперед, угол атаки и плотность воздуха. Подъем можно увеличить за счет искусственного увеличения циркуляции, например, путем продувки пограничного слоя или использования выдувных заслонок . В роторе Флеттнера весь аэродинамический профиль имеет круглую форму и вращается вокруг оси размаха для создания циркуляции.

Трехмерный поток [ править ]

Обтекание трехмерного крыла связано со значительными дополнительными проблемами, особенно с законцовками крыла. Для крыла с низким удлинением, такого как типичное треугольное крыло , двумерные теории могут дать плохую модель, и эффекты трехмерного потока могут преобладать. ^[115] Даже для крыльев с высоким соотношением сторон трехмерные эффекты, связанные с конечным размахом, могут повлиять на весь размах, а не только рядом с концами.

Концы крыла и распределение по размаху [ править ]

Вертикальный градиент давления на законцовках крыла заставляет воздух течь вбок, из-под крыла, затем вверх и обратно по верхней поверхности. Это снижает градиент давления на законцовке крыла, что также снижает подъемную силу. Подъемная сила имеет тенденцию уменьшаться в направлении размаха от основания к вершине, и распределения давления вокруг секций аэродинамического профиля соответственно изменяются в направлении размаха. Распределение давления в плоскостях, перпендикулярных направлению полета, обычно выглядит так, как показано на рисунке справа. ^[116]Это изменяющееся по размаху распределение давления поддерживается за счет взаимодействия с полем скорости. Поток под крылом ускоряется наружу, поток за пределы законцовок ускоряется вверх, а поток над крылом ускоряется внутри, что приводит к картине потока, показанной справа. ^[117]

Поток поворачивается вниз сильнее, чем это было бы в двумерном потоке с той же формой аэродинамического профиля и подъемной силой в разрезе, и для достижения такой же подъемной силы требуется более высокий угол атаки в разрезе по сравнению с двумерным потоком. ^[118] Крыло эффективно летит в нисходящем потоке, созданном им самим, как если бы набегающий поток был наклонен вниз, в результате чего вектор общей аэродинамической силы слегка наклонен назад по сравнению с тем, что было бы в двух измерениях. Дополнительная обратная составляющая вектора силы называется сопротивлением, вызванным подъемной силой .

Разница в составляющей скорости по размаху над и под крылом (между нахождением во внутреннем направлении вверху и в наружном направлении внизу) сохраняется на задней кромке и в следе вниз по потоку. После того, как поток покидает заднюю кромку, эта разница в скорости имеет место в относительно тонком слое сдвига, называемом вихревой пеленой.

Система подковообразных вихрей [ править ]

Поток законцовки крыла, покидающий крыло, создает концевой вихрь. Когда основной вихревой лист проходит вниз по потоку от задней кромки, он сворачивается на своих внешних краях, сливаясь с концевыми вихрями. Комбинация вихрей на законцовках крыла и питающих их вихревых листов называется вихревым следом.

В дополнение к завихренности в следящем вихревом следе существует завихренность в пограничном слое крыла, называемая «связанной завихренностью», которая соединяет ведомые листы с двух сторон крыла в вихревую систему в общей форме подковы. Подковообразная форма вихревой системы была признана пионером в области авиации Великобритании Ланчестером в 1907 г. ^[119]

Учитывая распределение связанной завихренности и завихренности в следе, закон Био – Савара (соотношение векторного исчисления) может быть использован для расчета возмущения скорости в любом месте поля, вызванного подъемной силой на крыле. Приближенные теории распределения подъемной силы и индуцированного подъемной силы сопротивления трехмерных крыльев основаны на таком анализе применительно к подковообразной вихревой системе крыла. ^{[120] [121]} В этих теориях связанная завихренность обычно идеализируется и предполагается, что она находится на поверхности изгиба внутри крыла.

Поскольку скорость выводится из завихренности в таких теориях, некоторые авторы описывают ситуацию, подразумевая, что завихренность является причиной возмущений скорости, используя, например, такие термины, как «скорость, индуцированная вихрем». ^[122] Но такое объяснение механической причинно-следственной связи между завихренностью и скоростью не согласуется с физикой. ^{[123] [124] [125]} Возмущения скорости при обтекании крыла на самом деле создаются полем давления. ^[126]

Проявления подъемной силы в дальней зоне [ править ]

Интегрированный баланс силы / количества движения в подъемных потоках [ править ]

Обтекание поднимающегося профиля должно удовлетворять второму закону Ньютона относительно сохранения количества движения, как локально в каждой точке поля потока, так и в интегрированном смысле по любой протяженной области потока. Для расширенной области второй закон Ньютона принимает форму теоремы об импульсе для контрольного объема , где контрольный объем может быть любой областью потока, выбранной для анализа. Теорема об импульсе утверждает, что интегрированная сила, действующая на границах контрольного объема ( поверхностный интеграл ), равна интегрированной скорости изменения во времени ( материальная производная) количества движения частиц жидкости, проходящих через внутреннюю часть контрольного объема. Для стационарного потока это может быть выражено в виде суммарного поверхностного интеграла потока количества движения через границу. ^[127]

Подъемный поток вокруг двумерного аэродинамического профиля обычно анализируется в контрольном объеме, который полностью окружает аэродинамический профиль, так что внутренней границей управляющего объема является поверхность аэродинамического профиля, где крыловой профиль оказывает на жидкость направленную вниз силу на единицу пролета . Внешняя граница обычно представляет собой большой круг или большой прямоугольник. На этой внешней границе, удаленной от аэродинамического профиля, скорость и давление хорошо представлены скоростью и давлением, связанными с однородным потоком плюс вихрь, а вязкое напряжение пренебрежимо мало, так что единственная сила, которая должна быть интегрирована по внешней границе, это давление. ^{[128] [129] [130]}${\ displaystyle -L '}$ Скорость набегающего потока обычно считается горизонтальной, а подъемная сила - вертикально вверх, так что вертикальный импульс является интересующей составляющей.

Для случая свободного воздуха (без плоскости заземления) сила, действующая со стороны аэродинамического профиля на жидкость, проявляется частично как потоки импульса и частично как разность давлений на внешней границе в пропорциях, которые зависят от формы внешней границы, как показано на диаграмме справа. Для плоского горизонтального прямоугольника, который намного длиннее, чем его высота, потоки вертикального импульса через переднюю и заднюю части пренебрежимо малы, а подъемная сила полностью объясняется интегральной разницей давления сверху и снизу. ^[128] Для квадрата или круга потоки импульса и разность давлений составляют половину подъемной силы каждый. ^{[128] [129] [130]}${\ displaystyle -L '}$Для вертикального прямоугольника, который намного выше, чем его ширина, неуравновешенные силы давления сверху и снизу пренебрежимо малы, а подъемная сила полностью учитывается потоками импульса, с потоком восходящего импульса, который поступает в контрольный объем через переднюю часть. для половины подъемной силы и потока нисходящего импульса, который выходит из контрольного объема через спину, составляя вторую половину. ^[128]

Результаты всех описанных выше анализов контрольного объема согласуются с описанной выше теоремой Кутты – Жуковского. При выводе теоремы использовались как высокие прямоугольные, так и круглые контрольные объемы. ^{[129] [130]}

Подъемная сила отреагировала избыточным давлением на землю под самолетом [ править ]

Аэродинамический профиль создает поле давления в окружающем воздухе, как описано выше в разделе « Более широкий поток вокруг аэродинамического профиля ». Связанные с этим полем перепады давления постепенно исчезают, становясь очень маленькими на больших расстояниях, но никогда не исчезают полностью. Под самолетом поле давления сохраняется в виде положительного возмущения давления, которое достигает земли, образуя картину давления на землю, немного превышающего атмосферное, как показано справа. ^[131]Хотя перепады давления очень малы далеко под самолетом, они распространяются по большой площади и в сумме создают значительную силу. При устойчивом горизонтальном полете интегральная сила, возникающая из-за разницы давлений, равна общей аэродинамической подъемной силе самолета и его массе. Согласно третьему закону Ньютона, этой силе давления, оказываемой воздухом на землю, соответствует равная и противоположная восходящая сила, действующая на воздух со стороны земли, которая компенсирует всю направленную вниз силу, действующую на воздух со стороны самолета. Таким образом, результирующая сила подъемной силы, действующая на атмосферу в целом, равна нулю, и, таким образом, в атмосфере не происходит интегрированного накопления вертикального импульса, как было отмечено Ланчестером в начале развития современной аэродинамики. ^[132]

См. Также [ править ]

• Коэффициент трения
• Разделение потоков
• Динамика жидкостей
• Фольга (гидромеханика)
• Эффект Кюсснера
• Отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению
• Теория подъемной линии
• Спойлер (автомобильный)

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите лифт в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Обсуждение очевидного «конфликта» между различными объяснениями подъемной силы.
• Учебник НАСА, с анимацией, описывающий подъем
• NASA FoilSim II 1.5 beta. Симулятор лифта
• Пояснение к Lift с анимацией обтекания профиля жидкостью
• Рассказ о том, почему и как крылья создают подъемную силу, с упором на давление
• Физика полета - обзор . Электронный доклад профессора доктора Клауса Вельтнера
• Как работают крылья? Хольгер Бабинский
• Бернулли или Ньютон: кто прав насчет подъемной силы? Журнал " Самолет и пилот"
• One Minute Physics Как на самом деле работает крыло? (YouTube видео)
• От вершины до морского дна - Поднятый вес как функция высоты и глубины , Рольф Штайнеггер
• Joukowski Transform Interactive WebApp