В математике , потенциал обтекания кругового цилиндра является классическим решением для потока в качестве невязкой , несжимаемой жидкости вокруг цилиндра , который является поперечно по отношению к потоку. Вдали от цилиндра поток однонаправленный и равномерный. Поток не имеет завихренности, поэтому поле скоростей является безвихревым и может быть смоделировано как потенциальный поток . В отличие от реальной жидкости, это решение указывает на полное нулевое сопротивление тела, результат, известный как парадокс Даламбера .
Математическое решение [1]
Цилиндр (или диск) радиуса R помещен в двумерный несжимаемый невязкий поток. Цель состоит в том, чтобы найти установившийся вектор скорости V и давление p на плоскости при условии, что вдали от цилиндра вектор скорости (относительно единичных векторов i и j ) равен
где U - постоянная, а на границе цилиндра
где n̂ - вектор, нормальный к поверхности цилиндра. Восходящий поток однороден и не имеет завихрений. Поток невязкий, несжимаемый, имеет постоянную массовую плотность ρ . Таким образом, течение остается без завихренности или называется безвихревым с ∇ × V = 0 всюду. Поскольку он является безвихревым, должен существовать потенциал скорости φ :
Будучи несжимаемым, ible · V = 0 , поэтому φ должно удовлетворять уравнению Лапласа :
Решение для ф получается наиболее легко в полярных координатах г и θ , связанное с обычными декартовыми координатами по й = г соз θ и у = г ет & thetas . В полярных координатах уравнение Лапласа имеет вид (см. Del в цилиндрических и сферических координатах ):
Решение, удовлетворяющее граничным условиям, есть [2]
Компоненты скорости в полярных координатах получаются из компонент ∇ φ в полярных координатах:
а также
Невязкое и безвихревое уравнение Бернулли позволяет получить решение для поля давления непосредственно из поля скорости:
где константы U и р ∞ появляются так , что р → р ∞ далеко от цилиндра, где V = U . Используя V 2 = V2
р+ V2
θ,
На рисунках раскрашенное поле, называемое «давление», представляет собой график
На поверхности цилиндра, или r = R , давление изменяется от максимального значения 1 (показано на диаграмме красным ) в точках торможения при θ = 0 и θ = π до минимума −3 (показано синим ). по сторонам цилиндра при θ =π/2и θ = 3π/2. Точно так же V изменяется от V = 0 в точках торможения до V = 2 U по бокам при низком давлении.
Функция потока
Поскольку поток несжимаем, можно найти такую функцию тока , что
Из этого определения с использованием векторных тождеств следует , что
Таким образом, контур постоянного значения ф также будет обтекаемой, линия по касательной к V . Для обтекания цилиндра находим:
Физическая интерпретация
Уравнение Лапласа является линейным и является одним из самых элементарных дифференциальных уравнений в частных производных . Это простое уравнение дает полное решение как для V, так и для p из-за ограничения безвихревости и несжимаемости. Получив решение для V и p , можно отметить согласованность градиента давления с ускорениями.
Давление динамического в критической точке вверх по течению имеет значение1/2ρU 2 . значениенеобходимое для замедления свободного потока скорости потока U . Это же значение появляется в точке остановки ниже по потоку, это высокое давление снова необходимо для замедления потока до нулевой скорости. Эта симметрия возникает только потому, что поток полностью лишен трения.
Низкое давление по бокам цилиндра необходимо для центростремительного ускорения потока:
где L - радиус кривизны потока. [ Править ] Но L ≈ R и V ≈ U . Таким образом, интеграл уравнения для центростремительного ускорения, который будет на расстоянии Δ r ≈ R , даст
Точное решение для самого низкого давления имеет
Низкое давление, которое должно присутствовать для обеспечения центростремительного ускорения, также увеличит скорость потока по мере того, как жидкость перемещается от более высоких значений давления к более низким. Таким образом, мы находим максимальную скорость потока V = 2 U при низком давлении по бокам цилиндра.
Значение V > U соответствует сохранению объема жидкости. Поскольку цилиндр блокирует часть потока, V должно быть больше U где-то в плоскости, проходящей через центр цилиндра и поперечной потоку.
Сравнение с потоком реальной жидкости мимо цилиндра
Симметрия этого идеального решения имеет точку застоя на задней стороне цилиндра, а также на передней стороне. Распределение давления по передней и задней сторонам одинаково, что приводит к особому свойству нулевого сопротивления цилиндра - свойству, известному как парадокс Даламбера . В отличие от идеальной невязкой жидкости, вязкое обтекание цилиндра, независимо от того, насколько мала вязкость, образует тонкий пограничный слой, прилегающий к поверхности цилиндра. Произойдет отрыв пограничного слоя , и в потоке за цилиндром будет существовать задний след . Давление в каждой точке на обратной стороне цилиндра будет ниже, чем на стороне входа по потоку, что приведет к возникновению силы сопротивления в направлении вниз по потоку.
Разложение Янцена – Рэлея
Проблема потенциального сжимаемого обтекания кругового цилиндра была впервые изучена О. Янзеном в 1913 г. [3] и лордом Рэлеем в 1916 г. [4] с небольшими сжимаемыми эффектами. Здесь малым параметром является квадрат числа Маха , где c - скорость звука . Тогда решение первого приближения по потенциалу скорости имеет вид
где - радиус цилиндра.
Возможное обтекание кругового цилиндра с небольшими отклонениями
Регулярный анализ возмущений для обтекания цилиндра с небольшими возмущениями в конфигурациях можно найти в Милтоне Ван Дайке (1975). [5] Далее ε будет представлять небольшой положительный параметр, а a - радиус цилиндра. Для более подробного анализа и обсуждения читателям отсылаем к книге Милтона Ван Дайка 1975 года « Методы возмущений в механике жидкости» . [5]
Слегка деформированный цилиндр
Здесь радиус цилиндра равен не r = a , а слегка искаженной форме r = a (1 - ε sin 2 θ ) . Тогда решение первого приближения есть
Слегка пульсирующий круг
Здесь радиус цилиндра немного меняется со временем, поэтому r = a (1 + ε f ( t )) . Тогда решение первого приближения есть
Течение с небольшой завихренностью
В общем, скорость набегающего потока U однородна, другими словами ψ = Uy , но здесь во внешнем потоке налагается небольшая завихренность.
Линейный сдвиг
Здесь вводится линейный сдвиг скорости.
где ε - малый параметр. Основное уравнение
Тогда решение первого приближения есть
Параболический сдвиг
Здесь вводится параболический сдвиг внешней скорости.
Тогда решение первого приближения есть
где χ - однородное решение уравнения Лапласа, восстанавливающее граничные условия.
Слегка пористый цилиндр
Пусть C ps представляет собой коэффициент поверхностного давления для непроницаемого цилиндра:
где p s - поверхностное давление непроницаемого цилиндра. Пусть теперь C pi - коэффициент внутреннего давления внутри цилиндра, тогда небольшая нормальная скорость из-за небольшой пористости определяется выражением
но условие нулевого чистого потока
требует, чтобы C pi = −1 . Следовательно,
Тогда решение первого приближения есть
Гофрированный квазицилиндр
Если цилиндр имеет переменный радиус в осевом направлении, ось z , r = a ( 1 + ε sin z/б) , то решение первого приближения по трехмерному потенциалу скорости имеет вид
где K 1 (р/б) -модифицированная функция Бесселя первого родапорядка.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521663960.[ требуется страница ]
- ^ Ачесон, Дэвид Дж. (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198596790.[ требуется страница ]
- ^ O. JANZEN, Beitrag zu eincr Theorie der stationaren Stromung kompressibler Flussigkeiten. Phys. Zeits., 14 (1913)
- ^ Рэлей, Л. (1916). I. О течении сжимаемой жидкости мимо препятствия. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 32 (187), 1-6.
- ^ а б Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости . Параболический пресс.[ ISBN отсутствует ] [ требуется страница ]