Завихренность

В механике сплошных сред , завихренность является псевдовектором полем , которое описывает локальное спиннинг движения континуума вблизи некоторой точки (тенденция чего - то , чтобы повернуть ^[1] ), как можно было бы рассматривать в качестве наблюдателя , расположенных в этой точке и путешествие вместе с потоком . Это важная величина в динамической теории жидкостей и обеспечивает удобную основу для понимания множества сложных явлений течения, таких как образование и движение вихревых колец . ^{[2] [3]}

Математически, завихренность является ротор от скорости потока : ^{[4] [3]}${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}\equiv \nabla \times {\vec {u}}\,,}$

где - оператор del . Концептуально это можно определить, отмечая части континуума в небольшой окрестности рассматриваемой точки и наблюдая за их относительными смещениями по мере их движения по потоку. Завихренность будет вдвое больше вектора средней угловой скорости этих частиц относительно их центра масс , ориентированных по правилу правой руки .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

В двумерном потоке , всегда перпендикулярно к плоскости потока, и , следовательно , можно рассматривать как скалярное поле .${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

Примеры [ править ]

В континууме, который вращается как твердое тело, завихренность в два раза превышает вектор угловой скорости этого вращения. Так обстоит дело, например, в центральном ядре вихря Ренкина . ^[5]

Завихренность может быть отличной от нуля, даже когда все частицы движутся по прямым и параллельным линиям , если есть сдвиг (то есть, если скорость потока изменяется по линиям тока ). Например, в ламинарном потоке внутри трубы с постоянным поперечным сечением все частицы движутся параллельно оси трубы; но быстрее около этой оси и практически неподвижен рядом со стенами. Завихренность будет равна нулю на оси и максимальной у стенок, где сдвиг наибольший.

И наоборот, поток может иметь нулевую завихренность, даже если его частицы движутся по искривленным траекториям. Примером может служить идеальный безвихревой вихрь , где большинство частиц вращаются вокруг некоторой прямой оси со скоростью, обратно пропорциональной их расстоянию до этой оси. Небольшой кусок континуума, который не охватывает ось, будет вращаться в одном смысле, но срезаться в противоположном, так что их средняя угловая скорость относительно центра масс равна нулю.

Примеры потоков:
Вихрь в виде твердого тела v ∝ r	Параллельный поток со сдвигом	Безвихревой вихрь v ∝1/р
где v - скорость потока, r - расстояние до центра вихря, а ∝ указывает на пропорциональность . Абсолютные скорости вокруг выделенной точки:
Относительные скорости (увеличены) вокруг выделенной точки
Завихренность ≠ 0	Завихренность ≠ 0	Завихренность = 0

Другой способ визуализировать завихренность - представить, что мгновенно крошечная часть континуума становится твердой, а остальная часть потока исчезает. Если эта крошечная новая твердая частица вращается, а не просто движется вместе с потоком, тогда в потоке есть завихренность. На рисунке ниже левый фрагмент рисунка демонстрирует отсутствие завихренности, а правый фрагмент рисунка демонстрирует наличие завихренности.

Математическое определение [ править ]

Математически завихренность трехмерного потока - это псевдовекторное поле, обычно обозначаемое как ротор поля скорости, описывающего движение континуума. В декартовых координатах :${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {v}}&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\\[6px]&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}}&\quad {\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}}&\quad {\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

На словах завихренность говорит о том, как изменяется вектор скорости, когда человек движется на бесконечно малое расстояние в направлении, перпендикулярном ему.

В двумерном потоке, где скорость не зависит от -координаты и не имеет -компоненты, вектор завихренности всегда параллелен -оси и, следовательно, может быть выражен как скалярное поле, умноженное на постоянный единичный вектор :${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=\nabla \times {\vec {v}}&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}&\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\\[6px]&=\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}\,.\end{aligned}}}$

Завихренность также связана с циркуляцией потока (линейный интеграл скорости) по замкнутой траектории согласно (классической) теореме Стокса . А именно, для любой бесконечно малой поверхности элемента C с нормальным направлением и областью , циркуляция по периметру части является скалярным произведением , где находится завихренность в центре . ^[6]${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle d\Gamma }$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}\cdot ({\vec {n}}\,dA)}$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle C}$

Эволюция [ править ]

Эволюция поля завихренности во времени описывается уравнением завихренности , которое может быть получено из уравнений Навье – Стокса . ^[7]

Во многих реальных потоках, где вязкостью можно пренебречь (точнее, в потоках с большим числом Рейнольдса ), поле завихренности может быть смоделировано набором дискретных вихрей, причем завихренность пренебрежимо мала везде, кроме небольших областей пространства, окружающих оси вихри. Это верно в случае двумерного потенциального потока (т. Е. Двумерного потока с нулевой вязкостью), и в этом случае поле потока может быть смоделировано как комплексное поле на комплексной плоскости .

Завихренность полезна для понимания того, как идеальные решения для потенциальных потоков могут быть возмущены для моделирования реальных потоков. В общем, наличие вязкости вызывает диффузию завихренности от ядер вихря в общее поле течения; этот поток учитывается диффузионным членом в уравнении переноса завихренности. ^[8]

Вихревые линии и вихревые трубки [ править ]

Линия вихря или линия завихренности - это линия, которая всюду касается вектора локальной завихренности. Линии вихря определяются соотношением ^[9]

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

где - вектор завихренности в декартовых координатах .${\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Вихревая трубка представляет собой поверхность в непрерывном спектре, образованный всеми вихревых линий , проходящих через данную (приводимой) замкнутой кривой в континууме. «Сила» вихревой трубы (также называемая вихревым потоком ) ^[10] представляет собой интеграл завихренности по поперечному сечению трубы и одинакова везде вдоль трубы (поскольку завихренность не имеет расходимости). Следствием теорем Гельмгольца (или, что эквивалентно, теоремы Кельвина о циркуляции ) является то, что в невязкой жидкости «сила» вихревой трубки также постоянна во времени. Вязкие эффекты приводят к потерям на трение и временной зависимости.

В трехмерном потоке завихренность (измеряемая как объемный интеграл от квадрата его величины) может усиливаться при удлинении вихревой линии - явление, известное как растяжение вихрей . ^[11] Это явление возникает при образовании водоворота в ванне в вытекающей воде и нарастании торнадо из-за поднимающихся воздушных потоков.

Измерители завихренности [ править ]

Измеритель завихренности с вращающейся лопастью [ править ]

Пластинчато-вращающийся измеритель завихренности изобрел русский инженер-гидротехник А.Я. Милович (1874–1958). В 1913 году он предложил пробку с четырьмя прикрепленными лопастями как устройство, качественно показывающее величину вертикальной проекции завихренности, и продемонстрировал киносъемку движения поплавка по поверхности воды на модели излучины реки. ^[12]

Вихревые измерители с вращающимися лопастями обычно показаны в учебных фильмах по механике сплошных сред (известные примеры включают «Завихренность» NCFMF ^[13] и «Фундаментальные принципы потока» Института гидравлических исследований Айовы ^[14] ).

Конкретные науки [ править ]

Аэронавтика [ править ]

В аэродинамике , то лифт распределение по конечным крылу может быть аппроксимировано в предположении , что каждый сегмент крыла имеет полубесконечный вихревой след за ним. Затем можно определить силу вихрей, используя критерий отсутствия потока, индуцированного через поверхность крыла. Эта процедура называется методом вихревой панели вычислительной гидродинамики . Затем силы вихрей суммируются, чтобы найти общую приблизительную циркуляцию вокруг крыла. Согласно теореме Кутты – Жуковски , подъемная сила - это произведение циркуляции, воздушной скорости и плотности воздуха.

Атмосферные науки [ править ]

Относительная завихренности является завихренность относительно Земли , индуцированного поля скоростей воздуха. Это поле скорости воздуха часто моделируется как двумерный поток, параллельный земле, так что вектор относительной завихренности обычно представляет собой скалярную величину вращения, перпендикулярную земле. Завихренность положительна, когда - глядя на поверхность земли - ветер вращается против часовой стрелки. В северном полушарии положительная завихренность называется циклоническим вращением , а отрицательная завихренность - антициклоническим вращением ; номенклатура обратная в Южном полушарии.

Абсолютный вихорь вычисляется из скорости воздуха по отношению к инерциальной системе координат, и , следовательно , включает в себя член из - за вращение Земли, параметр Кориолиса .

Потенциальный вихрь является абсолютной завихренности , деленное на расстояние по вертикали между уровнями постоянной (потенциальной) температуры (или энтропии ). Абсолютная завихренность воздушной массы изменится, если воздушная масса растягивается (или сжимается) в вертикальном направлении, но потенциальная завихренность сохраняется в адиабатическом потоке. Поскольку в атмосфере преобладает адиабатический поток, потенциальная завихренность полезна в качестве приблизительного индикатора воздушных масс в атмосфере в течение нескольких дней, особенно при рассмотрении на уровнях постоянной энтропии.

Уравнение баротропной завихренности - это простейший способ прогнозирования движения волн Россби (то есть впадин и гребней с геопотенциальной высотой 500  гПа ) на ограниченный период времени (несколько дней). В 1950-х годах первые успешные программы численного прогноза погоды использовали это уравнение.

В современных численных моделях прогноза погоды и моделях общей циркуляции (МОЦ) завихренность может быть одной из прогнозируемых переменных, и в этом случае соответствующее зависящее от времени уравнение является прогностическим уравнением .

С понятием завихренности связана спиральность , определяемая как${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}{\vec {u}}\cdot {\vec {\omega }}\,dV}$

где интеграл берется по заданному объему . В науке об атмосфере спиральность движения воздуха важна для прогнозирования суперъячейки и потенциальной активности смерчей . ^[15]${\displaystyle V}$

См. Также [ править ]

• Уравнение баротропной завихренности
• Парадокс Даламбера
• Энстрофия
• Потенциал скорости
• Вихрь
• Вихревая трубка
• Вихревое растяжение
• Подковообразный вихрь
• Вихри крыла

Гидродинамика [ править ]

• Закон Био – Савара
• Тираж
• Уравнения завихренности
• Теорема Кутты – Жуковского.

Атмосферные науки [ править ]

• Прогностическое уравнение
• Карл-Густав Россби
• Ганс Эртель

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Ачесон, ди-джей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-859679-0.
• Ландау, ЛД; Лифшиц Е.М. (1987). Гидромеханика (2-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Позрикидис, К. (2011). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Гийон, Этьен; Хулин, Жан-Пьер; Пети, Люк; Митеску, Каталин Д. (2001). Физическая гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851746-7.
• Batchelor, GK (2000) [1967], Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66396-2
• Клэнси, LJ (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон ISBN 0-273-01120-0 
• « Глоссарий погоды » »The Weather Channel Interactive, Inc .. 2004.
• « Завихренность ». Комплексное издательское дело.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Окитани, К., " Элементарный учет завихренности и связанных уравнений ". Издательство Кембриджского университета. 30 января 2005 г. ISBN 0-521-81984-9 
• Чорин, Александр Дж. , " Завихренность и турбулентность ". Прикладные математические науки, Том 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 г. ISBN 0-387-94197-5 
• Майда, Эндрю Дж. , Андреа Л. Бертоцци, " Завихренность и несжимаемый поток ". Издательство Кембриджского университета; 2002. ISBN 0-521-63948-4 
• Триттон, Д. Д. , " Физическая гидродинамика ". Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк. 1977 г. ISBN 0-19-854493-6 
• Арфкен, Г., " Математические методы для физиков ", 3-е изд. Academic Press, Орландо, Флорида. 1985. ISBN 0-12-059820-5 

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме завихрения .

• Вайсштейн, Эрик В., « Завихренность ». Scienceworld.wolfram.com.
• Досуэлл III, Чарльз А., " Праймеры по завихренности для применения в суперячейках и торнадо ". Кооперативный институт мезомасштабных метеорологических исследований, Норман, Оклахома.
• Крамер, М.С., " Уравнения Навье – Стокса - теоремы переноса завихренности : Введение ". Основы механики жидкости.
• Паркер, Дуглас, " ENVI 2210 - Атмосфера и динамика океана, 9: Завихренность ". Школа окружающей среды Университета Лидса. Сентябрь 2001 г.
• Грэм, Джеймс Р. , " Астрономия 202: астрофизическая газовая динамика ". Отдел астрономии Калифорнийского университета в Беркли .
  • « Уравнение завихренности: несжимаемая и баротропная жидкости ».
  • « Интерпретация уравнения завихренности ».
  • « Теорема Кельвина о завихренности для несжимаемого или баротропного потока ».
• « Spherepack 3.1 ». (включает сборник программы завихренности FORTRAN)
• « Мезомасштабное сжимаемое сообщество (MC2) ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Прогнозы модели в реальном времени ». (Анализ потенциальной завихренности)