Потенциальный поток

Потенциал-поток ток вокруг NACA 0012 аэродинамического профиля при 11 ° угол атаки , с верхними и нижними streamtubes идентифицированы.

В динамике жидкости , потенциальный поток описывает поле скоростей как градиент скалярной функции: от потенциала скорости . В результате потенциальный поток характеризуется безвихревым полем скорости , что является допустимым приближением для нескольких приложений. Невращаемость потенциального потока связана с тем, что ротор градиента скаляра всегда равен нулю.

В случае несжимаемого потока потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа , и применима теория потенциала . Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемых потоков . Подход потенциального потока применяется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков. Примеры применения потенциального потока: внешнее поле потока для аэрокрыльев , волн на воде , электроосмотического потока и потока грунтовых вод . Для потоков (или их частей) с сильными эффектами завихренности приближение потенциального потока не применимо.

Характеристики и применение [ править ]

Описание и характеристики [ править ]

В гидродинамике потенциальный поток описывается с помощью потенциала скорости φ , который является функцией пространства и времени. Скорость потока v представляет собой векторное поле, равное градиенту ∇ потенциала скорости φ : ^[1]

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ varphi.}$

Иногда также используется определение v = −∇ φ со знаком минус. Но здесь мы будем использовать определение, приведенное выше, без знака минус. Из векторного исчисления известно, что ротор градиента равен нулю: ^[1]

${\ Displaystyle \ набла \ раз \ набла \ varphi = \ mathbf {0} \ ,,}$

и , следовательно, завихренности , то ротор поля скоростей V , равна нулю: ^[1]

${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {v} = \ mathbf {0} \ ,.}$

Это означает, что потенциальный поток является безвихревым . Это имеет прямые последствия для применимости потенциального потока. В областях течения, где, как известно, важна завихренность, таких как следы и пограничные слои , теория потенциального течения не может обеспечить разумные прогнозы течения. ^[2] К счастью, часто существуют большие области потока, в которых допущение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется для различных приложений. Например: обтекание самолета , поток грунтовых вод , акустика , водные волны и электроосмотический поток . ^[3]

Несжимаемый поток [ править ]

В случае несжимаемого потока - например жидкости или газа при малых числах Маха ; но не для звуковых волн - скорость v имеет нулевую дивергенцию : ^[1]

${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {v} = 0 \ ,,}$

с точкой, обозначающей внутренний продукт . В результате потенциал скорости φ должен удовлетворять уравнению Лапласа ^[1]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

где ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ - оператор Лапласа (иногда также пишется Δ ). В этом случае поток может быть полностью определен из его кинематики : предположения о безвихревости и нулевой дивергенции потока. Динамика должна применяться только после того, как кто-то заинтересован в вычислении давления: например, для обтекания аэродинамических поверхностей с использованием принципа Бернулли .

В двух измерениях потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с помощью комплексного анализа (см. Ниже).

Сжимаемый поток [ править ]

Устойчивый поток [ править ]

Теория потенциального потока также может использоваться для моделирования безвихревого сжимаемого потока. Полный потенциал уравнение , описывающее постоянный поток , определяется по формуле: ^[4]

${\displaystyle \left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0\,,}$

с компонентами числа Маха

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,\qquad M_{y}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,\qquad {\text{and}}\qquad M_{z}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,}$

где а - местная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , а Φ - потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение действительно для суб- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , если применимо предположение о безвихревости. ^[4]

В случае дозвукового или сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) потока при малых углах атаки и тонких телах может быть сделано дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V _∞ в x- направлении, и его малая скорость возмущения ∇ φ . Итак: ^[4]

${\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infty }x+\nabla \varphi \,.}$

В этом случае можно использовать линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к уравнению полного потенциала: ^[4]

${\displaystyle \left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,}$

с M _∞ =V _∞/а _∞число Маха набегающего набегающего потока. Это линейное уравнение намного проще решить, чем полное уравнение потенциала: его можно преобразовать в уравнение Лапласа простым растяжением координат в направлении оси x .

Вывод полного уравнения потенциала

Для установившегося невязкого потока уравнения Эйлера - для плотности массы и количества движения - в нижнем индексе и в форме без сохранения : [5] ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\rho \,v_{i}\right)&=0\,,\\\rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}&=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\,,\end{aligned}}}$ при использовании соглашения о суммировании : поскольку j встречается более одного раза в члене в левой части уравнения импульса, j суммируется по всем его компонентам (что составляет от 1 до 2 в двумерном потоке и от 1 до 3 в трех измерениях). Дальше: ρ - плотность жидкости , p - давление , ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) - координаты и ( v 1 , v 2 , v 3 ) - соответствующие компоненты вектора скорости v . Скорость звука в квадрате a 2 равна производной давления p по плотности ρ при постоянной энтропии S : [6] ${\displaystyle a^{2}=\left[{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right]_{S}.}$ В результате уравнения потока можно записать как: ${\displaystyle v_{i}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}+\rho \,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=0\qquad {\text{and}}\qquad \rho \,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-a^{2}\,{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}\,.}$ Умножение (и суммирование) уравнения количества движения на v i и использование уравнения массы для устранения градиента плотности дает: ${\displaystyle \rho \,v_{i}\,v_{j}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho \,a^{2}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\,.}$ При делении на ρ и со всеми членами на одной стороне уравнения уравнение сжимаемого потока имеет следующий вид: ${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}-{\frac {v_{i}\,v_{j}}{a^{2}}}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=0\,.}$ Обратите внимание, что до этого этапа не было сделано никаких предположений относительно потока (кроме того, что это постоянный поток ). Теперь для безвихревого потока скорость v является градиентом потенциала скорости Φ , а компоненты местного числа Маха M i определяются как: ${\displaystyle v_{i}={\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\qquad {\text{and}}\qquad M_{i}={\frac {v_{i}}{a}}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\,.}$ При использовании в уравнении потока получается полное уравнение потенциала: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{i}}}-M_{i}\,M_{j}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}=0\,.}$ Расписанный по компонентам, получается форма, приведенная в начале этого раздела. Когда предоставляется конкретное уравнение состояния , связывающее давление p и плотность ρ , можно определить скорость звука. Впоследствии, вместе с соответствующими граничными условиями, можно решить полное потенциальное уравнение (чаще всего с использованием кода вычислительной гидродинамики ).

Неустойчивый поток [ править ]

Теория потенциального потока также может использоваться для моделирования безвихревого сжимаемого потока. Полный потенциал уравнение , описывающее нестационарный поток, определяется по формуле: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}\right]\\+&\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0\end{aligned}}}$

с компонентами числа Маха

${\displaystyle M_{x}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,,\qquad M_{y}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,,\qquad {\text{and}}\qquad M_{z}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,,}$

где а - местная скорость звука . Скорость потока v снова равна ∇Φ , а Φ - потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение действительно для суб- , транс- и сверхзвукового потока при произвольном угле атаки , если применимо предположение о безвихревости. ^[4]

В случае дозвукового или сверхзвукового (но не трансзвукового или гиперзвукового ) потока при малых углах атаки и тонких телах может быть сделано дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V _∞ в x- направлении, и его малая скорость возмущения ∇ φ . Итак: ^[4]

${\displaystyle \nabla \Phi =V_{\infty }x+\nabla \varphi \,.}$

В этом случае можно использовать линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к уравнению полного потенциала: ^[4]

${\displaystyle -{\frac {1}{a^{2}}}\left[2V_{\infty }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}\right]+\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0,}$

с M _∞ =V _∞/а _∞ число Маха набегающего набегающего потока.

Начнем с уравнения сохранения массы
${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }{\rho }}+\nabla \cdot {\vec {v}}=0}$

Рассмотрим первый член. Используя принцип Бернулли, мы пишем

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}\rho }}{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{d\rho ({\tilde {p}})}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]}$

Аналогичным образом можно записать второй член

${\displaystyle {\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }{\rho }}={\frac {{\vec {v}}\cdot \nabla p}{a^{2}\rho }}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {v}}\cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]=-{\frac {1}{a^{2}}}\nabla \Phi \cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]}$

Собирая члены и переставляя, уравнение сохранения массы становится

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]-{\frac {1}{a^{2}}}\nabla \Phi \cdot \nabla \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right]=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+\nabla \Phi \cdot \nabla \left({\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}\right)\right]=0}$

Звуковые волны [ править ]

Звуковые волны малой амплитуды можно аппроксимировать следующей моделью потенциального потока: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\overline {a}}^{2}\Delta \varphi ,}$

которое является линейным волновым уравнением для потенциала скорости φ . Опять же, колебательная часть вектора скорости v связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇ φ , в то время как, как и раньше, Δ - оператор Лапласа , а ā - средняя скорость звука в однородной среде . Обратите внимание, что колебательные части давления p и плотности ρ каждая в отдельности удовлетворяют волновому уравнению в этом приближении.

Применимость и ограничения [ править ]

Потенциальный поток не включает все характеристики потоков, встречающихся в реальном мире. Теория потенциального потока не может быть применена для вязких внутренних течений , ^[2] , за исключением потоков между близко расположенными пластинами . Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизическим, что единственной жидкостью, которая подчинялась предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана). ^[8] Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд неверных предсказаний, таких как парадокс Даламбера , в котором говорится, что сопротивление любого объекта, движущегося через бесконечную жидкость, в противном случае в состоянии покоя равно нулю. ^[9]Точнее говоря, потенциальный поток не может учитывать поведение потоков, которые включают пограничный слой . ^[2] Тем не менее понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарными потоками ), такие как свободный вихрь и точечный источник, имеют готовые аналитические решения. Эти решения можно совмещатьдля создания более сложных потоков, удовлетворяющих разнообразным граничным условиям. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам во всей механике жидкости; кроме того, многие ценные идеи возникают при рассмотрении отклонения (часто небольшого) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительной гидродинамике один метод состоит в том, чтобы связать решение потенциального потока за пределами пограничного слоя с решением уравнений пограничного слоявнутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любую линию тока можно заменить твердой границей без изменения поля потока, метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой прием - использование тел Рябушинского . ^{[ сомнительно - обсудить ]}

Анализ двумерного потока [ править ]

Потенциал поток в двух измерениях прост для анализа с помощью конформного отображения , при использовании преобразований в комплексной плоскости . Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, в классическом анализе потока жидкости мимо цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток, используя комплексные числа в трех измерениях. ^[10]

Основная идея состоит в том, чтобы использовать голоморфную (также называемую аналитической ) или мероморфную функцию f , которая отображает физическую область ( x , y ) в преобразованную область ( φ , ψ ) . Хотя x , y , φ и ψ являются действительными значениями , удобно определить комплексные величины

${\displaystyle z=x+iy\qquad {\text{and}}\qquad w=\varphi +i\psi \,.}$

Теперь, если мы запишем отображение f как ^[10]

${\displaystyle f(x+iy)=\varphi +i\psi \qquad {\text{or}}\qquad f(z)=w\,.}$

Тогда, поскольку f является голоморфной или мероморфной функцией, она должна удовлетворять уравнениям Коши – Римана ^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,\qquad {\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.}$

Компоненты скорости ( u , v ) в направлениях ( x , y ) соответственно могут быть получены непосредственно из f путем дифференцирования по z . То есть ^[10]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Таким образом, поле скорости v = ( u , v ) задается ^[10]

${\displaystyle u={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.}$

Оба φ и ψ тогда удовлетворяют уравнению Лапласа : ^[10]

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\qquad {\text{and}}\qquad \Delta \psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.}$

Таким образом, φ можно определить как потенциал скорости, а ψ называется функцией тока . ^[10] Линии постоянного ψ известны как линии тока, а линии постоянного φ - как эквипотенциальные линии (см. Эквипотенциальную поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, поскольку ^[10]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Таким образом, течение происходит по линиям постоянного ψ и под прямым углом к ​​линиям постоянного φ . ^[10]

Δ ψ = 0 также выполняется, что эквивалентно × v = 0 . Итак, поток является безвихревым. Автоматическое состояние∂ ² Ψ/∂ х ∂ у знак равно ∂ ² Ψ/∂ y ∂ xтогда дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0 .

Примеры двумерных потоков [ править ]

Для f может использоваться любая дифференцируемая функция . В следующих примерах используются различные элементарные функции ; также могут использоваться специальные функции . Обратите внимание, что можно использовать многозначные функции, такие как натуральный логарифм , но внимание должно быть сосредоточено на одной римановой поверхности .

Законы власти [ править ]

В случае применения следующего степенного конформного отображения от z = x + iy до w = φ + iψ : ^[11]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

тогда, записав z в полярных координатах как z = x + iy = re ^iθ , мы имеем ^[11]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

На рисунках справа приведены примеры для нескольких значений n . Черная линия - это граница потока, более темные синие линии - это линии тока, а более светлые синие линии - это эквипотенциальные линии. Вот некоторые интересные полномочия n : ^[11]

• п =1/2: это соответствует обтеканию полубесконечной пластины,
• п =2/3: обтекайте правый угол,
• n = 1 : тривиальный случай равномерного потока,
• n = 2 : поток через угол или около точки застоя, и
• n = −1 : поток за счет дублета источника

Константа A является параметром масштабирования: ее абсолютное значение | А | определяет масштаб, а его аргумент arg ( A ) вводит поворот (если не равен нулю).

Законы мощности с n = 1 : равномерный поток [ править ]

Если w = Az ¹ , то есть степенной закон с n = 1 , линии тока (то есть линии постоянной ψ ) представляют собой систему прямых линий, параллельных оси x . Проще всего это увидеть, написав в терминах реальных и мнимых компонентов:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

таким образом давая φ = Ax и ψ = Ay . Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток, параллельный оси x .

Законы мощности с n = 2 [ править ]

Если n = 2 , то w = Az ² и линия тока, соответствующая конкретному значению ψ, - это те точки, для которых

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

представляющая собой систему прямоугольных гипербол . В этом можно убедиться, снова переписав реальную и мнимую составляющие. Отметив, что sin 2 θ = 2 sin θ cos θ и переписав sin θ =у/ри cos θ =Икс/р видно (при упрощении), что линии тока задаются

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

Поле скоростей задается ∇ ф или

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

В гидродинамике поле течения около начала координат соответствует точке торможения . Обратите внимание, что жидкость в начале координат покоится (это следует из дифференцирования f (z) = z ² при z = 0 ). Ψ = 0 обтекаемого особенно интересно: она имеет два (или четыре) ветви, следуя ось координат, то есть х = 0 и у = 0 . Поскольку жидкость не течет через ось x , ее ( ось x ) можно рассматривать как твердую границу. Таким образом, можно не учитывать течение в нижней полуплоскости, где y <0и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. Согласно этой интерпретации, поток - это поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если игнорируются области, указанные (скажем) x , y <0 .

Законы мощности с n = 3 [ править ]

Если n = 3 , результирующий поток представляет собой своего рода гексагональную версию случая n = 2, рассмотренного выше. Линии тока задаются выражением ψ = 3 x ² y - y ^3, и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60 °.

Степенные законы с n = −1 : дублет [ править ]

Если n = −1 , линии тока задаются формулой

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Это легче интерпретировать с точки зрения реальных и мнимых компонентов:

${\displaystyle \psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}=0\,,}$

${\displaystyle x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.}$

Таким образом, линии тока представляют собой окружности , которые касаются оси x в начале координат. Таким образом, круги в верхней полуплоскости текут по часовой стрелке, а круги в нижней - против часовой стрелки. Обратите внимание, что компоненты скорости пропорциональны r ⁻² ; и их значения в начале координат бесконечны. Такой режим потока обычно называют дублетом или диполем , и его можно интерпретировать как комбинацию пары источник-сток бесконечной силы, находящейся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости определяется выражением

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

или в полярных координатах:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Степенные законы с n = −2 : квадруполь [ править ]

Если n = −2 , линии тока задаются формулой

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Это поле течения, связанное с квадруполем . ^[12]

Линейный источник и сток [ править ]

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) задается потенциалом${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q>0}$${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

где фактически - объемный поток на единицу длины на поверхности, окружающей источник или сток. Поле скорости в полярных координатах равно${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

т.е. чисто радиальный поток.

Line vortex [ править ]

Линейный вихрь силы определяется выражением${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

где - циркуляция вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скорости в полярных координатах равно${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

т.е. чисто азимутальный поток.

Анализ трехмерного потока [ править ]

Для трехмерных течений невозможно получить комплексный потенциал.

Точечный источник и сток [ править ]

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется выражением${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q>0}$${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

где фактически - объемный поток через замкнутую поверхность, окружающую источник или сток.${\displaystyle Q}$

См. Также [ править ]

• Возможное обтекание кругового цилиндра
• Аэродинамический код потенциального потока
• Конформное отображение
• Дарвин дрейф
• Flownet
• Лапласово поле
• Уравнение Лапласа для безвихревого потока
• Возможная теория
• Функция потока
• Потенциал скорости

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бэтчелор, GK (1973), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Лэмб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Милн-Томсон, Л. М. (1996) [1968], Теоретическая гидродинамика (5-е изд.), Довер, ISBN 0-486-68970-0

Дальнейшее чтение [ править ]

• Шансон, Х. (2007), "Le Potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la вклад Жозефа-Луи Лагранжа [Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа]" , La Houille Blanche (на французском языке) (5): 127-131, DOI : 10,1051 / LHB: 2007072
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), «Поверхностные волны», в Flügge, S .; Трусделл, К. (ред.), Энциклопедия физики , IX , Springer Verlag, стр. 446-778, в архиве с оригинала на 2009-01-05 , извлекаются 2009-03-29

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме потенциального потока .

• «Безвихревое течение невязкой жидкости» . Генуэзский университет , инженерный факультет . Проверено 29 марта 2009 .
• «Галерея конформных карт» . 3D-XplorMath . Проверено 29 марта 2009 . - Java-апплеты для исследования конформных карт
• Визуализации потенциальных потоков - интерактивные веб-приложения