Пограничный слой

Пограничный слой вокруг руки человека, фотография Шлирена . Пограничный слой - это ярко-зеленая рамка, наиболее заметная на тыльной стороне ладони (щелкните, чтобы увидеть изображение в высоком разрешении).

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Пограничный слой»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В физике и механике жидкости , пограничный слой является слоем жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности , где эффекты вязкости являются существенными. Жидкость или газ в пограничном слое имеет тенденцию прилипать к поверхности.

Пограничный слой вокруг человека нагревается человеком, поэтому он теплее окружающего воздуха. Ветерок разрушает пограничный слой, а волосы и одежда защищают его, заставляя человека чувствовать себя прохладнее или теплее. На крыле самолета пограничный слой - это часть потока, близкая к крылу, где силы вязкости искажают окружающий невязкий поток. В атмосфере Земли , то атмосферный пограничный слой является слоем воздуха вблизи поверхности земли. На него влияет поверхность; дневные и ночные потоки тепла, вызванные нагреванием земли солнцем, передачей влаги или количества движения к поверхности или от нее.

Типы пограничного слоя [ править ]

Ламинарные пограничные слои можно условно классифицировать в соответствии с их структурой и условиями, в которых они созданы. Тонкий сдвиг слой , который развивается на теле осциллирующего является примером пограничного слоя Стокса , в то время как пограничный слой Блазиуса относится к известному подобию раствору вблизи прикрепленной плоской пластины , проведенной в приближающемся однонаправленном потоке и пограничном слое Фалькнер-Skan , обобщение профиля Блазиуса. Когда жидкость вращается и силы вязкости уравновешиваются эффектом Кориолиса (а не конвективной инерцией), слой Экманаформы. В теории теплопередачи возникает тепловой пограничный слой. Поверхность может иметь одновременно несколько типов пограничного слоя.

Вязкий характер воздушного потока снижает локальные скорости на поверхности и вызывает трение кожи. Слой воздуха над поверхностью крыла, который замедляется или останавливается из-за вязкости, является пограничным слоем. Существует два различных типа течения в пограничном слое: ламинарный и турбулентный. ^[1]

Ламинарное течение в пограничном слое

Ламинарная граница представляет собой очень плавное течение, а турбулентный пограничный слой содержит завихрения или «водовороты». Ламинарный поток создает меньшее сопротивление поверхностного трения, чем турбулентный поток, но менее стабилен. Течение пограничного слоя по поверхности крыла начинается с плавного ламинарного обтекания. По мере того как поток продолжается обратно от передней кромки, толщина ламинарного пограничного слоя увеличивается.

Турбулентный поток в пограничном слое

На некотором удалении от передней кромки плавный ламинарный поток прерывается и переходит в турбулентный поток. С точки зрения лобового сопротивления, желательно иметь переход от ламинарного к турбулентному потоку как можно дальше от кормы крыла или иметь большую площадь поверхности крыла в ламинарной части пограничного слоя. Однако ламинарный поток с низкой энергией имеет тенденцию к более резкому разрушению, чем турбулентный слой.

Аэродинамика [ править ]

Аэродинамический пограничный слой был первой определяется Прандтль в документе , представленном 12 августа 1904 года на третьем Международном конгрессе математиков в Гейдельберге, Германия . Он упрощает уравнения потока жидкости, разделяя поле потока на две области: одна внутри пограничного слоя, в которой преобладает вязкость и создает большую часть сопротивления, испытываемого граничным телом; и один за пределами пограничного слоя, где вязкостью можно пренебречь без значительного влияния на раствор. Это позволяет получить решение для потока в замкнутой форме в обеих областях, что значительно упрощает полные уравнения Навье – Стокса.. Большая часть теплопередачи к телу и от тела также происходит в пограничном слое, что снова позволяет упростить уравнения в поле потока за пределами пограничного слоя. Распределение давления в пограничном слое в направлении, нормальном к поверхности (например, аэродинамическому профилю ), остается постоянным во всем пограничном слое и таким же, как и на самой поверхности.

Толщина пограничного слоя скорости обычно определяются как расстояние от твердого тела до точки , в которой скорость потока вязки составляет 99% от скорости набегающей (скорость поверхности невязкого потока). ^{[ необходима цитата ]} Толщина вытеснения - альтернативное определение, в котором говорится, что пограничный слой представляет собой дефицит массового расхода по сравнению с невязким потоком со скольжением на стенке. Это расстояние, на которое стенка должна быть смещена в невязком случае, чтобы получить такой же общий массовый расход, как и в вязком случае. Условие прилипаниятребует, чтобы скорость потока на поверхности твердого объекта была равна нулю, а температура жидкости была равна температуре поверхности. Затем скорость потока в пограничном слое будет быстро увеличиваться в соответствии с приведенными ниже уравнениями пограничного слоя.

Толщина тепловой пограничный слоя является так же расстоянием от тела , при котором температура составляет 99% от температуры набегающей. Соотношение двух толщин определяется числом Прандтля . Если число Прандтля равно 1, два пограничных слоя имеют одинаковую толщину. Если число Прандтля больше 1, тепловой пограничный слой тоньше, чем скоростной пограничный слой. Если число Прандтля меньше 1, что имеет место для воздуха при стандартных условиях, тепловой пограничный слой толще, чем скоростной пограничный слой.

В высокопроизводительных конструкциях, таких как планеры и коммерческие самолеты, большое внимание уделяется управлению поведением пограничного слоя для минимизации сопротивления. Следует учитывать два эффекта. Во-первых, пограничный слой увеличивает эффективную толщину тела за счет толщины смещения , тем самым увеличивая сопротивление давлению. Во-вторых, силы сдвига на поверхности крыла создают сопротивление поверхностного трения .

При высоких числах Рейнольдса , типичных для полноразмерных самолетов, желательно иметь ламинарный пограничный слой. Это приводит к более низкому поверхностному трению из-за характерного профиля скорости ламинарного потока. Однако пограничный слой неизбежно утолщается и становится менее устойчивым по мере того, как поток развивается вдоль тела, и в конечном итоге становится турбулентным , процесс, известный как переход пограничного слоя . Один из способов решения этой проблемы - отсосать пограничный слой через пористую поверхность (см. « Отсасывание пограничного слоя» ). Это может уменьшить сопротивление, но обычно это непрактично из-за его механической сложности и мощности, необходимой для перемещения воздуха и его удаления.Методы естественного ламинарного потока (NLF) подталкивают переход пограничного слоя к корме за счет изменения формы аэродинамического профиля или фюзеляжа таким образом, чтобы его самая толстая точка располагалась в большей задней части и была менее толстой. Это снижает скорости в ведущей части, и такое же число Рейнольдса достигается при большей длине.

При более низких числах Рейнольдса , например, на моделях самолетов, относительно легко поддерживать ламинарный поток. Это дает низкое трение кожи, что желательно. Однако тот же профиль скорости, который придает ламинарному пограничному слою низкое поверхностное трение, также вызывает сильное воздействие на него неблагоприятных градиентов давления . Когда давление в задней части хорды крыла начинает восстанавливаться, ламинарный пограничный слой будет стремиться отделиться от поверхности. Такое разделение потока приводит к значительному увеличению сопротивления давления., поскольку значительно увеличивает эффективный размер сечения крыла. В этих случаях может быть выгодным намеренно вызвать турбулентность пограничного слоя в точке, предшествующей месту ламинарного разделения, с помощью турбулятора . Более полный профиль скорости турбулентного пограничного слоя позволяет ему выдерживать неблагоприятный градиент давления без разделения. Таким образом, хотя поверхностное трение увеличивается, общее сопротивление уменьшается. Это принцип, лежащий в основе ямочки на мячах для гольфа, а также в генераторах вихрей.на самолете. Также были разработаны специальные секции крыла, которые адаптируют восстановление давления, поэтому ламинарное разделение уменьшается или даже устраняется. Это представляет собой оптимальный компромисс между сопротивлением давления от разделения потока и поверхностным трением от индуцированной турбулентности.

При использовании полумоделей в аэродинамических трубах иногда используют пениш для уменьшения или устранения влияния пограничного слоя.

Уравнения пограничного слоя [ править ]

Вывод уравнений пограничного слоя был одним из самых важных достижений в гидродинамике. Используя порядок анализа величины , хорошо известные регулирующие уравнений Навье-Стокса из вязкой жидкости потока может быть значительно упрощено в пределах пограничного слоя. Примечательно, что характеристика дифференциальных уравнений в частных производных (PDE)становится параболической, а не эллиптической формой полного уравнения Навье – Стокса. Это значительно упрощает решение уравнений. Используя приближение пограничного слоя, поток делится на невязкую часть (которую легко решить несколькими методами) и пограничный слой, который регулируется более простым решением PDE . Уравнения неразрывности и Навье – Стокса для двумерного установившегося потока несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид

${\ displaystyle {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial \ upsilon \ over \ partial y} = 0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

где и - компоненты скорости, - плотность, - давление, - кинематическая вязкость жидкости в точке.${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu }$

Приближение утверждает, что при достаточно высоком числе Рейнольдса поток по поверхности можно разделить на внешнюю область невязкого потока, не подверженного влиянию вязкости (большую часть потока), и область вблизи поверхности, где вязкость важна ( пограничный слой). Пусть и - продольная и поперечная (нормаль к стенке) скорости соответственно внутри пограничного слоя. Используя масштабный анализ , можно показать, что приведенные выше уравнения движения сокращаются в пределах пограничного слоя, чтобы стать${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

и если жидкость несжимаема (как жидкости в стандартных условиях):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

Анализ порядка величины предполагает, что продольный масштаб длины значительно больше, чем поперечный масштаб длины внутри пограничного слоя. Отсюда следует, что изменения свойств в продольном направлении обычно намного меньше, чем в нормальном направлении стенки. Применение этого к уравнению неразрывности показывает , что нормальная скорость стенки мала по сравнению с продольной скоростью.${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle u}$

Поскольку статическое давление не зависит от , то давление на краю пограничного слоя - это давление во всем пограничном слое в данном продольном положении. Внешнее давление можно получить, применив уравнение Бернулли . Позвольте быть скоростью жидкости вне пограничного слоя, где и оба параллельны. Это дает при подстановке следующего результата${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Для потока, в котором статическое давление также не изменяется в направлении потока${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

так остается постоянным.${\displaystyle U}$

Таким образом, уравнение движения упрощается и становится

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Эти приближения используются в различных практических задачах, представляющих научный и технический интерес. Вышеупомянутый анализ предназначен для любого мгновенного ламинарного или турбулентного пограничного слоя, но используется в основном в исследованиях ламинарного потока, поскольку средний поток также является мгновенным потоком, поскольку отсутствуют флуктуации скорости. Это упрощенное уравнение является параболическим уравнением в частных производных и может быть решено с использованием решения подобия, часто называемого пограничным слоем Блазиуса .

Теорема Прандтля [ править ]

Прандтль заметил, что из любого решения, которое удовлетворяет уравнениям пограничного слоя, можно построить дальнейшее решение , которое также удовлетворяет уравнениям пограничного слоя, написав ^[2]${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

где произвольно. Поскольку решение не уникально с математической точки зрения, ^[3] к решению может быть добавлена ​​любая из бесконечного набора собственных функций, как показано Стюартсоном ^[4] и Полом А. Либби . ^{[5] [6]}${\displaystyle f(x)}$

Интеграл импульса фон Кармана [ править ]

Фон Карман вывел интегральное уравнение, интегрировав уравнение пограничного слоя через пограничный слой в 1921 году. ^[7] Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

куда

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$- напряжение сдвига стенки, - скорость всасывания / нагнетания у стенки, - толщина смещения и - толщина импульса. Приближение Кармана – Польхаузена выводится из этого уравнения.${\displaystyle v_{w}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

Интеграл энергии [ править ]

Интеграл энергии был получен Вигардтом . ^{[8] [9]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

куда

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$- скорость диссипации энергии из-за вязкости через пограничный слой; - толщина энергии. ^[10]${\displaystyle \delta _{3}}$

Преобразование фон Мизеса [ править ]

Для устойчивых двумерных пограничных слоев фон Мизес ^[11] ввел преобразование, которое принимает и ( функцию потока ) в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную вместо . Тогда уравнение пограничного слоя станет${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

Исходные переменные восстанавливаются из

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Позднее это преобразование было распространено на сжимаемый пограничный слой фон Карманом и Х.С. Циеном . ^[12]

Превращение Крокко [ править ]

Для устойчивого двумерного сжимаемого пограничного слоя Луиджи Крокко ^[13] ввел преобразование, которое принимает и в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную (напряжение сдвига) вместо . Тогда уравнение пограничного слоя принимает вид${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

Исходная координата восстанавливается из

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

Турбулентные пограничные слои [ править ]

Обработка турбулентных пограничных слоев намного сложнее из-за зависимого от времени изменения свойств потока. Одним из наиболее широко используемых методов борьбы с турбулентными потоками является применение разложения Рейнольдса . Здесь мгновенные характеристики потока разлагаются на среднее значение и колеблющуюся составляющую. Применение этого метода к уравнениям пограничного слоя дает полные уравнения турбулентного пограничного слоя, которые не часто приводятся в литературе:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Используя аналогичный анализ по порядку величины, приведенные выше уравнения можно свести к членам высшего порядка. Выбирая масштаб длины для изменений в поперечном направлении и для изменений в продольном направлении, с , уравнение x-импульса упрощается до:${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Это уравнение не удовлетворяет условию прилипания к стене. Как Прандтль сделал для своих уравнений пограничного слоя, необходимо использовать новый, меньший масштаб длины, чтобы позволить вязкому члену стать ведущим порядком в уравнении импульса. Выбирая в качестве шкалы y , уравнение импульса главного порядка для этого "внутреннего пограничного слоя" задается следующим образом:${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

В пределе бесконечного числа Рейнольдса можно показать, что член градиента давления не влияет на внутреннюю область турбулентного пограничного слоя. Новая «внутренняя шкала длины» представляет собой вязкую шкалу длины и имеет порядок , являясь шкалой скорости турбулентных колебаний, в данном случае скоростью трения .${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$${\displaystyle u_{*}}$

В отличие от уравнений ламинарного пограничного слоя, наличие двух режимов, управляемых разными наборами масштабов потока (т.е. внутренним и внешним масштабированием), сделало поиск универсального решения подобия для турбулентного пограничного слоя трудным и противоречивым. Чтобы найти решение подобия, которое охватывает обе области потока, необходимо асимптотически согласовать решения из обеих областей потока. Такой анализ приведет к так называемому логарифмическому или степенному закону .

Дополнительный член в уравнениях турбулентного пограничного слоя известен как напряжение сдвига Рейнольдса и априори неизвестен . Поэтому решение уравнений турбулентного пограничного слоя требует использования модели турбулентности , которая направлена ​​на выражение напряжения сдвига Рейнольдса в терминах известных переменных потока или производных. Отсутствие точности и универсальности таких моделей является основным препятствием на пути успешного прогнозирования свойств турбулентного потока в современной гидродинамике.${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

В пристеночной области существует слой постоянного напряжения. Из-за затухания флуктуаций вертикальной скорости у стенки член напряжения Рейнольдса станет незначительным, и мы обнаружим, что существует линейный профиль скорости. Это верно только для самой пристенной области .

Тепло- и массообмен [ править ]

В 1928 году французский инженер Андре Левек заметил, что на конвективную теплопередачу в текущей жидкости влияют только значения скорости, близкие к поверхности. ^{[14] [15]} Для потоков с большим числом Прандтля изменение температуры / массы от температуры поверхности к температуре набегающего потока происходит в очень тонкой области близко к поверхности. Следовательно, наиболее важными являются скорости жидкости внутри этой очень тонкой области, в которой изменение скорости можно считать линейным с нормальным расстоянием от поверхности. Таким образом, для

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

когда тогда${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

где θ - тангенс параболы Пуазейля, пересекающей стену. Хотя решение Левека касалось передачи тепла в поток Пуазейля, его понимание помогло другим ученым прийти к точному решению проблемы теплового пограничного слоя. ^[16] Шу заметил, что в пограничном слое u снова является линейной функцией y , но в этом случае касательная к стенке является функцией x . ^[17] Он выразил это с помощью модифицированной версии профиля Левека,

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Это дает очень хорошее приближение даже для малых чисел, так что только жидкие металлы с гораздо меньшим, чем 1, нельзя обрабатывать таким образом. ^[16] В 1962 году Кестин и Персен опубликовали статью, описывающую решения для теплопередачи, когда тепловой пограничный слой полностью содержится внутри импульсного слоя и для различных распределений температуры стенок. ^[18] Для задачи о плоской пластине с температурным скачком при t они предлагают замену, которая сводит параболическое уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения, температура в любой точке жидкости, может быть выражена как неполная гамма-функция . ^[15] Шлихтинг${\displaystyle Pr}$${\displaystyle Pr}$${\displaystyle x=x_{0}}$ предложил эквивалентную замену, которая сводит уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению, решением которого является та же неполная гамма-функция. ^[19]

Константы конвективного переноса из анализа пограничного слоя [ править ]

Пол Ричард Генрих Блазиус получил точное решение вышеуказанных уравнений ламинарного пограничного слоя . ^[20] Толщина пограничного слоя является функцией от числа Рейнольдса для ламинарного потока.${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= толщина пограничного слоя: область потока, в которой скорость меньше 99% скорости в дальней зоне ; - это положение вдоль полубесконечной пластины, и это число Рейнольдса, определяемое как ( плотность и динамическая вязкость).${\displaystyle v_{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$${\displaystyle \rho =}$${\displaystyle \mu =}$

В решении Блазиуса граничные условия используются в безразмерной форме:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     в     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     в и     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

Обратите внимание, что во многих случаях граничное условие прилипания выполняется , что скорость жидкости на поверхности пластины равна скорости пластины во всех местах. Если пластина не двигается, значит . Если допускается проскальзывание жидкости, требуется гораздо более сложный вывод. ^[21]${\displaystyle v_{S}}$${\displaystyle v_{S}=0}$

Фактически, решение Блазиуса для ламинарного профиля скорости в пограничном слое над полубесконечной пластиной может быть легко расширено для описания пограничных слоев Thermal и Concentration для тепломассопереноса соответственно. Вместо дифференциального баланса x-импульса (уравнения движения) здесь используется аналогичный полученный баланс энергии и массы:

Энергия:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Масса:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Для баланса импульса кинематическая вязкость может рассматриваться как коэффициент диффузии по импульсу . В энергетическом балансе это заменяется температуропроводностью , а в массовом балансе - температуропроводностью . В температуропроводности вещества это его теплопроводность, его плотность и его теплоемкость. Нижний индекс AB обозначает диффузию вида A, диффундирующего в вид B.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{P}}$

В предположении, что эти уравнения становятся эквивалентными балансу импульса. Таким образом, для чисел Прандтля и Шмидта решение Блазиуса применимо напрямую.${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

Соответственно, этот вывод использует родственную форму граничных условий, заменяя их на или (абсолютная температура или концентрация разновидностей A). Нижний индекс S обозначает состояние поверхности.${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     в     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     в и     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

Используя функцию линий тока, Блазиус получил следующее решение для касательного напряжения на поверхности пластины.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

А через граничные условия известно, что

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Нам даны следующие соотношения для потока тепла / массы от поверхности пластины

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

Таким образом, для ${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

где - области потока, где и составляют менее 99% от их значений в дальней зоне . ^[22]${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

Поскольку число Прандтля конкретной жидкости не часто является единицей, немецкий инженер Э. Польхаузен, который работал с Людвигом Прандтлем, попытался эмпирически расширить эти уравнения, чтобы применить их . Его результаты тоже могут быть применены . ^[23] Он обнаружил, что для числа Прандтля больше 0,6 толщина теплового пограничного слоя приблизительно определяется следующим образом:${\displaystyle Pr\neq 1}$${\displaystyle Sc}$

График, показывающий относительную толщину пограничного слоя Thermal в зависимости от пограничного слоя Velocity (красный) для различных чисел Прандтля. Ибо двое равны.${\displaystyle Pr=1}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          и поэтому          ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

Из этого решения можно охарактеризовать константы конвективного тепломассопереноса на основе области течения в пограничном слое. Закон проводимости Фурье и закон охлаждения Ньютона сочетаются с термином потока, полученным выше, и толщиной пограничного слоя.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Это дает локальную конвективную постоянную в одной точке на полубесконечной плоскости. Интегрирование по длине пластины дает среднее значение${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

После вывода с термином массообмена ( = константа конвективного массопереноса, = диффузионность компонента A в компонент B, ), получают следующие решения:${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Эти решения применимы для ламинарного потока с числом Прандтля / Шмидта более 0,6. ^[22]

Морская архитектура [ править ]

Многие принципы, применимые к самолетам, также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам.

Для судов, в отличие от самолетов, речь идет о несжимаемых потоках, где изменение плотности воды незначительно (повышение давления около 1000 кПа приводит к изменению только на 2–3 кг / м ³ ). Эта область гидродинамики называется гидродинамикой. Корабельный инженер сначала занимается гидродинамикой, а уже потом - силой. Развитие, разрушение и разделение пограничного слоя становятся критическими, поскольку высокая вязкость воды создает высокие напряжения сдвига. Еще одним следствием высокой вязкости является эффект скользящего потока, при котором корабль движется, как копье, пронзающее губку с большой скоростью. ^{[ необходима цитата ]}

Турбина пограничного слоя [ править ]

Этот эффект был использован в турбине Тесла , запатентованной Николой Тесла в 1913 году. Ее называют безлопаточной турбиной, потому что в ней используется эффект пограничного слоя, а не жидкость, попадающая на лопасти, как в обычной турбине. Турбины пограничного слоя также известны как турбина когезионного типа, безлопастная турбина и турбина слоя Прандтля (по Людвигу Прандтлю ).

Прогнозирование толщины переходного пограничного слоя в цилиндре с помощью анализа размеров [ править ]

Используя уравнения переходной и вязкой силы для цилиндрического потока, вы можете предсказать толщину переходного пограничного слоя, найдя число Уомерсли ( ).${\displaystyle N_{w}}$

Переходная сила = ${\displaystyle \rho vw}$

Вязкая сила = ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Уравнивание их друг другу дает:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Решение для дельты дает:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

В безразмерном виде:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

где = Число Уомерсли; = плотность; = скорость;  ?; = длина переходного пограничного слоя; = вязкость; = характерная длина.${\displaystyle N_{w}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

Прогнозирование условий конвективного потока в пограничном слое в цилиндре с использованием анализа размеров [ править ]

Используя уравнения конвективной и вязкой силы в пограничном слое для цилиндрического потока, вы можете предсказать условия конвективного потока в пограничном слое, найдя безразмерное число Рейнольдса ( ).${\displaystyle Re}$

Конвективная сила: ${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Вязкая сила: ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Уравнивание их друг другу дает:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Решение для дельты дает:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

В безразмерном виде:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

где = число Рейнольдса; = плотность; = скорость; = длина конвективного пограничного слоя; = вязкость; = характерная длина.${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

Прием пограничного слоя [ править ]

Поглощение пограничного слоя обещает повышение топливной экономичности самолета за счет установленного в корме движителя, поглощающего медленный пограничный слой фюзеляжа и возобновляющего подпитку следа для уменьшения лобового сопротивления и повышения эффективности движителя . Для работы в условиях искаженного воздушного потока вентилятор тяжелее, его эффективность снижается, а его интеграция затруднена. Он используется в таких концепциях, как Aurora D8 или французское исследовательское агентство Onera ’s Nova, экономя 5% в крейсерском режиме за счет поглощения 40% пограничного слоя фюзеляжа. ^[24]

Airbus представил концепцию Nautilius на конгрессе ICAS в сентябре 2018 года: чтобы охватить весь пограничный слой фюзеляжа и минимизировать азимутальное искажение потока, фюзеляж разделяется на два шпинделя с вентиляторами с байпасным соотношением 13-18: 1 . Эффективность движения достигает 90%, как у открытых роторов, вращающихся в противоположных направлениях, с меньшими, более легкими, менее сложными и шумными двигателями. Он может снизить расход топлива более чем на 10% по сравнению с обычным подкрыльным двигателем с байпасным соотношением 15: 1. ^[24]

См. Также [ править ]

• Разделение пограничного слоя
• Толщина пограничного слоя
• Толщина и форма теплового пограничного слоя
• Отсос пограничного слоя
• Контроль пограничного слоя
• Пограничный слой Блазиуса
• Пограничный слой Фолкнера – Скан
• Слой Экмана
• Планетарный пограничный слой
• Логарифмический закон стены
• Коэффициент формы (поток в пограничном слое)
• Напряжение сдвига
• Поверхностный слой

Ссылки [ править ]

• Шансон, Х. (2009). Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости . CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3.
• А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными , Chapman & Hall / CRC Press, Бока-Ратон - Лондон, 2004. ISBN 1-58488-355-3 
• Полянин А.Д., Кутепов А.М., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Гидродинамика, массо- и теплоперенос в химической технологии. Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27237-8 
• Герман Шлихтинг, Клаус Герстен, Э. Краузе, Х. Младший Эртель, К. Мэйс "Теория пограничного слоя" 8-е издание Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7 
• Джон Д. Андерсон младший, "Пограничный слой Людвига Прандтля" , Physics Today , декабрь 2005 г.
• Андерсон, Джон (1992). Основы аэродинамики (2-е изд.). Торонто: SSCHAND. С. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
• Х. Теннекес и Дж. Л. Ламли , «Первый курс турбулентности», MIT Press, (1972).
• Лекции Уильяма К. Джорджа "Турбулентность для 21 века"

Внешние ссылки [ править ]

• Национальная научная цифровая библиотека - пограничный слой
• Мур, Франклин К., " Эффект смещения трехмерного пограничного слоя ". Отчет NACA 1124, 1953 г.
• Бенсон, Том, « Пограничный слой ». НАСА Glenn Learning Technologies.
• Разделение пограничного слоя
• Уравнения пограничного слоя: точные решения - от EqWorld
• Джонс, ТВ ПОГРАНИЧНЫЙ ТЕПЛООБМЕН