Циркуляция (физика)

Полевые линии векторного поля V , вокруг границы открытого изогнутой поверхности с бесконечно малой линии элемента д л вдоль границы и через его интерьер с Ds инфинитезимальная поверхности элемента и п единица нормали к поверхности. Верх: Циркуляционный является линия интеграл V вокруг замкнутого контура C . Проецируйте v вдоль d l , затем суммируйте. Здесь v разделяется на компоненты , перпендикулярные (⊥) параллельно (‖) до д л , параллельные компоненты тангенциальнойк замкнутому контуру и способствуют циркуляции, перпендикулярные компоненты - нет. Внизу: Циркуляционный также поток завихренности со = ∇ × V через поверхность, и ротор из V является эвристически изображается в виде спиральной стрелки (не буквальное представление). Обратите внимание на проекцию V вдоль д л и ротора V может быть в отрицательном смысле, уменьшая циркуляцию.

В физике циркуляция - это линейный интеграл векторного поля вокруг замкнутой кривой. В гидродинамике поле - это поле скорости жидкости . В электродинамике это может быть электрическое или магнитное поле.

Тираж впервые использовали независимо Фредерик Ланчестер , Мартин Кутта и Николай Жуковский . ^{[ необходима цитата ]} Это обычно обозначается Γ ( греческая гамма в верхнем регистре ).

Определение и свойства [ править ]

Если V - векторное поле, а d l - вектор, представляющий дифференциальную длину небольшого элемента определенной кривой, вклад этой дифференциальной длины в циркуляцию равен dΓ:

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma = \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = | \ mathbf {V} || \ mathrm {d} \ mathbf {l} | \ cos \ theta}$.

Здесь θ - угол между векторами V и d l .

Циркуляции Γ векторного поля V вокруг замкнутой кривой C является интегральной линией : ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$.

В консервативном векторном поле этот интеграл равен нулю для каждой замкнутой кривой. Это означает, что линейный интеграл между любыми двумя точками поля не зависит от пройденного пути. Это также означает, что векторное поле может быть выражено как градиент скалярной функции, которая называется потенциалом . ^[2]

Связь с завихренностью и скручиванием [ править ]

Циркуляция может быть связана с ротором векторного поля V и, более конкретно, с завихренностью, если поле является полем скорости жидкости,

${\displaystyle \mathbf {\omega } =\nabla \times \mathbf {V} }$.

По теореме Стокса , то поток завитка или завихренности векторов через поверхность S равен циркуляции по его периметру, ^[2]

${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {\omega } \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

Здесь замкнутый путь интегрирования ∂S - это граница или периметр открытой поверхности S , инфинитезимальный элемент которой нормаль d S = n dS ориентирован по правилу правой руки . Таким образом, завихренность и завихренность представляют собой циркуляцию на единицу площади, взятую вокруг локальной бесконечно малой петли.

В потенциальном потоке жидкости с областью завихренности все замкнутые кривые, охватывающие завихренность, имеют одинаковое значение для циркуляции. ^[3]

Использует [ редактировать ]

Теорема Кутты – Жуковского в гидродинамике [ править ]

В гидродинамике подъемная сила на единицу пролета (L '), действующая на тело в двумерном поле потока, прямо пропорциональна циркуляции, то есть ее можно выразить как произведение циркуляции Γ вокруг тела на плотность жидкости ρ , а скорость тела относительно набегающего потока V :

${\displaystyle L'=\rho V\Gamma \!}$

Это известно как теорема Кутты – Жуковского. ^[4]

Это уравнение применяется к профилям, циркуляция которых создается за счет действия профиля ; и вокруг вращающихся объектов, испытывающих эффект Магнуса, где циркуляция вызвана механически. При действии крылового профиля величина циркуляции определяется условием Кутта . ^[4]

Циркуляция на каждой замкнутой кривой вокруг аэродинамического профиля имеет одинаковую величину и связана с подъемной силой, создаваемой каждой единицей длины пролета. Если замкнутая кривая охватывает аэродинамический профиль, выбор кривой является произвольным. ^[3]

Циркуляция часто используется в вычислительной гидродинамике в качестве промежуточной переменной для расчета сил на аэродинамический профиль или другое тело.

Основные уравнения электромагнетизма [ править ]

В электродинамике закон индукции Максвелла-Фарадея может быть сформулирован в двух эквивалентных формах: ^[5] что ротор электрического поля равен отрицательной скорости изменения магнитного поля,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

или что циркуляция электрического поля вокруг петли равна отрицательной скорости изменения потока магнитного поля через любую поверхность, охватываемую петлей, по теореме Стокса

${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\int \!\!\!\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$.

Циркуляция статического магнитного поля по закону Ампера пропорциональна общему току, протекающему в петле.

${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }}$.

Для систем с электрическими полями, которые меняются во времени, закон должен быть изменен, чтобы включить термин, известный как поправка Максвелла.

См. Также [ править ]

• Уравнения Максвелла
• Закон Био – Савара в аэродинамике.
• Теорема циркуляции Кельвина

Ссылки [ править ]