В механике жидкости , теорема циркуляции Кельвина (названный в честь Уильяма Томсона, первый барон Кельвин , который опубликовал в 1869 г.) говорится В баротропной идеальной жидкости с консервативными силами тела, то циркуляция вокруг замкнутого кривой (которая охватывает те же жидкие элементы) , двигающийся с жидкость остается постоянной с течением времени . [1] [2] Математически формулируется:
где это циркуляция вокруг материала контура. Проще говоря, эта теорема гласит, что если кто-то наблюдает за замкнутым контуром в один момент и прослеживает контур во времени (отслеживая движение всех его жидких элементов), циркуляция по двум точкам этого контура одинакова.
Эта теорема не верна в случаях с вязкими напряжениями, неконсервативными объемными силами (например, сила Кориолиса ) или небаротропными соотношениями давления и плотности.
Математическое доказательство
Тираж вокруг замкнутого контура материала определяется:
где u - вектор скорости, а ds - элемент по замкнутому контуру.
Основное уравнение для невязкой жидкости с консервативной объемной силой имеет вид
где D / D t - конвективная производная , ρ - плотность жидкости, p - давление, а Φ - потенциал объемной силы. Это уравнения Эйлера с объемной силой.
Условие баротропности подразумевает, что плотность является функцией только давления, т. Е. .
Взяв конвективную производную циркуляции, получаем
Мы подставляем первый член из основного уравнения, а затем применяем теорему Стокса , таким образом:
Окончательное равенство возникает, поскольку вследствие баротропности. Мы также использовали тот факт, что ротор любого градиента обязательно равен 0 или для любой функции .
Для второго члена отметим, что эволюция элемента материальной линии определяется выражением
Следовательно
Последнее равенство получается применением градиентной теоремы .
Поскольку оба члена равны нулю, получаем результат
Теорема Пуанкаре – Бьеркнеса о циркуляции
Аналогичный принцип, сохраняющий величину, может быть получен и для вращающейся системы отсчета, известной как теорема Пуанкаре – Бьеркнеса, названная в честь Анри Пуанкаре и Вильгельма Бьеркнеса , которые получили инвариант в 1893 [3] [4] и 1898 году [5] [6] Теорема может быть применена к вращающейся системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью, задаваемой вектором, для модифицированного тиража
Здесь положение области жидкости. По теореме Стокса это:
Смотрите также
Заметки
- ^ Кац, Плоткин: аэродинамика малых скоростей
- ^ Кунда, P и Cohen, I: Механика жидкости , стр 130. Academic Press 2002
- ^ Пуанкаре, Х. (1893). Теория турбийонов: подвеска Leçons Professées le deuxième semestre 1891-92 (Vol. 11). Готье-Виллар. Статья 158.
- ^ Трусделл, С. (2018). Кинематика завихренности. Courier Dover Publications.
- ^ Бьеркнес В., Рубенсон, R., & Линдштедт, A. (1898). Ueber einen Hydrodynamischen Fundamentalsatz und seine Anwendung: besonders auf die Mechanik der Atmosphäre und des Weltmeeres. Кунгл. Boktryckeriet. PA Norstedt & Söner.
- Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (2013). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Курьерская корпорация.