Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Обтеките крыло. Этот несжимаемый поток удовлетворяет уравнениям Эйлера.

В гидродинамике , что уравнения Эйлера представляют собой набор квазилинейных гиперболических уравнений , регулирующих адиабатический и невязкие . Они названы в честь Леонарда Эйлера . Уравнения представляют собой уравнения Коши сохранения массы (непрерывности) и баланса импульса и энергии, и их можно рассматривать как частные уравнения Навье – Стокса с нулевой вязкостью и нулевой теплопроводностью . ^[1] Фактически, уравнения Эйлера могут быть получены линеаризацией некоторых более точных уравнений неразрывности, таких какУравнения Навье – Стокса в состоянии локального равновесия, заданном максвеллианцем . Уравнения Эйлера могут применяться к несжимаемому и сжимаемому потокам - при условии, что скорость потока является соленоидальным полем , или с использованием другого подходящего уравнения энергии, соответственно (простейшая форма для уравнений Эйлера - сохранение удельной энтропии ). Исторически Эйлер выводил только уравнения несжимаемой жидкости. Однако в литературе по гидродинамике полный набор, включая уравнение энергии, более общих уравнений сжимаемости часто называют «уравнениями Эйлера». ^[2]

С математической точки зрения уравнения Эйлера представляют собой особенно гиперболические уравнения сохранения в случае отсутствия внешнего поля (т. Е. В пределе большого числа Фруда ). Фактически, как и любое уравнение Коши, уравнения Эйлера, первоначально сформулированные в конвективной форме (также называемой « лагранжевой формой »), также могут быть помещены в «форму сохранения» (также называемую « эйлеровой формой »). Форма сохранения подчеркивает математическую интерпретацию уравнений как уравнений сохранения через контрольный объем, закрепленный в пространстве, и является наиболее важной для этих уравнений также с числовой точки зрения. Конвективная форма подчеркивает изменения состояния в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью.

История [ править ]

Уравнения Эйлера впервые появились в опубликованной форме в статье Эйлера «Principes généraux du mouvement des fluides», опубликованной в Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin в 1757 году (в этой статье Эйлер фактически опубликовал только общую форму уравнения неразрывности и уравнение импульса; ^[3] уравнение баланса энергии будет получено столетием позже). Они были одними из первых записанных уравнений в частных производных . В то время, когда Эйлер опубликовал свою работу, система уравнений состояла из уравнений количества движения и неразрывности и поэтому была недоопределена, за исключением случая несжимаемой жидкости. Дополнительное уравнение, которое позже было названо адиабатическим условием, был поставлен Пьером-Симоном Лапласом в 1816 году.

Во второй половине XIX века было обнаружено, что уравнение, связанное с балансом энергии, должно всегда соблюдаться, в то время как адиабатическое состояние является следствием основных законов в случае гладких решений. С открытием специальной теории относительности понятия плотности энергии, плотности количества движения и напряжения были объединены в понятие тензора энергии-импульса , а энергия и импульс также были объединены в единое понятие - вектор энергии-импульса. ^[4]

Несжимаемые уравнения Эйлера с постоянной и равномерной плотностью [ править ]

В конвективной форме (т.е. форме с конвективным оператором, явным образом выраженным в уравнении количества движения ) несжимаемые уравнения Эйлера в случае постоянной плотности во времени и однородной в пространстве имеют следующий вид: ^[5]

куда:

• ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$- вектор скорости потока с компонентами в N -мерном пространстве ,${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ dots, u_ {N}}$
• ${\displaystyle {D\mathbf {v} \over Dt}={\partial \mathbf {v} \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} }$, для общей функции (или поля) обозначает ее материальную производную по времени относительно адвективного поля и${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\displaystyle \nabla }$ обозначает градиент относительно пространства,
• ${\displaystyle \cdot }$обозначает скалярное произведение ,
• ${\displaystyle \nabla }$- оператор набла , который здесь используется для представления определенного градиента термодинамической работы (первое уравнение), и
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} }$- дивергенция скорости потока (второе уравнение),
• ${\displaystyle w}$- удельная (в смысле единицы массы ) термодинамическая работа , член внутреннего источника .
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$представляет собой ускорения тела (на единицу массы), действующие на континуум, например гравитацию , инерционные ускорения , ускорение электрического поля и т. д.

Первое уравнение - это уравнение импульса Эйлера с однородной плотностью (для этого уравнения оно также не может быть постоянным во времени). Расширяя производную по материалам , уравнения становятся:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} &=-\nabla w+\mathbf {g} \\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

Фактически для потока с однородной плотностью выполняется следующее тождество:${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle \nabla w\equiv \nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)={\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p}$

где - механическое давление . Второе уравнение - это несжимаемая связь , утверждающая, что скорость потока является соленоидальным полем (порядок уравнений не является причинным, но подчеркивает тот факт, что несжимаемая связь не является вырожденной формой уравнения неразрывности , а скорее уравнения энергии , как станет ясно ниже). Примечательно, что уравнение неразрывности потребуется и в этом случае несжимаемой жидкости в качестве дополнительного третьего уравнения в случае изменения плотности во времени или в пространстве. Например, при однородной плотности, но меняющейся во времени, уравнение неразрывности, добавляемое к вышеприведенному набору, будет соответствовать:${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$

Таким образом, случай постоянной и однородной плотности - единственный случай, когда уравнение неразрывности не требуется в качестве дополнительного уравнения, независимо от наличия или отсутствия несжимаемой связи. Фактически, анализируемый случай несжимаемых уравнений Эйлера с постоянной и однородной плотностью представляет собой игрушечную модель, содержащую только два упрощенных уравнения, поэтому она идеально подходит для дидактических целей, даже если имеет ограниченную физическую значимость.

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют собой соответственно сохранение массы (1 скалярное уравнение) и импульса (1 векторное уравнение, содержащее скалярные компоненты, где - физический размер интересующего пространства). Скорость потока и давление - это так называемые физические переменные . ^[1]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

В системе координат задаются векторами скорости и внешней силы и имеют компоненты и соответственно. Тогда уравнения могут быть записаны в нижних индексах как:${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{N}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{N})}$${\displaystyle \left(g_{1},\dots ,g_{N}\right)}$

Особенности${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial u_{i} \over \partial t}+\sum _{j=1}^{N}{\partial \left(u_{i}u_{j}+w\delta _{ij}\right) \over \partial x_{j}}&=g_{i}\\\sum _{i=1}^{N}{\partial u_{i} \over \partial x_{i}}&=0\end{aligned}}\right.}$

где и нижние индексы маркировать N компонентов - мерного пространства, и это Kroenecker дельта . Также часто используется нотация Эйнштейна (где сумма подразумевается повторяющимися индексами вместо сигма-нотации ).${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Свойства [ править ]

Хотя Эйлер впервые представил эти уравнения в 1755 году, многие фундаментальные вопросы о них остаются без ответа.

В трех измерениях пространства, в некоторых упрощенных сценариях, уравнения Эйлера создают сингулярности. ^[6]

Гладкие решения свободных (в смысле без источника: g = 0) уравнений удовлетворяют закону сохранения удельной кинетической энергии:

${\displaystyle {\partial \over \partial t}\left({\frac {1}{2}}u^{2}\right)+\nabla \cdot \left(u^{2}\mathbf {u} +w\mathbf {I} \right)=0}$

В одномерном случае без источника (как градиента давления, так и внешней силы) уравнение количества движения становится невязким уравнением Бюргерса :

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}=0}$

Это модельное уравнение дает много понимания уравнений Эйлера.

Безразмерность [ править ]

Чтобы уравнения были безразмерными , необходимо определить характеристическую длину и характеристическую скорость . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом получаются следующие безразмерные переменные:${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{*}&\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\\[5pt]r^{*}&\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\\[5pt]t^{*}&\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\\[5pt]p^{*}&\equiv {\frac {w}{u_{0}^{2}}},\\[5pt]\nabla ^{*}&\equiv r_{0}\nabla \end{aligned}}}$

и единичного вектора поля :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {g} }}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g}},}$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения Эйлера, определяющие число Фруда , дает (без * в вершине):

Уравнения Эйлера в пределе Фруда (без внешнего поля) называются свободными уравнениями и являются консервативными. Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле), таким образом, примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Форма сохранения [ править ]

Форма сохранения подчеркивает математические свойства уравнений Эйлера, и особенно сжатая форма часто является наиболее удобной для моделирования вычислительной гидродинамики . С точки зрения вычислений, использование сохраняемых переменных дает некоторые преимущества. Это дает начало большому классу численных методов, называемых консервативными методами. ^[1]

В свободных уравнениях Эйлера являются консервативными , в том смысле , что они эквивалентны уравнения сохранения:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} ={\mathbf {0} },}$

или просто в обозначениях Эйнштейна:

${\displaystyle {\frac {\partial y_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial f_{ij}}{\partial r_{i}}}=0_{i},}$

где величина сохранения в данном случае является вектором, а - матрицей потоков . Это можно просто доказать.${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Наконец, уравнения Эйлера можно преобразовать в конкретное уравнение:

Пространственные размеры [ править ]

Для некоторых задач, особенно при использовании для анализа сжимаемого потока в канале или в случае, если поток является цилиндрическим или сферически симметричным, одномерные уравнения Эйлера являются полезным первым приближением. Как правило, уравнения Эйлера решаются Римана «S методом характеристик . Это включает в себя нахождение кривых на плоскости независимых переменных (т. Е. И ), по которым уравнения в частных производных (PDE) вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE). Численные решения уравнений Эйлера во многом зависят от метода характеристик.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

Несжимаемые уравнения Эйлера [ править ]

В конвективной форме уравнения Эйлера несжимаемой жидкости в случае переменной плотности в пространстве имеют вид: ^[5]

где дополнительные переменные:

• ${\displaystyle \rho }$- массовая плотность жидкости ,
• ${\displaystyle p}$это давление , .${\displaystyle p=\rho w}$

Первое уравнение, которое является новым, - это уравнение неразрывности несжимаемой жидкости . Фактически, общее уравнение неразрывности будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

но здесь последний член тождественно равен нулю для ограничения несжимаемости.

Форма сохранения [ править ]

Несжимаемые уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным потоком соответственно:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

Здесь есть длина и размер . ^[a] В общем (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle N+2}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle (N+2)N}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\rho \\\rho \mathbf {u} \\0\end{pmatrix}}+\nabla \cdot {\begin{pmatrix}\rho \mathbf {u} \\\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\rho \mathbf {g} \\0\end{pmatrix}}}$

Переменные сохранения [ править ]

Переменные для уравнений в форме сохранения еще не оптимизированы. Фактически мы могли бы определить:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\0\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\{\frac {\mathbf {j} }{\rho }}\end{pmatrix}}.}$

куда:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$- плотность импульса , переменная сохранения.

куда:

• ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$- плотность силы , переменная сохранения.

Уравнения Эйлера [ править ]

В дифференциально-конвективной форме сжимаемые (и наиболее общие) уравнения Эйлера могут быть вскоре записаны с обозначением материальной производной :

где дополнительные переменные здесь:

• ${\displaystyle e}$- удельная внутренняя энергия (внутренняя энергия на единицу массы).

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют собой закон сохранения массы , импульса и энергии : уравнение энергии, выраженное в переменной внутренней энергии, позволяет понять связь со случаем несжимаемой жидкости, но не в простейшей форме. Массовая плотность, скорость потока и давление - это так называемые конвективные переменные (или физические переменные, или лагранжевые переменные), в то время как массовая плотность, плотность количества движения и общая плотность энергии являются так называемыми сохраняемыми переменными (также называемыми эйлеровыми или математическими переменными). . ^[1]

Если указать материальную производную, приведенные выше уравнения будут следующими:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho +\rho \nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[1.2ex]{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}&=\mathbf {g} \\[1.2ex]{\partial e \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla e+{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}\right.}$

Несжимаемое ограничение (пересмотрено) [ править ]

Возвращаясь к случаю несжимаемой жидкости, теперь становится очевидным, что несжимаемая связь, типичная для предыдущих случаев, на самом деле является конкретной формой, действующей для несжимаемых потоков уравнения энергии , а не уравнения массы. В частности, несжимаемая связь соответствует следующему очень простому уравнению энергии:

${\displaystyle {De \over Dt}=0}$

Таким образом, для несжимаемой невязкой жидкости удельная внутренняя энергия постоянна вдоль линий потока , а также в потоке, зависящем от времени. Давление в несжимаемом потоке действует как множитель Лагранжа , будучи множителем несжимаемой связи в уравнении энергии, и, следовательно, в несжимаемых потоках оно не имеет термодинамического значения. Фактически термодинамика типична для сжимаемых течений и вырождается в несжимаемых. ^[7]

Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно записать в виде сохранения:

${\displaystyle {\partial \rho e \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho e\mathbf {u} )=0}$

Это означает, что для несжимаемого невязкого непроводящего потока выполняется уравнение неразрывности для внутренней энергии.

Сохранение энтальпии [ править ]

Поскольку по определению удельная энтальпия равна:

${\displaystyle h=e+{\frac {p}{\rho }}}$

Материальная производная удельной внутренней энергии может быть выражена как:

${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left({Dp \over Dt}-{\frac {p}{\rho }}{D\rho \over Dt}\right)}$

Тогда, подставляя уравнение импульса в это выражение, получаем:

${\displaystyle {De \over Dt}={Dh \over Dt}-{\frac {1}{\rho }}\left(p\nabla \cdot \mathbf {u} +{Dp \over Dt}\right)}$

И, подставив последнее в уравнение энергии, можно получить, что выражение энтальпии для уравнения энергии Эйлера:

${\displaystyle {Dh \over Dt}={\frac {1}{\rho }}{Dp \over Dt}}$

В системе отсчета, движущейся с невязким и непроводящим потоком, изменение энтальпии прямо соответствует изменению давления.

Термодинамика идеальных жидкостей [ править ]

В термодинамике независимыми переменными являются удельный объем и удельная энтропия , а удельная энергия является функцией состояния этих двух переменных.

Следовательно, для термодинамической жидкости уравнения Эйлера сжимаемой жидкости лучше всего записывать как:

куда:

• ${\displaystyle v}$ это удельный объем
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ - вектор скорости потока
• ${\displaystyle s}$ это удельная энтропия

В общем случае, а не только в случае несжимаемой жидкости, уравнение энергии означает, что для невязкой термодинамической жидкости удельная энтропия постоянна вдоль линий потока , также в потоке, зависящем от времени. Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно записать в виде сохранения: ^[8]

${\displaystyle {\partial \rho s \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0}$

это означает, что для невязкого непроводящего потока выполняется уравнение неразрывности для энтропии.

С другой стороны, две частные производные второго порядка удельной внутренней энергии в уравнении количества движения требуют спецификации основного уравнения состояния рассматриваемого материала, то есть удельной внутренней энергии как функции двух переменных удельного объема и удельная энтропия:

${\displaystyle e=e(v,s)}$

Фундаментальное уравнение состояния содержит всю термодинамическую информацию о системе (Callen, 1985), в ^[9] так же , как пару в тепловом уравнении состояния вместе с калорийностью уравнением состояния.

Форма сохранения [ править ]

Уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным потоком соответственно:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}\rho \\\mathbf {j} \\E^{t}\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {F} }={\begin{pmatrix}\mathbf {j} \\{\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \otimes \mathbf {j} +p\mathbf {I} \\\left(E^{t}+p\right){\frac {1}{\rho }}\mathbf {j} \end{pmatrix}}.}$

куда:

• ${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$- плотность импульса , переменная сохранения.
• ${\textstyle E^{t}=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$- общая плотность энергии (полная энергия на единицу объема).

Здесь имеет длину N + 2 и размер N (N + 2). ^[b] В общем (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются следующим образом:${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

куда:

• ${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {g} }$- плотность силы , переменная сохранения.

Отметим, что уравнение Эйлера, даже если оно консервативно (отсутствие внешнего поля, предел Фруда), вообще не имеет инвариантов Римана . ^[10] Требуются некоторые дополнительные предположения.

Однако мы уже упоминали, что для термодинамической жидкости уравнение для полной плотности энергии эквивалентно уравнению сохранения:

${\displaystyle {\partial \over \partial t}(\rho s)+\nabla \cdot (\rho s\mathbf {u} )=0}$

Тогда уравнения сохранения в случае термодинамической жидкости проще выразить как:

куда:

• ${\displaystyle S=\rho s}$ - плотность энтропии, термодинамическая переменная сохранения.

Другая возможная форма уравнения энергии, особенно полезная для изобарики , это:

${\displaystyle {\frac {\partial H^{t}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(H^{t}\mathbf {u} \right)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} -{\frac {\partial p}{\partial t}}}$

куда:

• ${\textstyle H^{t}=E^{t}+p=\rho e+p+{\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$- полная плотность энтальпии .

Квазилинейная форма и характеристические уравнения [ править ]

Расширение потоков может быть важной частью построения численных решателей , например, путем использования ( приближенных ) решений проблемы Римана . В областях, где вектор состояния y изменяется плавно, уравнения в консервативной форме можно записать в квазилинейной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{i}{\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial r_{i}}}={\mathbf {0} }.}$

где называются якобианами потока, определяемыми как матрицы :${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{i}(\mathbf {y} )={\frac {\partial \mathbf {f} _{i}(\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {y} }}.}$

Очевидно, что этот якобиан не существует в областях разрывов (например, контактных разрывов, ударных волн в невязких непроводящих потоках). Если якобианы потока не являются функциями вектора состояния , уравнения оказываются линейными .${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

Характеристические уравнения [ править ]

Сжимаемые уравнения Эйлера могут быть разделены на набор N + 2 волновых уравнений, описывающих звук в континууме Эйлера, если они выражены в характеристических переменных, а не в сохраняемых переменных.

Фактически тензор A всегда диагонализуем . Если собственные значения (случай уравнений Эйлера) все действительны, система определяется гиперболической , а физически собственные значения представляют скорости распространения информации. ^[11] Если все они выделены, система определяется строго гиперболической (будет доказано, что это случай одномерных уравнений Эйлера). Кроме того, диагонализация сжимаемого уравнения Эйлера проще, когда уравнение энергии выражается в переменной энтропии (т.е. уравнениями для термодинамических жидкостей), чем в других переменных энергии. Это станет ясно при рассмотрении одномерного случая.

Если - правый собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению , путем построения матрицы проекции :${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},...,\mathbf {p} _{n}\right]}$

Наконец, можно найти характеристические переменные как:

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} ,}$

Поскольку A - константа, умножение исходного одномерного уравнения в потоково-якобиановой форме на P ⁻¹ дает характеристические уравнения: ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial w_{i}}{\partial t}}+\lambda _{j}{\frac {\partial w_{i}}{\partial r_{j}}}=0_{i}}$

Исходные уравнения были разделены на N + 2 характеристических уравнения, каждое из которых описывает простую волну, причем собственными значениями являются скорости волны. Переменные w _i называются характеристическими переменными и представляют собой подмножество консервативных переменных. Наконец, решение задачи начального значения в терминах характеристических переменных оказывается очень простым. В одном пространственном измерении это:

${\displaystyle w_{i}(x,t)=w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)}$

Затем решение в терминах исходных консервативных переменных получается путем обратного преобразования:

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {w} ,}$

это вычисление может быть выражено как линейная комбинация собственных векторов:

${\displaystyle \mathbf {y} (x,t)=\sum _{i=1}^{m}w_{i}\left(x-\lambda _{i}t,0\right)\mathbf {p} _{i},}$

Теперь становится очевидным, что характеристические переменные действуют как веса в линейной комбинации собственных векторов якобиана. Решение можно рассматривать как суперпозицию волн, каждая из которых переносится независимо без изменения формы. Каждая i -я волна имеет форму w _i p _i и скорость распространения λ _i . Ниже мы покажем очень простой пример этой процедуры решения.

Волны в 1D невязкой непроводящей термодинамической жидкости [ править ]

Если рассматривать уравнения Эйлера для термодинамической жидкости с двумя дополнительными предположениями об одном пространственном измерении и свободном (без внешнего поля: g  = 0):

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}-v{\partial u \over \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}-e_{vv}v{\partial v \over \partial x}-e_{vs}v{\partial s \over \partial x}&=0\\[1.2ex]{\partial s \over \partial t}+u{\partial s \over \partial x}&=0\end{aligned}}\right.}$

Если определить вектор переменных:

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}v\\u\\s\end{pmatrix}}}$

вспоминая, что это удельный объем, скорость потока, удельная энтропия, соответствующая матрица якобиана имеет вид:${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}u&-v&0\\-e_{vv}v&u&-e_{vs}v\\0&0&u\end{pmatrix}}.}$

Сначала нужно найти собственные значения этой матрицы, решив характеристическое уравнение :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} (\mathbf {y} )-\lambda (\mathbf {y} )\mathbf {I} )=0}$

это явно:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v&0\\-e_{vv}v&u-\lambda &-e_{vs}v\\0&0&u-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

Этот определитель очень прост: самое быстрое вычисление начинается с последней строки, поскольку она имеет наибольшее количество нулевых элементов.

${\displaystyle (u-\lambda )\det {\begin{bmatrix}u-\lambda &-v\\-e_{vv}v&u-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

Теперь вычислив определитель 2 × 2:

${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-e_{vv}v^{2}\right)=0}$

путем определения параметра:

${\displaystyle a(v,s)\equiv v{\sqrt {e_{vv}}}}$

или, что эквивалентно, в механических переменных, как:

${\displaystyle a(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}}$

Этот параметр всегда действителен согласно второму закону термодинамики . На самом деле второй закон термодинамики можно выразить несколькими постулатами. Самым элементарным из них с математической точки зрения является утверждение о выпуклости основного уравнения состояния, то есть гессианской матрицы удельной энергии, выраженной как функция удельного объема и удельной энтропии:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{vv}&e_{vs}\\e_{vs}&e_{ss}\end{pmatrix}}}$

определяется положительно. Это утверждение соответствует двум условиям:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}e_{vv}&>0\\[1.2ex]e_{vv}e_{ss}-e_{vs}^{2}&>0\end{aligned}}\right.}$

Первое условие - это то, что параметр a определен как действительный.

В итоге получается характеристическое уравнение:

${\displaystyle (u-\lambda )\left((u-\lambda )^{2}-a^{2}\right)=0}$

У этого есть три реальных решения:

${\displaystyle \lambda _{1}(v,u,s)=u-a(v,s)\quad \lambda _{2}(u)=u,\quad \lambda _{3}(v,u,s)=u+a(v,s)}$

Тогда матрица имеет три выделенных действительных собственных значения: одномерные уравнения Эйлера являются строго гиперболической системой .

На этом этапе нужно определить три собственных вектора: каждый получается путем подстановки одного собственного значения в уравнение собственных значений и последующего его решения. Подставляя первое собственное значение λ _1, получаем:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v&0\\-e_{vv}v&a&-e_{vs}v\\0&0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\\s_{1}\end{pmatrix}}=0}$

На основе третьего уравнения, которое просто имеет решение s ₁ = 0, система сводится к:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-v\\-a^{2}/v&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\u_{1}\end{pmatrix}}=0}$

Два уравнения, как обычно, являются избыточными, тогда собственный вектор определяется с помощью постоянной умножения. Выберем правильный собственный вектор:

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}={\begin{pmatrix}v\\a\\0\end{pmatrix}}}$

Два других собственных вектора могут быть найдены аналогичной процедурой:

${\displaystyle \mathbf {p} _{2}={\begin{pmatrix}e_{vs}\\0\\-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {p} _{3}={\begin{pmatrix}v\\-a\\0\end{pmatrix}}}$

Тогда матрицу проекции можно построить:

${\displaystyle \mathbf {P} (v,u,s)=(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},\mathbf {p} _{3})={\begin{pmatrix}v&e_{vs}&v\\a&0&-a\\0&-\left({\frac {a}{v}}\right)^{2}&0\end{pmatrix}}}$

Наконец, становится очевидным, что реальным параметром a, определенным ранее, является скорость распространения информации, характерной для гиперболической системы, составленной из уравнений Эйлера, то есть это скорость волны . Остается показать, что скорость звука соответствует частному случаю изэнтропического преобразования :

${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}}$

Сжимаемость и скорость звука [ править ]

Скорость звука определяется как скорость волны изоэнтропического преобразования:

${\displaystyle a_{s}(\rho ,p)\equiv {\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}}}$

по определению изоэнтропической сжимаемости:

${\displaystyle K_{s}(\rho ,p)\equiv {\frac {1}{\rho }}\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{s}}$

звуковая скорость всегда вычисляется как квадратный корень из отношения между изоэнтропической сжимаемостью и плотностью:

${\displaystyle a_{s}\equiv {\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}}}$

Идеальный газ [ править ]

Скорость звука в идеальном газе зависит только от его температуры:

${\displaystyle a_{s}(T)={\sqrt {\gamma {\frac {T}{m}}}}}$

Поскольку удельная энтальпия в идеальном газе пропорциональна его температуре:

${\displaystyle h=c_{p}T={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {T}{m}}}$

скорость звука в идеальном газе также может зависеть только от его удельной энтальпии:

${\displaystyle a_{s}(h)={\sqrt {(\gamma -1)h}}}$

Теорема Бернулли для устойчивого невязкого потока [ править ]

Теорема Бернулли является прямым следствием уравнений Эйлера.

Несжимаемый падеж и форма Лэмба [ править ]

Идентичность векторного исчисления в поперечном произведении ротора выполнена:

${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\mathbf {v\cdot \nabla } \mathbf {F} \ ,}$

где используется индекс Фейнмана , что означает, что градиент с индексом действует только на множитель .${\displaystyle \nabla _{F}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Лэмб в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.), которая все еще печатается, использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме: ^[13]

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

уравнение импульса Эйлера в форме Лэмба принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} ={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)-\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+{\frac {\nabla p}{\rho }}}$

Теперь, исходя из другой идентичности:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho }$

уравнение импульса Эйлера принимает форму, оптимальную для демонстрации теоремы Бернулли для стационарных течений:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}\right)-\mathbf {g} =-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

Фактически, в случае внешнего консервативного поля , определяя его потенциал φ:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

В случае установившегося потока производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает следующий вид:

${\displaystyle \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\nabla \rho +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

И если спроецировать уравнение количества движения на направление потока, то есть вдоль линии тока , перекрестное произведение исчезает, потому что его результат всегда перпендикулярен скорости:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=-{\frac {p}{\rho ^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$

В случае установившейся несжимаемой жидкости массовое уравнение просто:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$,

то есть закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна . Тогда уравнение импульса Эйлера в стационарном случае несжимаемой жидкости принимает вид:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)=0}$

Теперь очевидно удобство определения полного напора для невязкого потока жидкости:

${\displaystyle b_{l}\equiv {\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }},}$

который можно просто записать как:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{l}=0}$

То есть, баланс количества движения для устойчивого невязкого и несжимаемого потока во внешнем консервативном поле утверждает, что полный напор вдоль линии тока постоянен .

Сжимаемый корпус [ править ]

В наиболее общем стационарном (сжимаемом) случае массовое уравнение в форме сохранения имеет следующий вид:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =\rho \nabla \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$ .

Следовательно, предыдущее выражение скорее

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}u^{2}+\phi +{\frac {p}{\rho }}\right)={\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} }$

Правая часть появляется в уравнении энергии в конвективной форме, которая в установившемся состоянии выглядит так:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla e=-{\frac {p}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {u} }$

Таким образом, уравнение энергии принимает следующий вид:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \left(e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}+\phi \right)=0,}$

так что внутренняя удельная энергия теперь присутствует в голове.

Поскольку потенциал внешнего поля обычно мал по сравнению с другими членами, удобно сгруппировать последние по полной энтальпии :

${\displaystyle h^{t}\equiv e+{\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}u^{2}}$

а инвариант Бернулли для потока невязкого газа равен:

${\displaystyle b_{g}\equiv h^{t}+\phi =b_{l}+e,}$

который можно записать как:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla b_{g}=0}$

Таким образом, баланс энергии для устойчивого невязкого потока во внешнем консервативном поле утверждает, что сумма полной энтальпии и внешнего потенциала постоянна вдоль линии тока .

В обычном случае малого потенциального поля просто:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}\sim 0}$

Форма Фридмана и форма Крокко [ править ]

Подставив градиент давления градиентом энтропии и энтальпии, согласно первому закону термодинамики в форме энтальпии:

${\displaystyle v\nabla p=-T\nabla s+\nabla h}$

в конвективной форме уравнения импульса Эйлера получаем:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=T\nabla \,s-\nabla \,h}$

Фридман вывел это уравнение для частного случая идеального газа и опубликовал его в 1922 году. ^[14] Однако это уравнение является общим для невязкой непроводящей жидкости, и никакое уравнение состояния в нем не подразумевается.

С другой стороны, подставляя энтальпийную форму первого закона термодинамики во вращательную форму уравнения импульса Эйлера, получаем:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left(u^{2}\right)+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {\nabla p}{\rho }}=\mathbf {g} }$

и определив удельную общую энтальпию:

${\displaystyle h^{t}=h+{\frac {1}{2}}u^{2}}$

мы приходим к форме Крокко – Вазсоньи ^[15] (Crocco, 1937) уравнения импульса Эйлера:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} -T\nabla s+\nabla h^{t}=\mathbf {g} }$

В стационарном случае две переменные энтропия и полная энтальпия особенно полезны, поскольку уравнения Эйлера могут быть преобразованы в форму Крокко:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} +T\nabla s-\nabla h^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla s&=0\\\mathbf {u} \cdot \nabla h^{t}&=0\end{aligned}}\right.}$

Наконец, если поток также изотермический:

${\displaystyle T\nabla s=\nabla (Ts)}$

путем определения удельной полной свободной энергии Гиббса :

${\displaystyle g^{t}\equiv h^{t}+Ts}$

Форма Крокко сводится к:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \nabla \times \mathbf {u} -\nabla g^{t}&=\mathbf {g} \\\mathbf {u} \cdot \nabla g^{t}&=0\end{aligned}}\right.}$

Из этих соотношений можно сделать вывод, что удельная полная свободная энергия однородна в стационарном, безвихревом, изотермическом, изоэнтропическом, невязком потоке.

Разрывы [ править ]

Уравнения Эйлера - это квазилинейные гиперболические уравнения, а их общие решения - волны . При определенных предположениях их можно упростить, что приведет к уравнению Бюргерса . Подобно знакомым океанским волнам , волны, описываемые уравнениями Эйлера, «ломаются» и образуются так называемые ударные волны ; это нелинейный эффект, представляющий решение, которое становится многозначным . Физически это представляет собой нарушение предположений, которые привели к формулировке дифференциальных уравнений, и для извлечения дополнительной информации из уравнений мы должны вернуться к более фундаментальной интегральной форме. Тогда слабые решенияформулируются путем обработки «скачков» (разрывов) величин потока - плотности, скорости, давления, энтропии - с использованием уравнений Ренкина – Гюгонио . Физические величины редко бывают прерывистыми; в реальных потоках эти неоднородности сглаживаются вязкостью и теплообменом . (См. Уравнения Навье – Стокса )

Распространение ударной волны изучается - среди многих других областей - в аэродинамике и ракетных двигателях , где возникают достаточно быстрые потоки.

Чтобы правильно вычислить континуальные величины в разрывных зонах (например, ударных волнах или пограничных слоях) из локальных форм ^[c] (все вышеуказанные формы являются локальными формами, поскольку описываемые переменные типичны для одной точки в рассматриваемом пространстве, т. они являются локальными переменными ) уравнений Эйлера с помощью методов конечных разностей, как правило, для памяти компьютеров сейчас и в ближайшем будущем потребуется слишком много пространственных точек и временных шагов. В этих случаях обязательно избегать локальных форм уравнений сохранения, пропуская некоторые слабые формы , такие как конечный объем .

Уравнения Ренкина – Гюгонио [ править ]

Начиная с простейшего случая, рассмотрим стационарное уравнение свободного сохранения в форме сохранения в пространственной области:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

где в общем случае F - матрица потока. Интегрируя это локальное уравнение по фиксированному объему V _m , оно становится:

${\displaystyle \int _{V_{m}}\nabla \cdot \mathbf {F} dV=\mathbf {0} .}$

Тогда, основываясь на теореме о расходимости , мы можем преобразовать этот интеграл в граничный интеграл потока:

${\displaystyle \oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} ds=\mathbf {0} .}$

Эта глобальная форма просто утверждает, что нет никакого чистого потока сохраняющейся величины, проходящей через область в случае устойчивого и без источника. В одномерном пространстве объем сводится к интервалу , граница которого является его экстремумом, тогда теорема расходимости сводится к основной теореме исчисления :

${\displaystyle \int _{x_{m}}^{x_{m+1}}\mathbf {F} \left(x'\right)dx'=\mathbf {0} ,}$

это простое конечно-разностное уравнение , известное как соотношение скачка :

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

Это можно сделать явным образом:

${\displaystyle \mathbf {F} _{m+1}-\mathbf {F} _{m}=\mathbf {0} }$

где используются следующие обозначения:

${\displaystyle \mathbf {F} _{m}=\mathbf {F} (x_{m}).}$

Или, если выполнить неопределенный интеграл:

${\displaystyle \mathbf {F} -\mathbf {F} _{0}=\mathbf {0} .}$

С другой стороны, временное уравнение сохранения:

${\displaystyle {\partial y \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

приводит к соотношению скачка:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\,\Delta u=\Delta \mathbf {F} .}$

Для одномерных уравнений Эйлера переменные сохранения и поток являются векторами:

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{v}}\\j\\E^{t}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}j\\vj^{2}+p\\vj\left(E^{t}+p\right)\end{pmatrix}},}$

куда:

• ${\displaystyle v}$ - удельный объем,
• ${\displaystyle j}$ поток массы.

В одномерном случае соответствующие соотношения скачков, называемые уравнениями Ренкина – Гюгонио , следующие: < ^[16]

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)&=\Delta j\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta j&=\Delta \left(vj^{2}+p\right)\\[1.2ex]{\frac {dx}{dt}}\Delta E^{t}&=\Delta \left(jv\left(E^{t}+p\right)\right)\end{aligned}}\right..}$

В устойчивом одномерном случае это становится просто:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(j\left({\frac {E^{t}}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }}\right)\right)&=0\end{aligned}}\right..}$

Благодаря уравнению разности масс уравнение разности энергий можно упростить без каких-либо ограничений:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left(vj^{2}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta h^{t}&=0\end{aligned}}\right.,}$

где - удельная полная энтальпия.${\displaystyle h^{t}}$

Обычно они выражаются в конвективных переменных:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\Delta j&=0\\[1.2ex]\Delta \left({\frac {u^{2}}{v}}+p\right)&=0\\[1.2ex]\Delta \left(e+{\frac {1}{2}}u^{2}+pv\right)&=0\end{aligned}}\right.,}$

куда:

• ${\displaystyle u}$ скорость потока
• ${\displaystyle e}$ - удельная внутренняя энергия.

Уравнение энергии является интегральной формой уравнения Бернулли в сжимаемом случае. Прежние уравнения массы и импульса путем подстановки приводят к уравнению Рэлея:

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta v}}=-{\frac {u_{0}^{2}}{v_{0}}}.}$

Поскольку второй член является константой, уравнение Рэлея всегда описывает простую линию в плоскости объема давления, не зависящую от какого-либо уравнения состояния, то есть линии Рэлея . Путем подстановки в уравнения Ренкина – Гюгонио это также можно сделать явным:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}u_{0}\\[1.2ex]\rho u^{2}+p&=\rho _{0}u_{0}^{2}+p_{0}\\[1.2ex]e+{\frac {1}{2}}u^{2}+{\frac {p}{\rho }}&=e_{0}+{\frac {1}{2}}u_{0}^{2}+{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\end{aligned}}\right..}$

Можно также получить кинетическое уравнение и уравнение Гюгонио. Аналитические отрывки здесь для краткости не показаны.

Это соответственно:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}u^{2}(v,p)&=u_{0}^{2}+\left(p-p_{0}\right)\left(v_{0}+v\right)\\[1.2ex]e(v,p)&=e_{0}+{\frac {1}{2}}\left(p+p_{0}\right)\left(v_{0}-v\right)\end{aligned}}\right..}$

Уравнение Гюгонио в сочетании с фундаментальным уравнением состояния материала:

${\displaystyle e=e(v,p)}$

в целом описывает в плоскости объема давления кривую, проходящую через условия (v ₀ , p ₀ ), т.е. кривую Гюгонио , форма которой сильно зависит от типа рассматриваемого материала.

Также принято определять функцию Гюгонио : ^[17]

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(v,s)\equiv e(v,s)-e_{0}+{\frac {1}{2}}\left(p(v,s)+p_{0}\right)\left(v-v_{0}\right)}$

позволяя количественно определять отклонения от уравнения Гюгонио, аналогично предыдущему определению гидравлического напора , полезного для отклонений от уравнения Бернулли.

Форма конечного объема [ править ]

С другой стороны, интегрируя общее уравнение сохранения:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {s} }$

на фиксированном объеме V _m , а затем на основании теоремы о расходимости принимает вид:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V_{m}}\mathbf {y} dV+\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}ds=\mathbf {S} .}$

Интегрируя это уравнение также по временному интервалу:

${\displaystyle \int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n+1})\,dV-\int _{V_{m}}\mathbf {y} (\mathbf {r} ,t_{n})\,dV+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\oint _{\partial V_{m}}\mathbf {F} \cdot {\hat {n}}\,ds\,dt=\mathbf {0} .}$