Число Фруда

В механике сплошных сред число Фруда ( Fr ) - это безразмерное число, определяемое как отношение инерции потока к внешнему полю (последнее во многих приложениях просто из-за силы тяжести ). Названный в честь Фруд ( / е р ¯u д / ; ^[1] ), то число Фруда основано на соотношении скорости длины , которую он определяется как: ^{[2] [3]}

${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {gL}}}}$

где u - локальная скорость потока , g - локальное внешнее поле , L - характерная длина . Число Фруда имеет некоторую аналогию с числом Маха . В теоретической гидродинамике число Фруда не часто рассматривается, поскольку обычно уравнения рассматриваются в высоком пределе Фруда пренебрежимо малого внешнего поля, что приводит к однородным уравнениям, сохраняющим математические аспекты. Например, однородные уравнения Эйлера являются уравнениями сохранения .

Однако в военно-морской архитектуре число Фруда является важной цифрой, используемой для определения сопротивления частично погруженного объекта, движущегося в воде.

Истоки [ править ]

В потоках в открытом канале Belanger 1828 сначала ввел отношение скорости потока к квадратному корню из ускорения свободного падения, умноженного на глубину потока. Когда отношение было меньше единицы, поток вел себя как речное движение (т. Е. Докритический поток) и как движение потока, когда отношение было больше единицы. ^[4]

Корпуса лебедя (вверху) и ворона (внизу). Последовательность из 3, 6 и 12 (показанных на рисунке) моделей в масштабе стопы была построена Фрудом и использовалась в испытаниях буксировки для установления законов сопротивления и масштабирования.

Количественная оценка сопротивления плавающих объектов обычно приписывается Уильяму Фроуду , который использовал серию масштабных моделей для измерения сопротивления каждой модели при буксировке с заданной скоростью. Военно-морской конструктор Фредерик Рич выдвинул концепцию гораздо раньше, в 1852 году, для испытания кораблей и гребных винтов, но Фруд не знал об этом. ^[5] Соотношение скорость-длина было первоначально определено Фрудом в его Законе сравнения в 1868 году в размерных терминах как:

${\ displaystyle {\ text {отношение скорости к длине}} = {\ frac {u} {\ sqrt {\ text {LWL}}}}}$

куда:

u = скорость потока

LWL = длина ватерлинии

Этот термин был преобразован в безразмерные термины и получил имя Фруда в знак признания проделанной им работы. Во Франции его иногда называют числом Рича – Фруда в честь Фердинанда Рича. ^[6]

Определение и основное применение [ править ]

Чтобы показать, как число Фруда связано с общей механикой сплошной среды, а не только с гидродинамикой, мы начнем с обезразмеривания уравнения движения Коши.

Уравнение импульса Коши [ править ]

Чтобы сделать уравнения безразмерными , необходимо определить характерную длину r ₀ и характеристическую скорость u ₀ . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом получаются следующие безразмерные переменные:

${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения импульса Эйлера и определение числа Фруда:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$

и число Эйлера :

${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$

окончательно формулируются уравнения (с материальной производной и без индексов):

Уравнения типа Коши в высоком пределе Фруда Fr → ∞ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями . С другой стороны, в нижнем пределе Эйлера Eu → 0 (соответствующем пренебрежимо малому напряжению) общее уравнение импульса Коши становится неоднородным уравнением Бюргерса (здесь мы явно указываем материальную производную ):

Это неоднородное уравнение чистой адвекции , поскольку уравнение Стокса является уравнением чистой диффузии .

Уравнение импульса Эйлера [ править ]

Уравнение импульса Эйлера - это уравнение импульса Коши, в котором закон Паскаля является определяющим соотношением напряжений:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$

в безразмерной лагранжевой форме это:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$

Свободные уравнения Эйлера консервативны. Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле), таким образом, примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Несжимаемое уравнение импульса Навье – Стокса [ править ]

Импульса уравнение Несжимаемый Навье-Стокса является инерция уравнение Коши с Паскалем закона и закона Стокса служит напряжение соотношений:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$

в безразмерной конвективной форме это: ^[7]

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$

где Re - число Рейнольдса . Свободные уравнения Навье – Стокса диссипативны (неконсервативны).

Другие приложения [ править ]

Гидродинамика корабля [ править ]

В морских гидродинамических приложениях число Фруда обычно обозначается обозначением Fn и определяется как: ^[8]

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$

где u - относительная скорость потока между морем и судном, g - это, в частности, ускорение свободного падения , а L - длина судна на уровне ватерлинии, или L _wl в некоторых обозначениях. Это важный параметр относительно сопротивления корабля , особенно с точки зрения волнового сопротивления .

В случае глиссирующих судов, где длина ватерлинии слишком зависит от скорости, чтобы иметь смысл, число Фруда лучше всего определять как число Фруда смещения, а эталонная длина берется как кубический корень из объемного смещения корпуса:

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$

Мелководные волны [ править ]

Для волн на мелководье, таких как цунами и гидравлические скачки , характерная скорость U представляет собой среднюю скорость потока, усредненную по поперечному сечению, перпендикулярному направлению потока. Скорость волны c равна квадратному корню из ускорения свободного падения g , умноженному на площадь поперечного сечения A , деленному на ширину свободной поверхности B :

${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$

поэтому число Фруда на мелководье:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$

Для прямоугольных поперечных сечений с постоянной глубиной d число Фруда можно упростить до:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$

При Fr <1 течение называется докритическим , далее при Fr> 1 течение характеризуется как сверхкритическое течение . Когда Fr ≈ 1, поток обозначается как критический .

Ветровая техника [ править ]

При рассмотрении ветровых воздействий на динамически чувствительные конструкции, такие как подвесные мосты, иногда необходимо моделировать комбинированное воздействие вибрирующей массы конструкции с колеблющейся силой ветра. В таких случаях следует соблюдать число Фруда. Аналогичным образом, при моделировании струй горячего дыма в сочетании с естественным ветром, масштабирование числа Фруда необходимо для поддержания правильного баланса между силами плавучести и импульсом ветра.

Расширенное число Фруда [ править ]

Геофизические массовые потоки, такие как лавины и селевые потоки, происходят на наклонных склонах, которые затем переходят в пологие и пологие зоны выхода. ^[9]

Таким образом, эти потоки связаны с возвышением топографических склонов, которые индуцируют потенциальную энергию гравитации вместе с потенциальной энергией давления во время потока. Следовательно, классическое число Фруда должно включать этот дополнительный эффект. Для такой ситуации необходимо заново определить число Фруда. Расширенное число Фруда определяется как отношение кинетической и потенциальной энергии:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$

где u - средняя скорость потока, β = gK cos ζ , ( K - коэффициент давления грунта, ζ - наклон), s _g = g sin ζ , x - положение канала вниз по склону и расстояние от точки выброс массы по каналу до точки, где поток попадает в горизонтальную опорную точку; E${\displaystyle x_{d}}$^p
_горшок= βh и E^г
_горшок= s _g ( x _d - x ) - потенциальная энергия давления и потенциальная энергия гравитации соответственно. В классическом определении числа Фруда для мелководных или зернистых потоков потенциальная энергия, связанная с возвышением поверхности, E^г
_горшок, не считается. Расширенное число Фруда существенно отличается от классического числа Фруда для больших высот поверхности. Термин βh выходит из изменения геометрии движущейся массы вдоль склона. Анализ размерностей показывает, что для мелких потоков βh 1 , а u и s _g ( x _d - x ) имеют порядок единицы. Если масса мелкая с практически параллельной слою свободной поверхностью, то βh можно не принимать во внимание. В этой ситуации, если не учитывать гравитационный потенциал, то Frнеограничен, даже если кинетическая энергия ограничена. Таким образом, формально учитывая дополнительный вклад гравитационной потенциальной энергии, сингулярность в Fr снимается.

Баки с мешалкой [ править ]

При исследовании резервуаров с мешалкой число Фруда определяет образование поверхностных вихрей. Поскольку скорость кончика рабочего колеса равна ωr ( круговое движение ), где ω - частота рабочего колеса (обычно в об / мин ), а r - радиус рабочего колеса (в технике гораздо чаще используется диаметр), число Фруда тогда принимает следующий вид:

${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$

Число Фруда также находит подобное применение в порошковых смесителях. Он действительно будет использоваться для определения того, в каком режиме смешивания работает блендер. Если Fr <1, ​​частицы просто перемешиваются, но если Fr> 1, центробежные силы, приложенные к порошку, преодолевают силу тяжести, и слой частиц становится псевдоожиженным, по крайней мере в некоторой части смесителя, способствуя перемешиванию ^[10]

Денсиметрическое число Фруда [ править ]

При использовании в контексте приближения Буссинеска Денситометрическое число Фруда определяется как

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$

где g ′ - приведенная сила тяжести:

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$

Денсиметрическое число Фруда обычно предпочитают разработчики моделей, которые хотят обезразмерить предпочтение скорости по сравнению с числом Ричардсона, которое чаще встречается при рассмотрении слоистых слоев сдвига. Например, передний фронт гравитационного течения движется с передним числом Фруда около единицы.

Идущее число Фруда [ править ]

Число Фруда можно использовать для изучения тенденций в моделях походки животных. При анализе динамики передвижения на ногах, шагающая конечность часто моделируется как перевернутый маятник , где центр масс проходит через дугу окружности с центром в стопе. ^[11] Число Фруда - это соотношение центростремительной силы вокруг центра движения, ступни и веса идущего животного:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$

где m - масса, l - характерная длина, g - ускорение свободного падения, а v - скорость . Характерная длина l может быть выбрана в соответствии с рассматриваемым исследованием. Например, в некоторых исследованиях использовалось вертикальное расстояние тазобедренного сустава от земли ^[12], а в других - общая длина ноги. ^{[11] [13]}

Число Фруда также можно вычислить из частоты шагов f следующим образом: ^[12]

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$

Если в качестве характеристической длины используется общая длина ноги, то теоретическая максимальная скорость ходьбы будет иметь число Фруда 1,0, поскольку любое большее значение приведет к отталкиванию и отрыву ступни от земли. Типичная скорость перехода от двуногой ходьбы к бегу происходит при Fr ≈ 0,5 . ^[14] Р. М. Александер обнаружил, что животные разных размеров и масс, движущиеся с разной скоростью, но с одним и тем же числом Фруда, постоянно демонстрируют сходные походки. Это исследование показало, что животные обычно переключаются с ходьбы на симметричную беговую походку (например, рысь или темп) около числа Фруда, равного 1,0. Предпочтение асимметричным походкам (например, галопу, поперечному галопу, вращающемуся галопу, скачку или пронк) наблюдалось при числах Фруда от 2,0 до 3,0.^[12]

Использование [ править ]

Число Фруда используется для сравнения волнового сопротивления между телами различных размеров и форм.

В потоке со свободной поверхностью характер потока ( сверхкритический или докритический) зависит от того, больше или меньше единицы числа Фруда.

Хорошо видна линия «критического» потока в раковине на кухне или в ванной. Оставьте его отключенным и дайте крану запустить. Рядом с местом, где струя воды попадает в раковину, течение сверхкритическое. Он «обнимает» поверхность и быстро движется. На внешнем крае схемы течения течение является докритическим. Этот поток более густой и движется медленнее. Граница между двумя областями называется «гидравлическим прыжком». Скачок начинается там, где поток как раз критический и число Фруда равно 1.0.

Число Фруда использовалось для изучения тенденций в передвижении животных, чтобы лучше понять, почему животные используют разные модели походки ^[12], а также для формирования гипотез о походках вымерших видов. ^[13]

См. Также [ править ]

• Скорость потока
• Сила тела
• Уравнение импульса Коши
• Уравнение Бюргерса
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf