Закон сохранения

В физике , а закон сохранения гласит , что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не меняется , как система эволюционирует с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение энергии , сохранение количества движения , сохранение момента количества движения и сохранение электрического заряда . Также существует множество приближенных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд.и т. д. Эти величины сохраняются в некоторых классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение неразрывности, уравнение в частных производных, которое устанавливает связь между количеством количества и «переносом» этой величины. Он гласит, что количество сохраняемого количества в точке или внутри объема может изменяться только на величину количества, которое течет в объем или из него.

Из теоремы Нётер , каждый закон сохранения связан с симметрией в базовой физике.

Законы сохранения как фундаментальные законы природы [ править ]

Законы сохранения имеют фундаментальное значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не меняется, хотя может менять форму. В общем, общее количество собственности, регулируемой этим законом, остается неизменным во время физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), количества движения, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, за исключением пар, где одна обычная, а другая античастица. В отношении принципов симметрии и инвариантности были описаны три специальных закона сохранения:связаны с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, широко применяемыми в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения точны или абсолютны в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения частичны в том смысле, что они верны для одних процессов, но не для других.

Одним особенно важным результатом, касающимся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемая симметрия природы. Например, сохранение энергии следует из временной инвариантности физических систем, а сохранение углового момента возникает из того факта, что физические системы ведут себя одинаково независимо от того, как они ориентированы в пространстве.

Точные законы [ править ]

Частичный список физических уравнений сохранения из-за симметрии , которые считаются точными законами , или, точнее , никогда не было доказано нарушение:

Примерные законы [ править ]

Есть и приближенные законы сохранения. Это приблизительно верно в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные рамки или определенные взаимодействия.

• Сохранение механической энергии
• Сохранение массы покоя
• Сохранение барионного числа (см. Киральную аномалию и сфалерон )
• Сохранение лептонного числа (в стандартной модели )
• Сохранение аромата (нарушается при слабом взаимодействии )
• Сохранение паритета
• Инвариантность относительно зарядового сопряжения
• Инвариантность относительно обращения времени
• CP-симметрия , сочетание зарядового сопряжения и четности (эквивалентно обращению времени, если выполняется CPT)

Глобальные и местные законы сохранения [ править ]

Общая сумма некоторого количества сохраняющегося во Вселенной может оставаться неизменным , если равное количество должны были появиться в одной точке А и одновременно исчезают из другой отдельной точки B . Например, некоторое количество энергии могло появиться на Земле без изменения общего количества во Вселенной, если бы такое же количество энергии исчезло из отдаленной области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, потому что она не лоренц-инвариантна , поэтому явления, подобные описанным выше, не встречаются в природе. ^{[2] [3]} Из специальной теории относительности , если внешний вид энергии при А и исчезновение энергии при Bодновременны в одной инерциальной системе отсчета , они не будут одновременными в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущемся кадре одно будет предшествовать другому; либо энергия в точке A появится до, либо после того, как энергия в точке B исчезнет. В обоих случаях в течение этого интервала энергия не сохраняется.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы количество сохраняющейся величины в точке изменилось, должен существовать поток или поток величины в точку или из нее . Например, количество электрического заряда в точке никогда не изменится без электрического тока в точку или из точки, несущей разницу в заряде. Поскольку он включает в себя только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является лоренц-инвариантным ; величина, сохраняемая в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. ^{[2] [3]} Это называется локальным законом сохранения . ^{[2] [3]} Локальное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общее количество сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянным. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением неразрывности , которое гласит, что изменение количества в объеме равно общему чистому «потоку» количества через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются уравнения неразрывности в целом.

Дифференциальные формы [ править ]

В механике сплошной среды наиболее общая форма точного закона сохранения дается уравнением неразрывности . Например, сохранение электрического заряда q равно

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$

где ∇⋅ - оператор дивергенции , ρ - плотность q (количество на единицу объема), j - поток q (количество, пересекающее единицу площади в единицу времени), а t - время.

Если предположить, что движение заряда u является непрерывной функцией положения и времени, то

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.}$

В одном пространственном измерении это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка : ^[4]

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$

где зависимые переменные у называются плотность из сохраняющегося количества и А (у) называются текущий Якобиан , а нижний индекс для обозначения частных производных было использовано. Более общий неоднородный случай:

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$

это не уравнение сохранения, а общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная y называется несохраняющейся величиной , а неоднородный член s (y, x, t) - источником или диссипацией . Например, уравнения баланса такого типа - это уравнения Навье-Стокса для импульса и энергии или баланс энтропии для общей изолированной системы .

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка, которое может быть представлено в форме переноса :

${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$

где зависимая переменная y (x, t) называется плотностью сохраняемой (скалярной) величины (cq (d.) = сохраняемая величина (плотность)), а a (y) называется текущим коэффициентом , обычно соответствующим частная производная по сохраняющейся величине плотности тока (cd) сохраняющейся величины j (y) : ^[4]

${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$

В этом случае, поскольку применяется цепное правило :

${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$

уравнение сохранения можно записать в виде плотности тока:

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

В пространстве с более чем одним измерением первое определение можно расширить до уравнения, которое можно представить в форме:

${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$

где сохраняемая величина - это y ( r , t) , обозначает скалярное произведение , ∇ - оператор набла , здесь указывающий градиент , а a (y) - вектор текущих коэффициентов, аналогично соответствующий дивергенции вектора cd, связанного с к cq j (y):${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$

Так обстоит дело с уравнением неразрывности :

${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ ( r , t) и плотностью тока ρ u , идентичной плотности количества движения , а u ( r , t) - скорость потока .

В общем случае уравнение сохранения также может быть системой такого рода уравнений ( векторным уравнением ) в виде: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$

где y называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, ∇ y - ее градиентом , 0 - нулевым вектором , а A (y) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также в векторном случае A (y), обычно соответствующем якобиану матрицы плотности тока J (y) :

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$

а уравнение сохранения можно представить в виде:

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$

Например, это относится к уравнениям Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} =0\\[1.2ex]{\partial \mathbf {u} \over \partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

куда:

• u - вектор скорости потока с компонентами в N-мерном пространстве u ₁ , u ₂ ... u _N ,
• s - удельное давление (давление на единицу плотности ), определяющее исходный член ,

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица cd для этих уравнений равны соответственно:

${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad }$

где обозначает внешний продукт .${\displaystyle \otimes }$

Целостные и слабые формы [ править ]

Уравнения сохранения также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последнего состоит в том, что оно требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяющей класс допустимых решений за счет включения разрывных решений. ^[5] Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве:

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

и, используя теорему Грина , интегральная форма такова:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$

Аналогичным образом для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет следующий вид:

${\displaystyle \oint [y\,d^{N}r+j(y)\,dt]=0}$

где линейное интегрирование выполняется по границе области против часовой стрелки. ^[5]

Более того, определяя пробную функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактной опорой, можно получить слабую форму , поворачиваясь на начальном условии . В одномерном пространстве это:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$

Обратите внимание, что в слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были переданы в тестовую функцию, которая при первой гипотезе достаточно гладкая, чтобы допускать эти производные. ^[5]

См. Также [ править ]

• Инвариант (физика)
• Консервативная система
• Сохраненное количество
  • Некоторые виды спиральности сохраняются в бездиссипативном пределе: гидродинамическая спиральность , магнитная спиральность , перекрестная спиральность .
• Принцип изменчивости
• Закон Сохранения от тензора энергии-импульса
• Инвариант Римана
• Философия физики
• Тоталитарный принцип
• Уравнение конвекции – диффузии

Примеры и приложения [ править ]

• Адвекция
• Сохранение массы , или уравнение непрерывности
• Сохранение заряда
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• невязкое уравнение Бюргерса
• Кинематическая волна
• Сохранение энергии
• Транспортный поток

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Филипсон, Шустер, Моделирование нелинейными дифференциальными уравнениями: диссипативные и консервативные процессы , World Scientific Publishing Company 2009.
• Виктор Дж. Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественность вселенных . Буффало Нью-Йорк: Книги Прометея. Гл. 12 - это легкое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
• Торо, EF (1999). «Глава 2. Понятия о гиперболических частных производных». Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.
• Э. Годлевски, П.А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

Внешние ссылки [ править ]

• Законы сохранения - гл. 11-15 лет в онлайн-учебнике