Тождества векторного исчисления

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Август 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ниже приведены важные тождества, включающие производные и интегралы в векторном исчислении .

Обозначение оператора [ править ]

Градиент [ править ]

Для функции в трехмерных декартовых координатных переменных градиент является векторным полем:${\ displaystyle f (x, y, z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

где i , j , k - стандартные единичные векторы для осей x , y , z . В более общем смысле, для функции от n переменных , также называемой скалярным полем, градиент является векторным полем :${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,\ {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\ldots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}.}$

где - ортогональные единичные векторы в произвольных направлениях. ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Для векторного поля, записанного как вектор-строка 1 × n , также называемого тензорным полем порядка 1, градиентная или ковариантная производная представляет собой матрицу Якоби размера n × n :${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$

${\displaystyle \nabla \!\mathbf {A} =\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$

Для тензорного поля любого порядка k градиент является тензорным полем порядка k + 1.${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {A} )=\nabla \!\mathbf {A} }$

Дивергенция [ править ]

В декартовых координатах дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля представляет собой скалярную функцию:${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Дивергенция тензора поля ненулевого порядка к записываются в виде , А сокращение к тензорному полю порядка к - 1. В частности, дивергенция вектора является скаляром. Дивергенция тензорного поля более высокого порядка может быть найдена путем разложения тензорного поля на сумму внешних произведений и использования тождества${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {B} \otimes {\hat {\mathbf {A} }}\right)={\hat {\mathbf {A} }}(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla ){\hat {\mathbf {A} }}}$

где - производная по направлению в направлении, умноженная на ее величину. В частности, для внешнего произведения двух векторов,${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {a} \left(\nabla \cdot \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {b} \cdot \nabla \right)\mathbf {a} .}$

Curl [ править ]

В декартовых координатах для ротора это векторное поле:${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

где i , j и k - единичные векторы для осей x -, y - и z соответственно. В обозначениях Эйнштейна ротор векторного поля определяется выражением:${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x^{j}}}}$

где = ± 1 или 0 - символ четности Леви-Чивиты .${\displaystyle \varepsilon }$

Лапласиан [ править ]

В декартовых координатах лапласиан функции равен${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$

Для поля тензора , , лапласиан , как правило , записывается в виде:${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\!\mathbf {A} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

и - тензорное поле того же порядка.

Когда лапласиан равен 0, функция называется гармонической функцией . То есть,

${\displaystyle \Delta f=0}$

Специальные обозначения [ править ]

В фейнмановской нижнем индексе записи ,

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$

где обозначения ∇ _B означает , что градиент подстрочных работает только на фактор - B . ^{[1] [2]}

Менее общий но Аналогичные и Hestenes overdot обозначения в геометрической алгебре . ^[3] Вышеупомянутая идентичность затем выражается как:

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$

где точки определяют объем производной вектора. Пунктирный вектор, в данном случае B , дифференцируется, а (непунктирный) A остается постоянным.

В оставшейся части этой статьи, где это уместно, будет использоваться индекс Фейнмана.

Первые производные тождества [ править ]

Для скалярных полей , и векторных полей , мы имеем следующие производные тождества.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Распределительные свойства [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla {\cdot }\mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Правило произведения для умножения на скаляр [ править ]

У нас есть следующие обобщения правила произведения в исчислении одной переменной .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )^{\mathbf {T} }\mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(fg)&=f\,\nabla ^{2\!}g+2\,\nabla \!f\cdot \!\nabla g+g\,\nabla ^{2\!}f\end{aligned}}}$

Во второй формуле транспонированный градиент - это вектор-столбец размера n × 1, вектор- строка 1 × n , а их произведение - матрица размера n × n (или, точнее, диада ); Это также можно рассматривать как тензорное произведение двух векторов или ковектора и вектора .${\displaystyle (\nabla \psi )^{\mathbf {T} }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \otimes }$

Правило частного для деления на скаляр [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Цепное правило [ править ]

Пусть быть одной переменной функцией от скаляров до скаляров, параметризованная кривой, а функция из векторов скаляров. У нас есть следующие частные случаи правила цепочки нескольких переменных .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{n}(t))}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ F)&=\left(f'\circ F\right)\,\nabla F\\(F\circ \mathbf {r} )'&=(\nabla F\circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\\nabla (F\circ \mathbf {A} )&=(\nabla F\circ \mathbf {A} )\,\nabla \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Для координатной параметризации имеем:${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \Phi )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {A} \circ \Phi )\mathbf {J} _{\Phi }\right)}$

Здесь мы берем след произведения двух матриц размера n × n : градиента матрицы A и якобиана матрицы .${\displaystyle \Phi }$

Правило точечного продукта [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \,+\,\mathbf {B} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \end{aligned}}}$

где обозначает матрицу Якоби векторного поля , и в последнем выражении понимается, что операции не действуют в направлениях (которые некоторые авторы указали бы соответствующими скобками или транспонированием).${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=\nabla \!\mathbf {A} =(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \nabla }$

В качестве альтернативы, используя обозначение индекса Фейнмана,

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

См. Эти примечания. ^[4]

Как частный случай, когда A = B ,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Обобщение формулы скалярного произведения на римановы многообразия является определяющим свойством римановой связности , которая дифференцирует векторное поле для получения векторнозначной 1-формы .

Правило для нескольких продуктов [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla {\cdot }\,\mathbf {B} \,+\,\mathbf {B} \,{\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\nabla {\cdot }\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\\\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[5pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\mathrm {T} })\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Обратите внимание на разницу между

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} \ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\ =\ A_{i}\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$

и

${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \ =\ \left(A_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)B_{j}=\ A_{i}\left({\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\,.}$

Также отметим, что матрица антисимметрична.${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\mathrm {T} }}$

Вторая производная идентичность [ править ]

Дивергенция локона равна нулю [ править ]

Дивергенции от ротора любого векторного поля A всегда равен нулю:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в цепном комплексе Де Рама .

Дивергенция градиента лапласианская [ править ]

Лапласиан скалярного поля является дивергенция ее градиента:

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$

Результат - скалярная величина.

Дивергенция расхождения не определена [ править ]

Дивергенция векторного поля A - это скаляр, и вы не можете взять дивергенцию скалярной величины. Следовательно:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined}}}$

Завиток градиента равен нулю [ править ]

Локон от градиента в любом дважды непрерывно-дифференцируемого скалярного поля всегда является нулевым вектор :${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} }$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в цепном комплексе Де Рама .

Curl of curl [ править ]

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$

Здесь ∇ ² представляет собой вектор лапласиана операционной на векторное поле А .

Завиток расхождения не определен [ править ]

Дивергенция векторного поля А является скаляром, и вы не можете взять локон скалярной величины. Следовательно

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} )\ {\text{is undefined}}}$

Краткое изложение важных личностей [ править ]

Дифференциация [ править ]

Градиент [ править ]

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Дивергенция [ править ]

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

Curl [ править ]

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+\nabla \psi \times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$

Оператор Del с векторной точкой [ править ]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {A} ^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Вторые производные [ править ]

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ ( скалярный лапласиан )
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ( векторный лапласиан )
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$( Векторная идентичность Грина )

Цифра справа - мнемоника некоторых из этих идентичностей. Используемые сокращения:

• D: расхождение,
• C: локон,
• G: градиент,
• L: лапласиан,
• CC: завиток локона.

Каждая стрелка помечена результатом идентичности, в частности, результатом применения оператора в хвосте стрелки к оператору в ее голове. Синий круг в середине означает, что локон из локона существует, тогда как два других красных круга (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Третьи производные [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}(\nabla \psi )&=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)\\\nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )&=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)\\\nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )&=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)\end{aligned}}}$

Интеграция [ править ]

Ниже фигурный символ ∂ означает « границу » поверхности или твердого тела.

Интегралы поверхность – объем [ править ]

В следующих интегральных теоремах поверхность – объем V обозначает трехмерный объем с соответствующей двумерной границей S = ∂ V ( замкнутая поверхность ):

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV}$ ( теорема о расходимости )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ ( Первая личность Грина )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ ( Вторая личность Грина )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( интеграция по частям )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ \iint _{\partial V}\psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\nabla \psi \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( интеграция по частям )

Кривая – поверхностные интегралы [ править ]

В следующих интегральных теоремах кривая – поверхность S обозначает 2d открытую поверхность с соответствующей 1d границей C = ∂ S ( замкнутая кривая ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Теорема Стокса )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$

Интегрирование по замкнутой кривой по часовой стрелке является отрицательным для того же линейного интеграла в направлении против часовой стрелки (аналогично перестановке пределов в определенном интеграле ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}}{\boldsymbol {\ell }}.}$

См. Также [ править ]

• Тождества внешнего исчисления
• Внешняя производная
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Отношения векторной алгебры
• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]