Формулы о векторах в трехмерном евклидовом пространстве
Следующие важные тождества в векторной алгебре . Тождества, которые включают величину вектора или скалярное произведение (скалярное произведение) двух векторов A · B , применяются к векторам в любом измерении. Идентичности, использующие перекрестное произведение (векторное произведение) A × B , определены только в трех измерениях. [1] семимерное перекрестное произведение , но тождества не сохраняются в семи измерениях.) ‖ А ‖ {\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ |}
Величину вектора A можно выразить с помощью скалярного произведения:
‖ А ‖ 2 знак равно А ⋅ А {\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = \ mathbf {A \ cdot A}} В трехмерном евклидовом пространстве величина вектора определяется из трех его компонентов с помощью теоремы Пифагора :
‖ А ‖ 2 знак равно А 1 2 + А 2 2 + А 3 2 {\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ {3} ^ {2}} Неравенства [ править ] Неравенство Коши-Шварца : А ⋅ B ≤ ‖ А ‖ ‖ B ‖ {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} \ leq \ left \ | \ mathbf {A} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {B} \ right \ |} Неравенство треугольника : ‖ А + B ‖ ≤ ‖ А ‖ + ‖ B ‖ {\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|} Обратное неравенство треугольника : ‖ A − B ‖ ≥ | ‖ A ‖ − ‖ B ‖ | {\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}} Векторное произведение и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, скажем θ : [1] [2]
sin θ = ‖ A × B ‖ ‖ A ‖ ‖ B ‖ ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )} Чтобы удовлетворить правилу правой руки , для положительного θ вектор B направлен против часовой стрелки от A , а для отрицательного θ - по часовой стрелке.
cos θ = A ⋅ B ‖ A ‖ ‖ B ‖ ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )} Таким образом, тригонометрическое тождество Пифагора обеспечивает:
‖ A × B ‖ 2 + ( A ⋅ B ) 2 = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 {\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}} Если вектор А = ( х , А у , А г & alpha ; , & beta ; , Г с ортогональным набором х- , у - и z - оси, то:
cos α = A x A x 2 + A y 2 + A z 2 = A x ‖ A ‖ , {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,} и аналогично для углов β, γ. Следовательно:
A = ‖ A ‖ ( cos α i ^ + cos β j ^ + cos γ k ^ ) , {\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),} с единичными векторами в направлениях осей. i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}
Области и тома [ править ] Площадь Σ параллелограмма со сторонами A и B, содержащими угол θ, равна:
Σ = A B sin θ , {\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,} который будет распознан как величина векторного произведения векторов A и B, лежащих вдоль сторон параллелограмма. То есть:
Σ = ‖ A × B ‖ = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 − ( A ⋅ B ) 2 . {\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .} (Если A , B - двумерные векторы, это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками A , B. ) Квадрат этого выражения равен: [3]
Σ 2 = ( A ⋅ A ) ( B ⋅ B ) − ( A ⋅ B ) ( B ⋅ A ) = Γ ( A , B ) , {\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,} где Γ ( , Б ) является определитель Грама из A и B определены следующим образом:
Γ ( A , B ) = | A ⋅ A A ⋅ B B ⋅ A B ⋅ B | . {\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .} Аналогичным образом, квадрат объем V из параллелепипеда , натянутых на трех векторах , В , С задаются Грам определителем трех векторов: [3]
V 2 = Γ ( A , B , C ) = | A ⋅ A A ⋅ B A ⋅ C B ⋅ A B ⋅ B B ⋅ C C ⋅ A C ⋅ B C ⋅ C | , {\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,} Поскольку A , B, C - трехмерные векторы, это равно квадрату скалярного тройного произведения ниже. d e t [ A , B , C ] = | A , B , C | {\displaystyle \mathrm {det} [\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}
Этот процесс можно расширить до n -мерностей.
Сложение и умножение векторов [ править ] Коммутативности сложения: . A + B = B + A {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} } Коммутативности скалярного произведения: . A ⋅ B = B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} } Антикоммутативности перекрестного продукта: . A × B = − B × A {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} } Дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения: . c ( A + B ) = c A + c B {\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} } Дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения: . ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C {\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} } Дистрибутивность векторного произведения более того: . ( A + B ) × C = A × C + B × C {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} } Скалярное тройное произведение : . A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ ( C × A ) = C ⋅ ( A × B ) {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )} = | A B C | = | A x B x C x A y B y C y A z B z C z | {\displaystyle =|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |=\left|{\begin{array}{ccc}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{array}}\right|} Вектор тройное произведение : . A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} } Тождество Якоби : . A × ( B × C ) + C × ( A × B ) + B × ( C × A ) = 0 {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} } Бине-Коши идентичности : . ( A × B ) ⋅ ( C × D ) = ( A ⋅ C ) ( B ⋅ D ) − ( B ⋅ C ) ( A ⋅ D ) {\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)} Тождество Лагранжа : . | A × B | 2 = ( A ⋅ A ) ( B ⋅ B ) − ( A ⋅ B ) 2 {\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}} Векторное четырехкратное произведение : [4] [5] . ( A × B ) × ( C × D ) = | A B D | C − | A B C | D = | A C D | B − | B C D | A {\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} } В трехмерном пространстве вектор D может быть выражен в терминах базисных векторов { A , B , C } как: [6] D = D ⋅ ( B × C ) | A B C | A + D ⋅ ( C × A ) | A B C | B + D ⋅ ( A × B ) | A B C | C {\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} } См. Также [ править ] Векторное пространство Геометрическая алгебра Ссылки [ править ] ^ a b Лайл Фредерик Олбрайт (2008). «§2.5.1 Векторная алгебра» . Справочник Олбрайт по химической инженерии . CRC Press. п. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7. ^ Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Перепечатка Прентис-Холла, 1965, 2-е изд.). Courier Dover Publications. п. 24. ISBN 0-486-67002-3. ^ a b Ричард Курант, Фриц Джон (2000). «Площади параллелограммов и объемы параллелепипедов в высших измерениях» . Введение в исчисление и анализ, Том II (Перепечатка оригинального издания 1974 г.). Springer. С. 190–195. ISBN ^ Видван Сингх Сони (2009). «§1.10.2 Векторное четверное произведение» . Механика и теория относительности . PHI Learning Pvt. Ltd. С. 11–12. ISBN ^ Эта формула применяется к сферической тригонометрии Эдвином Бидвеллом Уилсоном, Джозией Уиллардом Гиббсом (1901). «§42 в Прямых и косых произведениях векторов ». Векторный анализ: учебное пособие для студентов-математиков . Скрибнер. стр. 77 и далее . ↑ Джозеф Джордж Гроб (1911). Векторный анализ: введение в векторные методы и их различные приложения в физике и математике (2-е изд.). Вайли. п. 56 . 
![{\ displaystyle \ mathrm {det} [\ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C}] = | \ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C} |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99867aa636111122d044b723f648eefcd973f424)
