В более компактной векторной записи идентичность Лагранжа выражается как: [3]
где a и b - n -мерные векторы, компоненты которых являются действительными числами. Расширение комплексных чисел требует интерпретации скалярного произведения как внутреннего продукта или эрмитовского скалярного произведения. В явном виде для комплексных чисел тождество Лагранжа можно записать в виде: [4]
Геометрически тождество утверждает, что квадрат объема параллелепипеда, натянутого на набор векторов, является определителем Грама векторов.
Тождество Лагранжа и внешняя алгебра
В терминах произведения клина личность Лагранжа может быть записана
Следовательно, это можно рассматривать как формулу, которая дает длину произведения клина двух векторов, которая является площадью параллелограмма, который они определяют, в терминах скалярных произведений двух векторов, как
Тождество Лагранжа и векторное исчисление
В трех измерениях тождество Лагранжа утверждает, что если a и b - векторы в ℝ 3 с длинами | а | и | b |, то тождество Лагранжа можно записать в терминах векторного произведения и скалярного произведения : [6] [7]
где θ - угол, образованный векторами a и b . Площадь параллелограмма со сторонами | а | и | б | а угол θ известен в элементарной геометрии как
поэтому левая часть тождества Лагранжа - это квадрат площади параллелограмма. Перекрестное произведение справа определяется выражением
который представляет собой вектор, компоненты которого равны по величине площадям проекций параллелограмма на плоскости yz , zx и xy соответственно.
Семь измерений
Для a и b как векторов в 7 тождество Лагранжа принимает тот же вид, что и в случае 3 [8]
Однако перекрестное произведение в 7 измерениях не обладает всеми свойствами перекрестного произведения в 3 измерениях. Например, направление a × b в 7-мерном измерении может быть таким же, как c × d, даже если c и d линейно независимы от a и b . Также семимерное кросс-произведение несовместимо с тождеством Якоби . [8]
Кватернионы
Кватернионов р определяется как сумма скалярного т и вектор V :
Произведение двух кватернионов p = t + v и q = s + w определяется формулой
Кватернионное сопряжение q определяется формулой
а квадрат нормы равен
Мультипликативность нормы в алгебре кватернионов обеспечивает для кватернионов p и q : [9]
Кватернионы p и q называются мнимыми, если их скалярная часть равна нулю; эквивалентно, если
Тождество Лагранжа - это всего лишь мультипликативность нормы мнимых кватернионов,
поскольку по определению
Доказательство алгебраической формы
Векторная форма следует из тождества Бине-Коши, если положить c i = a i и d i = b i . Вторая версия следующим образом , позволяя с I и d я обозначаю сложные конъюгаты из в I и б I , соответственно,
Вот и прямое доказательство. [10] Первый член слева выглядит следующим образом:
( 1 )
что означает, что произведение столбца a s и строки b s дает (сумму элементов) квадрат ab s , который можно разбить на диагональ и пару треугольников по обе стороны от диагонали .
Второй член в левой части тождества Лагранжа может быть расширен как:
( 2 )
Это означает, что симметричный квадрат можно разбить на его диагональ и пару равных треугольников по обе стороны от диагонали.
Чтобы развернуть суммирование в правой части тождества Лагранжа, сначала разверните квадрат в сумме:
Распределите сумму по правой части,
Теперь поменяйте местами индексы i и j второго члена в правой части и переставьте множители b третьего члена, получив:
( 3 )
Вернемся к левой части идентичности Лагранжа: в ней есть два члена, представленные в развернутой форме уравнениями (' 1 ' ) и (' 2 ' ) . Первый член в правой части уравнения (' 2 ' ) в конечном итоге сокращает первый член в правой части уравнения (' 1 ' ) , что дает
которое совпадает с уравнением (' 3 ' ) , поэтому личность Лагранжа действительно является идентичностью, QED .
Доказательство тождества Лагранжа для комплексных чисел
Нормированные алгебры с делением требуют, чтобы норма продукта была равна произведению норм. Это равенство демонстрирует личность Лагранжа. Идентичность произведения, используемая здесь в качестве отправной точки, является следствием равенства нормы произведения с произведением нормы для алгебр скаторов. Это предложение, первоначально представленное в контексте деформированной метрики Лоренца, основано на преобразовании, вытекающем из операции произведения и определения величины в гиперболической алгебре скаторов. [11] Тождество Лагранжа можно доказать множеством способов. [4] В большинстве выводов тождество используется в качестве отправной точки и тем или иным способом доказывается, что равенство истинно. В настоящем подходе тождество Лагранжа фактически выводится, не предполагая его априори . [ необходима цитата ]
Позволять быть комплексными числами, а черта сверху представляет комплексное сопряжение.
Фирменный стиль продукта сводится к комплексному тождеству Лагранжа, когда рассматриваются члены четвертого порядка в разложении ряда.
Чтобы доказать это, разверните продукт на левой стороне идентичности продукта с точки зрения серий до четвертого порядка. Для этого напомним, что продукты вида можно разложить по суммам как где означает термины третьего или более высокого порядка в .
Два фактора на правой стороне также записаны в виде серий.
Произведение этого выражения до четвертого порядка равно
Замена этих двух результатов в идентичности продукта дает
Произведение двух серий конъюгатов может быть выражено как серия, включающая произведение конъюгированных членов. Продукт сопряженного ряда, таким образом
Члены двух последних серий на LHS сгруппированы как для получения сложной идентичности Лагранжа:
По модулям
Идентичность Лагранжа для комплексных чисел была получена из простой идентичности продукта. Очевидно, что вывод для действительных чисел еще более сжат. Поскольку неравенство Коши – Шварца является частным случаем тождества Лагранжа [4], это доказательство является еще одним способом получения неравенства CS. Члены высшего порядка в серии создают новые идентичности.
^Роберт Э. Грин ; Стивен Кранц (2006). «Упражнение 16». Теория функций одного комплексного переменного (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 22. ISBN 0-8218-3962-4.
^Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений . Vieweg + Teubner Verlag. п. 26. ISBN 3-519-00437-2.
^ а б вДж. Майкл Стил (2004). «Упражнение 4.4. Тождество Лагранжа для комплексных чисел». Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. С. 68–69. ISBN 0-521-54677-X.
^Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 22, упражнение 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.; Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию сложных функций . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 27 , упражнение 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..
^Говард Антон; Крис Роррес (2010). «Отношения между скалярными и перекрестными произведениями». Элементарная линейная алгебра: прикладная версия (10-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 162. ISBN. 0-470-43205-5.
^Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 94. ISBN 0-521-00551-5.
^ а бДверь Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00551-5.См., В частности, § 7.4 Перекрестные произведения на 7 , с. 96.
^Джек Б. Кейперс (2002). «§5.6 Норма». Кватернионы и последовательности вращения: учебник по орбитам . Издательство Принстонского университета. п. 111. ISBN 0-691-10298-8.
^ См., Например, Фрэнк Джонс, Университет Райса , стр. 4 в главе 7 книги, которую еще предстоит опубликовать .
^ М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация для композиции релятивистских скоростей , Оптика и фотоника 2011, т. 8121 г. Природа света: что такое фотоны? IV, стр. 812108–1–11. SPIE, 2011.
Внешние ссылки
Вайсштейн, Эрик В. «Лагранж в личности» . MathWorld .