В алгебре , то тождество Бине-Коши , названный в честь Жака Филиппа Мари Бине и Огюстен Луи Коши , утверждает , что [1]
для любого выбора действительных или комплексных чисел (или, в более общем смысле, элементов коммутативного кольца ). Положив a i = c i и b j = d j , это дает тождество Лагранжа , которое является более сильной версией неравенства Коши – Шварца для евклидова пространства. .
Когда n = 3 , первый и второй члены в правой части становятся квадратами величин скалярных и перекрестных произведений соответственно; в n измерениях они становятся величинами точечных и клиновидных произведений . Мы можем написать это
где a , b , c и d - векторы. Его также можно записать как формулу, дающую скалярное произведение двух произведений клина, как
который можно записать как
в случае n = 3 .
В частном случае a = c и b = d формула дает
Когда и a, и b являются единичными векторами, мы получаем обычное соотношение
где φ - угол между векторами.
Связь между символами Леви – Севиты и обобщенной дельтой Кронекера такова:
В форму тождества Бине – Коши можно записать как
Расширяя последний срок,
где второй и четвертый члены одинаковы и искусственно добавлены для получения следующих сумм:
Это завершает доказательство после выделения терминов, индексированных i .
Общая форма, также известная как формула Коши – Бине , гласит следующее: Предположим, что A - матрица размера m × n, а B - матрица размера n × m . Если S является подмножеством множества {1, ..., п } с т элементами, мы пишем A S для м × м матрицы, столбцы которой являются теми столбцами A , которые имеют индексы от S . Аналогичным образом , мы будем писать B S для м × м матрицы, строки являются теми строками B , которые имеют индексы от S . Тогда определитель из матрицы продукта из A и B удовлетворяет идентичность
где сумма распространяется на все возможные подмножества S из {1, ..., n } с m элементами.
Мы получаем исходную идентичность как частный случай, задав