В математике , то четверной продукт представляет собой произведение четырех векторов в трехмерном евклидовом пространстве . Название «четырехкратное произведение» используется для двух разных произведений [1], скалярного скалярного четверного произведения и векторного четырехкратного произведения или векторного произведения четырех векторов .
Скалярная четверка продукт определяется как скалярное произведение двух поперечных продуктов :
где a, b, c, d - векторы в трехмерном евклидовом пространстве. [2] Его можно оценить с помощью тождества: [2]
или используя определитель :
Вектор четверка продукт определяется как векторное произведение двух поперечных продуктов:
где a, b, c, d - векторы в трехмерном евклидовом пространстве. [3] Его можно оценить с помощью тождества: [4]
Это тождество также можно записать с использованием тензорной записи и соглашения о суммировании Эйнштейна следующим образом:
используя обозначение для тройного произведения :
где две последние формы являются детерминантами с обозначающие единичные векторы вдоль трех взаимно ортогональных направлений.
Эквивалентные формы могут быть получены с использованием тождества: [5]
Счетверенные произведения полезны для вывода различных формул в сферической и плоской геометрии. [3] Например, если четыре точки выбраны на единичной сфере, A, B, C, D , и единичные векторы, проведенные из центра сферы к четырем точкам, a, b, c, d соответственно, тождество :
в сочетании с соотношением для величины перекрестного произведения:
и скалярное произведение:
где a = b = 1 для единичной сферы, приводит к тождеству углов, приписываемых Гауссу:
где x - угол между a × b и c × d , или, что то же самое, между плоскостями, определяемыми этими векторами.
Новаторская работа Джозайи Уилларда Гиббса по векторному исчислению дает несколько других примеров. [3]