Тройной продукт

В геометрии и алгебры , то тройное произведение представляет собой произведение трех 3- мерных векторов, обычно евклидовых векторов . Название «тройное произведение» используется для двух различных произведений: скалярного тройного скалярного произведения и, реже, векторного тройного произведения .

Скалярное тройное произведение [ править ]

Три вектора, определяющие параллелепипед

Смешанное произведение (также называемый смешанный продукт , коробочный продукт или тройным скалярное произведение ) определяется как скалярное произведение одного из векторов с поперечным продуктом двух других.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Геометрически скалярное тройное произведение

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c})}$

это (подпись) объем от параллелепипеда , определяемого три векторов данных. Здесь круглые скобки могут быть опущены, не вызывая двусмысленности, поскольку скалярное произведение не может быть сначала оценено. Если бы это было так, это оставило бы перекрестное произведение скаляра и вектора, которое не определено.

Свойства [ править ]

• Скалярное тройное произведение не изменяется при круговом сдвиге трех его операндов ( a , b , c ):

  ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {c} \ times \ mathbf {a}) = \ mathbf { c} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b})}$

• При смене позиций операторов без изменения порядка операндов тройное произведение остается неизменным. Это следует из предыдущего свойства и коммутативности скалярного произведения.

  ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ cdot \ mathbf {c}}$

• Замена любых двух из трех операндов сводит на нет тройное произведение. Это следует из свойства кругового сдвига и антикоммутативности векторного произведения.

  ${\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}) \\ = - & \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {c} \ раз \ mathbf {b}) \\ = - & \ mathbf {b} \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {c}) \\ = - & \ mathbf {c} \ cdot (\ mathbf {b } \ times \ mathbf {a}) \ end {выровнены}}}$

• Смешанное произведение также может быть понято как детерминант из 3 × 3 матрицы , которая имеет три вектора либо в виде ее строк или столбцов (матрица имеет такой же определитель как ее транспонированная ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}={\rm {det}}\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \right).}$

• Если скалярное тройное произведение равно нулю, то три вектора , б , и с являются в одной плоскости , так как параллелепипед определяется ими будет плоской и не имеют никакого объема.
• Если любые два вектора в тройном скалярном произведении равны, то его значение равно нулю:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {b} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Более того,

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• Простой продукт из двух тройных продуктов (или площадей тройного продукта), может быть расширен с точкой зрения продуктов точечными: ^[1]

  ${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det \left[{\begin{pmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {d} &\mathbf {e} &\mathbf {f} \end{pmatrix}}\right]=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$

  Это повторяет в векторной записи, что произведение определителей двух матриц 3 × 3 равно определителю их матричного произведения. Как частный случай, квадрат тройного произведения является определителем Грама .

Скалярный или псевдоскалярный [ править ]

Хотя скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, это объем со знаком, знак которого зависит от ориентации кадра или четности перестановки векторов. Это означает, что продукт инвертируется, если ориентация меняется на противоположную, например, преобразованием четности , и поэтому более правильно описывается как псевдоскаляр, если ориентация может измениться.

Это также относится к ручке перекрестного произведения ; перекрестное произведение преобразуется как псевдовектор при преобразованиях четности и поэтому правильно описывается как псевдовектор. Скалярное произведение двух векторов - это скаляр, но скалярное произведение псевдоскаляра и вектора - это псевдоскаляр, поэтому скалярное тройное произведение должно быть псевдоскалярным.

Если T - оператор вращения , то

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

но если T - неправильное вращение , то

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Как внешний продукт [ править ]

Во внешней алгебре и геометрической алгебре внешнее произведение двух векторов является бивектором , а внешнее произведение трех векторов - тривектором . Бивектор - это ориентированный плоский элемент, а тривектор - это ориентированный элемент объема, точно так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Для векторов a , b и c произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

является тривектором, величина которого равна тройному скалярному произведению, и является двойственным по Ходжу скалярному тройному произведению. Поскольку внешний продукт является ассоциативным, скобки не нужны, поскольку не имеет значения, какой из a ∧ b или b ∧ c вычисляется первым, хотя порядок векторов в продукте имеет значение. Геометрически тривектор a ∧ b ∧ c соответствует параллелепипеду, натянутому на a , b и c , с бивекторами a ∧ b , b ∧ c и a∧ с сопоставлением параллелограмма граней параллелепипеда.

Как трилинейный функционал [ править ]

Тройное произведение идентично форме объема евклидова 3-мерного пространства, примененного к векторам через внутреннее произведение . Это также может быть выражено как сжатие векторов с тензором ранга 3, эквивалентным форме (или псевдотензором, эквивалентным псевдоформе объема); см. ниже .

Векторное тройное произведение [ править ]

Вектор тройное произведение определяется как векторное произведение одного вектора с поперечным произведением двух других. Имеет место следующая связь:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Это известно как тройное произведение , или формула Лагранжа , ^{[2] [3],} хотя последнее название также используется для нескольких других формул . Его правую часть можно запомнить, используя мнемонику «ACB - ABC», если помнить, какие векторы соединены точками. Доказательство приводится ниже . В некоторых учебниках идентичность написана так , что получается более знакомая мнемоника «BAC - CAB», например, «задняя часть кабины».${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Поскольку перекрестное произведение антикоммутативно, эту формулу также можно записать (с точностью до перестановки букв) как:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Из формулы Лагранжа следует, что векторное тройное произведение удовлетворяет:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

что является тождеством Якоби для перекрестного произведения. Следующая полезная формула:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Эти формулы очень полезны для упрощения векторных вычислений в физике . Связанная с градиентами идентичность, полезная в векторном исчислении, - это формула Лагранжа идентичности векторного векторного произведения: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {f} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {f} }$

Это также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама .${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

Доказательство [ править ]

Компонент определяется по формуле:${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

Аналогичным образом , и компоненты задаются следующим образом:${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Комбинируя эти три компонента, мы получаем:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Использование геометрической алгебры [ править ]

Если используется геометрическая алгебра, произведение векторов b × c выражается как их внешнее произведение b ∧ c , бивектор . Второе перекрестное произведение не может быть выражено как внешнее произведение, иначе получится тройное скалярное произведение. Вместо этого можно использовать левое сокращение ^[6] , так что формула принимает вид ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

Доказательство следует из свойств сжатия. ^[6] Результат - тот же вектор, что и вычисленный с использованием a × ( b × c ).

Интерпретации [ править ]

Тензорное исчисление [ править ]

В тензорной записи тройное произведение выражается с помощью символа Леви-Чивиты : ^[8]

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$

и

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon _{k\ell m}b^{\ell }c^{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}a^{j}b^{\ell }c^{m}}$,

ссылаясь на th компонент результирующего вектора. Это может быть упрощена путем выполнения сжатия на символах Леви-Чивита , где если и если . Мы можем вычислить эту идентичность, признав, что индекс будет суммирован, оставив только и . В первом сроке мы фиксируем и так . Точно так же во втором члене мы фиксируем и так .${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=-\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{m\ell k}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j}}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i=l}$${\displaystyle j=m}$${\displaystyle i=m}$${\displaystyle l=j}$

Возвращаясь к тройному поперечному произведению,

${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{\ell j})a^{j}b^{\ell }c^{m}=a^{j}b^{i}c^{j}-a^{j}b^{j}c^{i}=\mathbf {b} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} _{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Векторное исчисление [ править ]

Рассмотрим поток интеграл от векторного поля по параметрически определенной поверхности : . Единичный вектор нормали к поверхности равен , поэтому подынтегральное выражение является скалярным тройным произведением.${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \mathbf {\cdot } \mathbf {N} \,dS}$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Девушка, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ . Книжная компания МакГроу-Хилл, Inc., стр. 23–25.

Внешние ссылки [ править ]

• Видео Khan Academy о доказательстве расширения тройного продукта