Правило тройного продукта

Тройное правило продукта , известное по- разному , как правило циклической цепи , циклическая связь , циклическое правило или правила цепи Эйлера , представляет собой формула , которая относится частные производные три взаимозависимых переменными. Правило находит применение в термодинамике , где часто три переменные могут быть связаны функцией вида f ( x , y , z ) = 0, поэтому каждая переменная задается как неявная функция двух других переменных. Например, уравнение состояния для жидкости относится температура, давление и объем таким образом. Правило тройного произведения для таких взаимосвязанных переменных x , y и z исходит из использования отношения взаимности к результату теоремы о неявной функции и дается формулой

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1.}$

Примечание. В каждом факторе переменная в числителе считается неявной функцией двух других. В каждом факторе индексируемая переменная остается постоянной.

Здесь нижние индексы указывают, какие переменные остаются постоянными при взятии частной производной. То есть, чтобы вычислить явно частную производную х по отношению к у с г поддерживается постоянным, можно было бы записать х как функцию от у и г и взять частную производную этой функции по отношению к у только.

Преимущество правила тройного произведения состоит в том, что, переставляя члены, можно получить ряд тождеств замещения, которые позволяют заменять частные производные, которые трудно аналитически оценить, экспериментально измерить или интегрировать с частными частных производных, которые легче работать. с. Например,

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}}}}$

В литературе представлены различные другие формы правила; их можно получить перестановкой переменных { x , y , z }.

Вывод [ править ]

Далее следует неформальный вывод. Предположим, что f ( x , y , z ) = 0. Запишите z как функцию от x и y . Таким образом, полный дифференциал dz равен

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy}$

Предположим, что мы движемся по кривой с dz = 0, где кривая параметризована x . Таким образом, y можно записать через x , поэтому на этой кривой

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}dx}$

Следовательно, уравнение для dz = 0 принимает вид

${\displaystyle 0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}\,dx}$

Поскольку это должно быть верно для всех dx , перестановка членов дает

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}}$

Деление на производные в правой части дает правило тройного произведения

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1}$

Обратите внимание, что это доказательство делает много неявных предположений относительно существования частных производных, существования точного дифференциала dz , возможности построить кривую в некоторой окрестности с dz  = 0 и ненулевого значения частных производных и их обратных величин. Формальное доказательство, основанное на математическом анализе , устранило бы эту потенциальную двусмысленность.

Альтернативное происхождение [ править ]

Предположим, что функция f (x, y, z) = 0 , где x , y и z являются функциями друг друга. Напишите полные дифференциалы переменных

${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)_{y}dz}$

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}dz}$

Заменить dy на dx

${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)_{z}dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)_{y}dz}$

Используя цепное правило, можно показать, что коэффициент при dx в правой части равен единице, поэтому коэффициент при dz должен быть равен нулю.

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)_{y}=0}$

Вычитание второго члена и умножение его на обратное дает правило тройного произведения

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}=-1.}$

Приложения [ править ]

Геометрическую реализацию правила тройного произведения можно найти в его тесной связи со скоростью бегущей волны.

${\displaystyle \phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$

показаны справа в момент времени t (сплошная синяя линия) и через некоторое время t + Δt (пунктирная линия ). Волна сохраняет свою форму по мере распространения, так что точка в позиции x в момент времени t будет соответствовать точке в позиции x + Δx в момент времени t + Δt ,

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).}$

Это уравнение может быть выполнено только для всех x и t, если kΔx-ωΔt = 0 , что приводит к формуле для фазовой скорости

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.}$

Чтобы выяснить связь с правилом тройного произведения, рассмотрим точку p ₁ в момент времени t и соответствующую ей точку (с той же высотой) p ₁ в момент времени t + Δt . Определите p ₂ как точку в момент времени t, чья координата x совпадает с координатой p ₁ , и определите p ₂ как соответствующую точку p _2, как показано на рисунке справа. Расстояние Δx между p ₁ и p ̄ ₁ такое же, как расстояние между p _2.и p̄ ₂ (зеленые линии), и разделив это расстояние на Δt, получим скорость волны.

Чтобы вычислить Δx , рассмотрим две частные производные, вычисленные при p ₂ ,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)_{x}\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{t}={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.}$

Разделив эти две частные производные и используя определение наклона (подъем, деленный на пробег), мы получаем желаемую формулу для

${\displaystyle \Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)_{x}\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{t}}},}$

где отрицательный знак объясняет, что p ₁ лежит позади p ₂ относительно движения волны. Таким образом, скорость волны определяется выражением

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)_{x}}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{t}}}.}$

Для бесконечно малого & Delta ; t , и мы возвращаем тройное правило продукта${\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)_{\phi }}$

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)_{x}}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{t}}}.}$

См. Также [ править ]

• Точный дифференциал (есть другой вывод правила тройного произведения)
• Полная производная
• Тройное произведение векторов и скаляров.

Ссылки [ править ]

• Эллиотт-младший; Лира, Коннектикут (1999). Введение в термодинамику химической инженерии (1-е изд.). Прентис Холл. п. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Прентис Холл. п. 392. ISBN. 0-13-779208-5.