В математике , то Якоби тройное произведение представляет собой математическое тождество:
для комплексных чисел x и y , с | х | <1 и y ≠ 0.
Он был введен Якоби ( 1829 г. ) в его работе Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum .
Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда для аффинной корневой системы типа A 1 и формулой знаменателя Вейля для соответствующей аффинной алгебры Каца – Муди .
Характеристики
В основе доказательства Якоби лежит теорема Эйлера о пятиугольных числах , которая сама по себе является частным случаем тождества тройного произведения Якоби.
Позволять а также . Тогда у нас есть
Тройное произведение Якоби также позволяет записать тета-функцию Якоби в виде бесконечного произведения следующим образом:
Позволять а также
Тогда тета-функция Якоби
можно записать в виде
Используя идентичность тройного продукта Якоби, мы можем записать тета-функцию как произведение
Существует множество различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Он принимает краткую форму, когда выражается в терминах символов q- Почхаммера :
где - бесконечный q- символ Почхаммера.
Он имеет особенно элегантную форму, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана . Для это можно записать как
Доказательство
Позволять тогда . Поскольку f x мероморфен для | y | > 0 в нем есть серия Лорана что удовлетворяет чтобы и поэтому
Оценка более технический. Один из способов - установить y = 1 и показать числитель и знаменательявляются модульными по весу 1/2 под, поскольку они также 1-периодичны и ограничены в верхней полуплоскости, фактор должен быть постоянным, чтобы .
Простое доказательство дано Дж. Эндрюсом на основе двух тождеств Эйлера. [1] Для аналитического случая см. Апостол, первое издание которого было опубликовано в 1976 году. Также см. Ссылки ниже для доказательства, мотивированного физикой, из-за Борчердса [ необходима ссылка ] .
Рекомендации
- См. Главу 14, теорема 14.6 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
- Питер Дж. Кэмерон, Комбинаторика: темы, методы, алгоритмы , (1994) Cambridge University Press , ISBN 0-521-45761-0
- Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press 2012 г.
- Карлитц , Л. (1962), Заметка о тета-формуле Якоби , Американское математическое общество.
- Райт, Е. М. (1965), «перечислительное Доказательство тождества Якоби», журнал Лондонского математического общества , Лондонское математическое общество : 55-57, DOI : 10.1112 / jlms / s1-40.1.55
- ^ Эндрюс, Джордж Э. (1965-02-01). «Простое доказательство тождества тройного произведения Якоби» . Труды Американского математического общества . 16 (2): 333. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1965-0171725-X . ISSN 0002-9939 .