В математике , то характер формула Вейля в теории представлений описывают характеры неприводимых представлений компактных групп Ли в терминах их старших весов . [1] Это было доказано Германом Вейлем ( 1925 , 1926a , 1926b ). Существует близкая формула для определения характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли. [2] В подходе Вейля к теории представлений связных компактных групп Ли, доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий интегральный элемент на самом деле возникает как старший вес некоторого неприводимого представления. [3] Важными следствиями формулы характера являются формула размерности Вейля и формула множественности Костанта .
По определению, персонаж представительства из G представляет собой след из, как функция элемента группы . Все неприводимые представления в этом случае конечномерны (это часть теоремы Питера – Вейля ); так что понятие следа является обычным из линейной алгебры. Знание персонажа из дает много информации о сам.
Формула Вейля - это замкнутая формула для характера, в терминах других объектов, построенных из G и ее алгебры Ли .
Постановка формулы характера Вейля
Формула характера может быть выражена в терминах представлений комплексных полупростых алгебр Ли или в терминах (существенно эквивалентной) теории представлений компактных групп Ли.
Комплексные полупростые алгебры Ли
Позволять неприводимое конечномерное представление комплексной полупростой алгебры Ли . Предполагатьявляется подалгеброй Картана в. Характер тогда функция определяется
Ценность персонажа при это размер . По элементарным соображениям персонаж может быть вычислен как
- ,
где сумма колеблется по всем весам из и где это кратность . (Предыдущее выражение иногда используется как определение символа.)
Формула характера гласит [4], что также может быть вычислено как
где
- - группа Вейля ;
- это набор из положительных корней в корневой системе ;
- - полусумма положительных корней, часто называемая вектором Вейля ;
- - старший вес неприводимого представления;
- является детерминантом действия на подалгебре Картана . Это равно, где - длина элемента группы Вейля , определяемая как минимальное количество отражений относительно простых корней таких, что равняется произведению этих отражений.
Обсуждение
Используя формулу знаменателя Вейля (описанную ниже), формулу символа можно переписать как
- ,
или, что то же самое,
Персонаж сам по себе представляет собой большую сумму экспонент. В этом последнем выражении мы затем умножаем символ на переменную сумму экспонент, что, по-видимому, приведет к еще большей сумме экспонент. Удивительная часть формулы символов заключается в том, что при вычислении этого произведения на самом деле остается лишь небольшое количество членов. Гораздо больше терминов встречается хотя бы один раз в произведении символа и знаменателя Вейля, но большинство этих терминов сокращаются до нуля. [5] Единственные термины, которые выживают, - это термины, встречающиеся только один раз, а именно (который получается путем взятия наибольшего веса из и наибольший вес из знаменателя Вейля) и вещи в орбите группы Вейля .
Компактные группы Ли
Позволять - компактная связная группа Ли и пусть - максимальный тор в . Позволять быть неприводимым представлением . Затем мы определяем характер быть функцией
Легко увидеть, что персонаж является функцией класса на а теорема Питера – Вейля утверждает, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства интегрируемых с квадратом функций классов на. [6]
С является функцией класса, она определяется ее ограничением на . Теперь для в алгебре Ли из , у нас есть
- ,
где является ассоциированным представлением алгебры Ли из . Таким образом, функция просто символ связанного представления из , как описано в предыдущем подразделе. Ограничение характера к тогда задается той же формулой, что и в случае алгебры Ли:
Доказательство Вейлем формулы характера в условиях компактной группы полностью отличается от алгебраического доказательства формулы характера в случае полупростых алгебр Ли. [7] В условиях компактной группы обычно используются «действительные корни» и «реальные веса», которые различаются в несколько раз.от корней и весов, используемых здесь. Таким образом, формула в компактной группе имеет множители: в экспоненте повсюду.
Случай SU (2)
В случае группы SU (2) рассмотрим неприводимое представление размерности. Если мы возьмемчтобы быть диагональной подгруппой SU (2), формула характера в этом случае читается как [8]
(И числитель, и знаменатель в формуле символа имеют два члена.) Поучительно проверить эту формулу непосредственно в этом случае, чтобы мы могли наблюдать феномен отмены, неявный в формуле символа Вейля.
Поскольку представления известны очень явно, характер представления можно записать как
Между тем знаменатель Вейля - это просто функция . Умножение символа на знаменатель Вейля дает
Теперь мы можем легко проверить, что большинство членов сокращаются между двумя членами в правой части выше, оставляя нам только
чтобы
Персонаж в данном случае представляет собой геометрическую серию с и этот предыдущий аргумент представляет собой небольшой вариант стандартного вывода формулы для суммы конечного геометрического ряда.
Формула знаменателя Вейля
В частном случае тривиального одномерного представления символ равен 1, поэтому формула характера Вейля становится формулой знаменателя Вейля : [9]
Для специальных унитарных групп это эквивалентно выражению
для определителя Вандермонда . [10]
Формула размерности Вейля
Оценивая персонажа на , Формула характера Вейля дает формулу размерности Вейля
для размерности конечномерного представления с наибольшим весом . (Как обычно, ρ представляет собой половину суммы положительных корней, а произведения пробегают положительные корни α.) Специализация не является полностью тривиальной, поскольку числитель и знаменатель формулы характера Вейля обращаются в нуль до высокого порядка в единичном элементе, поэтому необходимо взять предел следа элемента, стремящегося к идентичности, используя версию правила Л'Оспиталя . [11] Например, в случае SU (2), описанном выше, мы можем восстановить размерность представления, используя правило Л'Оспиталя, чтобы оценить предел как стремится к нулю .
Мы можем рассмотреть в качестве примера комплексную полупростую алгебру Ли sl (3, C ) или, что то же самое, компактную группу SU (3). В этом случае представления помечаются паройнеотрицательных целых чисел. В этом случае имеется три положительных корня, и нетрудно убедиться, что формула размерности принимает явный вид [12]
Дело является стандартным представлением, и действительно, в этом случае формула измерения дает значение 3.
Формула кратности Костанта
Формула символа Вейля дает характер каждого представления как частное, где числитель и знаменатель являются конечной линейной комбинацией экспонент. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не особенно очевидно, как можно явно вычислить это частное как конечную сумму экспонент. Уже в случае SU (2), описанном выше, не сразу очевидно, как перейти от формулы характера Вейля, которая дает символ как вернуться к формуле для символа как суммы экспонент:
В этом случае, пожалуй, не так уж сложно распознать выражение как сумму конечного геометрического ряда, но в целом нам нужна более систематическая процедура.
В общем, процесс деления может быть выполнен путем вычисления формальной обратной величины знаменателя Вейля и последующего умножения числителя в формуле символа Вейля на эту формальную обратную величину. [13] Результат дает характер как конечную сумму экспонент. Коэффициенты этого разложения - это размерности весовых пространств, то есть кратности весов. Таким образом, мы получаем из формулы характера Вейля формулу для кратностей весов, известную как формула кратности Костанта . Альтернативная формула, которая в некоторых случаях является более простой с вычислительной точки зрения, приводится в следующем разделе.
Формула Фрейденталя
Формула Ганса Фройденталя - это рекурсивная формула для кратностей весов, которая дает тот же ответ, что и формула множественности Костанта, но иногда ее легче использовать для вычислений, поскольку может быть гораздо меньше членов для суммирования. Формула основана на использовании элемента Казимира, и его вывод не зависит от формулы символа. В нем говорится [14]
где
- Λ - старший вес,
- λ - какой-то другой вес,
- m Λ (λ) - кратность веса λ в неприводимом представлении V Λ
- ρ - вектор Вейля
- Первая сумма берется по всем положительным корням α.
Формула характера Вейля – Каца
Формула характера Вейля также верна для интегрируемых представлений алгебр Каца – Муди со старшим весом , когда она известна как формула характера Вейля – Каца . Аналогично существует тождество знаменателя для алгебр Каца – Муди , которое в случае аффинных алгебр Ли эквивалентно тождествам Макдональда . В простейшем случае аффинной алгебры Ли типа A 1 это тождество тройного произведения Якоби
Формула характера также может быть расширена до интегрируемых представлений со старшим весом обобщенных алгебр Каца – Муди , когда характер задается формулой
Здесь S - поправочный член, заданный в терминах мнимых простых корней формулой
где сумма пробегает все конечные подмножества I мнимых простых корней, которые попарно ортогональны и ортогональны старшему весу λ, и | I | -мощность I и Σ I является суммой элементов I .
Формула знаменателя для алгебры Ли монстров - это формула произведения
для эллиптической модулярной функции j .
Петерсон привел формулу рекурсии для кратностей mult (β) корней β симметризуемой (обобщенной) алгебры Каца – Муди, которая эквивалентна формуле знаменателя Вейля – Каца, но более проста в использовании для вычислений:
где сумма ведется по положительным корням γ, δ и
Формула характера Хариш-Чандры
Хариш-Чандра показал, что формула характера Вейля допускает обобщение на представления действительной редуктивной группы . Предполагатьявляется неприводимым допустимым представлением вещественной редуктивной группы G с инфинитезимальным характером . Позволятьбыть Хариш-Чандры характер из; он дается интегрированием по аналитической функции на регулярном множестве. Если H - подгруппа Картана группы G и H '- множество регулярных элементов в H, то
Здесь
- W - комплексная группа Вейля относительно
- стабилизатор в W
а остальные обозначения такие же, как указано выше.
Коэффициенты до сих пор не совсем понятны. Результаты по этим коэффициентам можно найти, среди прочего, в работах Херба , Адамса, Шмида и Шмид-Вилонена.
Смотрите также
- Теория характера
- Алгебраический характер
- Формула характера Демазура
- Формула интегрирования Вейля
Рекомендации
- ^ Зал 2015 Раздел 12.4.
- ^ Зал 2015 Раздел 10.4.
- ^ Зал 2015 Раздел 12.5.
- ^ Холл 2015 Теорема 10.14
- ^ Зал 2015 Раздел 10.4.
- ^ Зал 2015 Раздел 12.3
- ^ См. Hall 2015 Раздел 10.8 в настройке алгебры Ли и Раздел 12.4 в настройке компактной группы.
- ^ Холл 2015 Пример 12.23
- ^ Холл 2015 Лемма 10.28.
- ↑ Hall 2015 Упражнение 9 в главе 10.
- ^ Зал 2015 Раздел 10.5.
- ^ Холл 2015 Пример 10.23
- ^ Зал 2015 Раздел 10.6
- ^ Хамфрис 1972 Раздел 22.3
- Фултон, Уильям и Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387974954 . OCLC 22861245. [1]
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
- Бесконечномерные алгебры Ли , В. Г. Кац, ISBN 0-521-37215-1
- Дункан Дж. Мелвилл (2001) [1994], "Формула характера Вейля – Каца" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 23 : 271–309, doi : 10.1007 / BF01506287 , ISSN 0025-587
- Вейль, Герман (1926a), "Теорье дер Darstellung kontinuierlicher HALB-einfacher Gruppen Durch Lineare Transformationen II.", Mathematische Zeitschrift , Спрингер Берлин / Гейдельберг, 24 : 328-376, DOI : 10.1007 / BF01216788 , ISSN 0025-5874
- Вейль, Герман (1926Ь), "Теорье дер Darstellung kontinuierlicher HALB-einfacher Gruppen Durch Lineare Transformationen III.", Mathematische Zeitschrift , Спрингер Берлин / Гейдельберг, 24 : 377-395, DOI : 10.1007 / BF01216789 , ISSN 0025-5874
- ^ Фултон, Уильям, 1939- (1991). Теория представлений: первый курс . Харрис, Джо, 1951-. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. OCLC 22861245 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )