Статистическая сумма Костанта

В теории представлений , раздел математики, статистическая сумма Костанта , введенная Бертрамом Костантом  ( 1958 , 1959 ), корневой системы - это количество способов, которыми можно представить вектор ( вес ) как неотрицательную целочисленную линейную комбинацию то положительные корни . Костанта использовал его переписать формулу Вейля символов в качестве формулы (The Костант кратность формула ) для кратности в виде массы неприводимого представления о наличии полупростой алгебры Ли${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle \ Delta ^ {+} \ subset \ Delta}$. Альтернативной формулой, которая в некоторых случаях является более эффективной с вычислительной точки зрения, является формула Фрейденталя .

Статистическая сумма Костанта также может быть определена для алгебр Каца – Муди и имеет аналогичные свойства.

Пример [ править ]

Статистическая сумма Костанта для корневой системы A2

Рассмотрим корневые системы А2, с положительными корнями , и . Если элемент может быть выражен в виде целого неотрицательного линейной комбинации , и , затем , так как он также может быть выражено как неотрицательное целое число линейной комбинации и :${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle \ alpha _ {3}: = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$${\ displaystyle \ alpha _ {3}}$${\ Displaystyle \ альфа _ {3} = \ альфа _ {1} + \ альфа _ {2}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$

${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$

с и быть неотрицательные целые числа. Это выражение дает один способ записать в виде целой неотрицательной комбинации положительных корней; другие выражения можно получить, заменив их на некоторое количество раз. Мы можем сделать замену раз, где . Таким образом, если обозначить статистическую сумму Костанта через , мы получим формулу${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq k\leq \mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2})=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$.

Этот результат графически показан на изображении справа. Если элемент не имеет формы , то .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =n_{1}\alpha _{1}+n_{2}\alpha _{2}}$${\displaystyle p(\mu )=0}$

Связь с формулой персонажа Вейля [ править ]

Обращение знаменателя Вейля [ править ]

Для каждого корня и каждого мы можем формально применить формулу суммы геометрического ряда, чтобы получить${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha (H)}}}=1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+\cdots }$

где нас не беспокоит сходимость, т. е. равенство понимается на уровне формальных степенных рядов. Используя формулу знаменателя Вейля

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)})},}$

получаем формальное выражение для обратной величины знаменателя Вейля: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}$

Здесь первое равенство - это произведение на положительные корни формулы геометрического ряда, а второе равенство - это подсчет всех способов, которыми данная экспонента может встречаться в произведении.${\displaystyle e^{\mu (H)}}$

Переписываем формулу символа [ править ]

Этот аргумент показывает, что мы можем преобразовать формулу характера Вейля для неприводимого представления со старшим весом :${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

от частного к продукту:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

Формула кратности [ править ]

Используя предыдущую переписывание формулы символа, относительно легко записать символ как сумму экспонент. Коэффициенты этих экспонент являются кратностями соответствующих весов. Таким образом, мы получаем формулу для кратности данного веса в неприводимом представлении со старшим весом : ^[2]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

Этот результат представляет собой формулу кратности Костанта .

Доминирующий термин в этой формуле - термин ; вклад этого члена равен , что является просто кратностью в модуле Верма с наибольшим весом . Если находится достаточно глубоко внутри основной камеры Вейля и достаточно близко к , может случиться так, что все остальные члены в формуле равны нулю. В частности, если не больше , значение статистической суммы Костанта будет равно нулю. Таким образом, хотя сумма номинально рассчитывается по всей группе Вейля, в большинстве случаев количество ненулевых членов меньше, чем порядок группы Вейля.${\displaystyle w=1}$${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$${\displaystyle \mu +\rho }$${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]