Компактная группа

Круг центра 0 и радиус 1 в комплексной плоскости является компактной группой Ли с комплексным умножением.

В математике , А компактно ( топологическая ) группа является топологической группой , чья топология является компактным . Компактные группы являются естественным обобщением конечных групп с дискретной топологией и обладают свойствами, которые существенно сохраняются. Компактные группы имеют хорошо изученную теорию по отношению к групповым действиям и теории представлений .

В дальнейшем мы будем предполагать, что все группы являются хаусдорфовыми пространствами .

Компактные группы Ли [ править ]

Группы Ли образуют класс топологических групп, а компактные группы Ли имеют особенно хорошо развитую теорию. Основные примеры компактных групп Ли включают ^[1]

• круг группы Т и тор группы Т ^п ,
• ортогональная группа О ( п ), то специальная ортогональная группа SO ( п ) и его покрытия спины группы Spin ( п ),
• унитарная группа U ( п ) и специальная унитарная группа SU ( п ),
• симплектическая группа Sp ( п ),
• компактные формы исключительных групп Ли : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E 7 и E 8 ,

Теорема классификации компактных групп Ли утверждает , что до конечных расширений и конечных чехлов этим исчерпывается список примеров (который уже включает в себя несколько увольнений). Эта классификация более подробно описана в следующем подразделе.

Классификация [ править ]

Для любой компактной группы Ли G можно взять ее единичную компоненту G ₀ , которая связна . Фактор - группа G / G ₀ является группой компонентов П ₀ ( G ) , которое должно быть конечным , так как G компактно. Таким образом, мы имеем конечное расширение

${\ Displaystyle 1 \ к G_ {0} \ к G \ к \ pi _ {0} (G) \ к 1.}$

Между тем для связных компактных групп Ли имеем следующий результат: ^[2]

Теорема : каждая связная компактная группа Ли является факторпространством по конечной центральной подгруппе произведения односвязной компактной группы Ли и тора.

Таким образом, классификация связных компактных групп Ли в принципе сводится к знанию односвязных компактных групп Ли вместе с информацией об их центрах. (Для получения информации о центре см. Раздел ниже, посвященный основной группе и центру.)

Наконец, каждая компактная связная односвязная группа Ли K является произведением компактных, связных, односвязных простых групп Ли K _i, каждая из которых изоморфна ровно одному из следующих:

• Компактная симплектическая группа ${\ Displaystyle \ OperatorName {Sp} (п), \, п \ geq 1}$
• Специальная унитарная группа ${\ Displaystyle \ OperatorName {SU} (п), \, п \ geq 3}$
• Спина группа ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n), \, n \ geq 7}$

или одна из пяти исключительных групп G 2 , F 4 , E 6 , E 7 и E 8 . Ограничения на n заключаются в том, чтобы избежать специальных изоморфизмов среди различных семейств при малых значениях n . Для каждой из этих групп центр известен явно. Классификация осуществляется через связанную корневую систему (для фиксированного максимального тора), которые, в свою очередь, классифицируются по диаграммам Дынкина .

Классификация компактных односвязных групп Ли аналогична классификации комплексных полупростых алгебр Ли . Действительно, если K - односвязная компактная группа Ли, то комплексификация алгебры Ли K полупроста. Наоборот, всякая комплексная полупростая алгебра Ли имеет компактную вещественную форму, изоморфную алгебре Ли компактной односвязной группы Ли.

Максимальные торы и корневые системы [ править ]

Ключевой идеей в изучении связной компактной группы Ли K является понятие максимального тора , то есть подгруппы T группы K, которая изоморфна произведению нескольких копий группы Ли и не содержится ни в какой более крупной подгруппе этого типа. . Базовым примером является случай , и в этом случае мы можем принять группу диагональных элементов в . Основным результатом является теорема о торе, которая утверждает, что каждый элемент из принадлежит максимальному тору и что все максимальные торы сопряжены.${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle К = \ OperatorName {SU} (п)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Максимальный тор в компактной группе играет роль, аналогичную роли подалгебры Картана в комплексной полупростой алгебре Ли. В частности, после выбора максимального тора можно определить корневую систему и группу Вейля, аналогичные тем, что есть для полупростых алгебр Ли . ^[3] Эти структуры затем играют существенную роль как в классификации связных компактных групп (описанной выше), так и в теории представлений фиксированной такой группы (описанной ниже).${\ displaystyle T \ subset K}$

Системы корней, связанные с простыми компактными группами, фигурирующими в классификации односвязных компактных групп, следующие: ^[4]

• Особые унитарные группы соответствуют корневой системе${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$
• Нечетные спиновые группы соответствуют корневой системе${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$${\displaystyle B_{n}}$
• Компактные симплектические группы соответствуют корневой системе${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle C_{n}}$
• Четные спиновые группы соответствуют корневой системе${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$${\displaystyle D_{n}}$
• Исключительные компактные группы Ли соответствуют пяти исключительным системам корней G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ или E _8.

Основная группа и центр [ править ]

Важно знать, односвязна ли связная компактная группа Ли, а если нет, то определить ее фундаментальную группу . Для компактных групп Ли есть два основных подхода к вычислению фундаментальной группы. Первый подход относится к классическим компактным группам , , , и и продолжается по индукции по . Второй подход использует корневую систему и применим ко всем связным компактным группам Ли.${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle n}$

Также важно знать центр связной компактной группы Ли. Центр классической группы можно легко вычислить «вручную», и в большинстве случаев он состоит просто из любых корней тождества . (Группа SO (2) является исключением - центром является вся группа, даже если большинство элементов не являются корнями идентичности.) Таким образом, например, центр состоит из корней n- й степени, равных единице, умноженной на единицу, a циклическая группа порядка .${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle n}$

В общем, центр можно выразить через решетку корней и ядро ​​экспоненциального отображения для максимального тора. ^[5] Общий метод показывает, например, что односвязная компактная группа, соответствующая исключительной корневой системе, имеет тривиальный центр. Таким образом, компактная группа - одна из очень немногих простых компактных групп, которые одновременно односвязны и не имеют центра. (Остальные - и .)${\displaystyle G_{2}}$ G 2 {\displaystyle G_{2}} F 4 {\displaystyle F_{4}} E 8 {\displaystyle E_{8}}

Дальнейшие примеры [ править ]

Среди групп, которые не являются группы Ли, и поэтому не несет структуру коллектора , примеры являются аддитивной группой Z _р из р-адических чисел , и конструкция из него. Фактически любая проконечная группа является компактной группой. Это означает, что группы Галуа являются компактными группами, что является основным фактом теории алгебраических расширений в случае бесконечной степени.

Двойственность Понтрягина дает большой запас примеров компактных коммутативных групп. Они находятся в двойственности с абелевыми дискретными группами .

Мера Хаара [ править ]

Компактные группы все несут меру Хаара , ^[6] , который будет инвариантной как левого и правого сдвига ( функция модуля должен быть непрерывным гомоморфизм на положительных чисел ( R ⁺ , ×), и так 1). Другими словами, эти группы унимодулярны . Мера Хаара легко нормируется до вероятностной меры , аналогичной dθ / 2π на окружности.

Такую меру Хаара во многих случаях легко вычислить; например, для ортогональных групп это было известно Адольфу Гурвицу , а в случаях группы Ли всегда можно задать инвариантную дифференциальную форму . В проконечном случае существует много подгрупп конечного индекса , и мера Хаара смежного класса будет обратной величине индекса. Поэтому интегралы часто вычисляются напрямую, что постоянно применяется в теории чисел .

Если - компактная группа и является ассоциированной мерой Хаара, теорема Питера – Вейля обеспечивает разложение в виде ортогональной прямой суммы конечномерных подпространств матричных элементов для неприводимых представлений .${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$${\displaystyle K}$

Теория представлений [ править ]

Теория представлений компактных групп (не обязательно групп Ли и не обязательно связных) была основана на теореме Питера – Вейля . ^[7] Герман Вейль дал подробную теорию характеров компактных связных групп Ли, основанную на теории максимального тора . ^[8] Полученная в результате формула характера Вейля была одним из влиятельных результатов математики двадцатого века. Комбинация теоремы Питера – Вейля и формулы характера Вейля привела Вейля к полной классификации представлений связной компактной группы Ли; эта теория описана в следующем разделе.

Сочетание работы Вейля и теоремы Картана дает обзор всей теории представлений компактных групп G . То есть по теореме Питера – Вейля неприводимые унитарные представления ρ группы G лежат в унитарной группе (конечной размерности), и образ будет замкнутой подгруппой унитарной группы по компактности. Теорема Картана утверждает, что Im (ρ) должна быть подгруппой Ли в унитарной группе. Если G сама не является группой Ли, должно быть ядро ​​к ρ. Кроме того, можно сформировать обратную систему для все меньшего и меньшего ядра конечномерных унитарных представлений, которая идентифицирует G как обратный пределкомпактных групп Ли. Вот тот факт , что в пределе точное представление о G найдено еще одно следствие теоремы Петера-Вейля.

Неизвестная часть теории представлений компактных групп тем самым, грубо говоря, отбрасывается назад на комплексные представления конечных групп . Эта теория довольно богата деталями, но качественно хорошо изучена.

Теория представлений связной компактной группы Ли [ править ]

Некоторые простые примеры теории представлений компактных групп Ли можно разработать вручную, например, представления группы вращений SO (3) , специальной унитарной группы SU (2) и специальной унитарной группы SU (3) . Мы сосредоточимся здесь на общей теории. См. Также параллельную теорию представлений полупростой алгебры Ли .

Всюду в этом параграфе мы фиксируем связную компактную группу Ли K и максимальный тор T в K .

Теория представлений Т [ править ]

Так как T коммутативности, лемма Шура говорит нам , что каждое неприводимое представление о Т одномерно:${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

Поскольку, кроме того, T компактно, он должен фактически отображаться в .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

Чтобы описать эти представления конкретно, пусть - алгебра Ли T, а точки записываются как${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

В таких координатах будет иметь вид${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

для некоторого линейного функционала на . ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Теперь, поскольку экспоненциальное отображение не инъективно, не каждый такой линейный функционал дает четко определенное отображение T в . Скорее, пусть обозначает ядро ​​экспоненциального отображения:${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

где это единичный элемент Т . (Мы масштабируем экспоненциальную карту здесь с коэффициентом , чтобы избежать таких факторов где-либо еще.) Затем, чтобы дать четко определенную карту , должно удовлетворять${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

где - множество целых чисел. ^[9] Линейный функционал, удовлетворяющий этому условию, называется аналитически интегральным элементом . Это условие целостности связано с понятием интегрального элемента в контексте полупростых алгебр Ли , но не идентично ему . ^[10]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lambda }$

Предположим, например, что T - это просто группа комплексных чисел с абсолютным значением 1. Алгебра Ли - это набор чисто мнимых чисел, а ядро ​​(масштабированного) экспоненциального отображения - это набор чисел вида где - целое число. Линейный функционал принимает целые значения на всех таких числах тогда и только тогда, когда он имеет форму некоторого целого числа . Неприводимые представления T в этом случае одномерные и имеют вид${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle in}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Теория представлений K [ править ]

Обозначим теперь через конечномерное неприводимое представление K (над ). Затем мы рассмотрим ограничение на Т . Это ограничение не является неприводимым, если оно не одномерно. Тем не менее, ограничение разлагается в прямую сумму неприводимых представлений Т . (Обратите внимание, что данное неприводимое представление T может встречаться более одного раза.) Теперь каждое неприводимое представление T описывается линейным функционалом, как в предыдущем пункте. Если данные происходит , по крайней мере один раз в разложении ограничения на Т , мы называем собой вес${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda }$оф . Стратегия теории представлений K состоит в том, чтобы классифицировать неприводимые представления по их весам.${\displaystyle \Sigma }$

Теперь мы кратко опишем структуры, необходимые для формулировки теоремы; более подробную информацию можно найти в статье о весах в теории представлений . Нам понадобится понятие корневой системы для K (относительно данного максимального тора T ). Построение этой корневой системы очень похоже на построение комплексных полупростых алгебр Ли . В частности, веса ненулевые веса для присоединенного действия Т на комплексифицированной алгебре Ли К . Корневая система R обладает всеми обычными свойствами корневой системы , за исключением того, что элементы R не могут охватывать${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. ^[11] Затем мы выбираем базу для R и говорим, что интегральный элемент является доминирующим, если для всех . Наконец, мы говорим, что один вес выше другого, если их различие может быть выражено как линейная комбинация элементов с неотрицательными коэффициентами.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

Неприводимые конечномерные представления К , затем классифицируются по теореме о высоком весе , ^[12] , которая тесно связана с аналогичной теоремы классифицирующих представлений полупростой алгебры Ли . Результат говорит, что:

1. каждое неприводимое представление имеет старший вес,
2. наибольший вес всегда является доминирующим, аналитически целостным элементом,
3. два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и
4. каждый доминирующий, аналитически целостный элемент возникает как наивысший вес неприводимого представления.

Теорема о старшем весе для представлений K тогда почти такая же, как и для полупростых алгебр Ли, за одним заметным исключением: понятие интегрального элемента другое. Веса представления аналитически целы в смысле, описанном в предыдущем пункте. Каждый аналитически целостный элемент является целым в смысле алгебры Ли, но не наоборот. ^[13] (Этот феномен отражает то, что, вообще говоря, не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы K. ) С другой стороны, если K${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$односвязно, набор возможных старших весов в групповом смысле совпадает с множеством возможных старших весов в смысле алгебры Ли. ^[14]

Формула персонажа Вейля [ править ]

Если это представление K , мы определим характер из быть функция задается${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Эта функция , как легко видеть, является функцией класса, то есть, для всех и в K . Таким образом, определяется его ограничением на Т .${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathrm {X} }$

Изучение характеров - важная часть теории представлений компактных групп. Одним из важнейших результата, который является следствием теоремы Петера-Вейля , является то , что символы образуют ортонормированный базис для множества функций , квадратично интегрируемых классов в K . Второй ключевой результат - это формула символа Вейля , которая дает явную формулу для символа - или, скорее, ограничение символа до T - в терминах наивысшего веса представления.

В тесно связанной теории представлений полупростых алгебр Ли формула характера Вейля является дополнительным результатом, установленным после классификации представлений. Однако в анализе Вейля случая компактной группы формула характера Вейля фактически является важной частью самой классификации. В частности, в анализе Вейля представлений K самая сложная часть теоремы - показывающая, что каждый доминантный, аналитически целостный элемент на самом деле является наивысшим весом некоторого представления - доказывается совершенно иначе, чем обычное построение алгебры Ли с использованием Verma модули . В подходе Вейля конструкция основана на теореме Питера – Вейля и аналитическом доказательствеФормула характера Вейля . ^[15] В конечном счете, неприводимые представления K реализуются в пространстве непрерывных функций на K .

Дело SU (2) [ править ]

Теперь рассмотрим случай компактной группы SU (2). Представления часто рассматриваются с точки зрения алгебры Ли , но здесь мы рассмотрим их с точки зрения группы. В качестве максимального тора возьмем множество матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

В соответствии с примером, рассмотренным выше в разделе о представлениях T , аналитически целые элементы помечаются целыми числами, так что доминирующие, аналитически целые элементы являются неотрицательными целыми числами . Тогда общая теория говорит нам, что для каждого существует единственное неприводимое представление SU (2) со старшим весом . ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

Большая часть информации о представлении, соответствующем данному , закодирована в его характере. Теперь формула характера Вейля говорит, в этом случае , что символ задается${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

Мы также можем записать символ как сумму экспонент следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(Если мы воспользуемся формулой суммы конечного геометрического ряда в приведенном выше выражении и упростим, мы получим более раннее выражение.)

Из этого последнего выражения и стандартной формулы для символа в терминах весов представления мы можем заключить, что веса представления равны

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

каждый с кратностью один. (Веса - это целые числа, появляющиеся в показателях экспонент, а кратности - это коэффициенты при экспонентах.) Поскольку есть веса, каждый с кратностью 1, размерность представления равна . Таким образом, мы восстанавливаем большую часть информации о представлениях, которая обычно получается при вычислении алгебры Ли.${\displaystyle m+1}$${\displaystyle m+1}$

Схема доказательства [ править ]

Теперь мы наметим доказательство теоремы о старшем весе, следуя исходным рассуждениям Германа Вейля . Мы по-прежнему позволяем быть связной компактной группой Ли и фиксированным максимальным тором в . Мы сосредоточимся на самой сложной части теоремы, показывая, что каждый доминирующий, аналитически целостный элемент является старшим весом некоторого (конечномерного) неприводимого представления. ^[16]${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$

Инструменты для доказательства следующие:

• Теорема о торе .
• Интегральная формула Вейля .
• Теорема Питера – Вейля для функций классов , которая утверждает, что характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства квадратично интегрируемых функций классов на .${\displaystyle K}$

Имея в руках эти инструменты, приступим к доказательству. Первым важным шагом в рассуждении является доказательство формулы характера Вейля . Формула утверждает , что если неприводимое представление со старшим весом , то характер из удовлетворяет:${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

для всех в алгебре Ли . Вот половина суммы положительных корней. (Обозначение использует соглашение о «действительных весах»; это соглашение требует явного множителя в показателе степени.) Доказательство Вейля формулы характера является аналитическим по своей природе и основывается на том факте, что норма символа равна 1. В частности, если бы в числителе были какие-либо дополнительные члены, интегральная формула Вейля заставила бы норму символа быть больше 1.${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle i}$${\displaystyle L^{2}}$

Далее, мы обозначим функцию в правой части формулы характера. Мы показываем, что даже если неизвестно, является ли он наивысшим весом представления , является хорошо определенной, инвариантной по Вейлю функцией на , которая, таким образом, продолжается до функции класса на . Затем, используя интегральную формулу Вейля, можно показать, что, пробегая множество доминирующих, аналитически интегральных элементов, функции образуют ортонормированное семейство функций классов. Мы подчеркиваем, что в настоящее время мы не знаем, что каждое такое является наивысшим весом представления; тем не менее, выражения в правой части символьной формулы дают четко определенный набор функций${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$, и эти функции ортонормированы.

Теперь напрашивается вывод. Множество всего - с ранжированием по доминирующим, аналитически интегральным элементам - образует ортонормированное множество в пространстве квадратично интегрируемых функций класса. Но по формуле характера Вейля, характеры неприводимых представлений образуют подмножество символов 's. А по теореме Питера – Вейля характеры неприводимых представлений образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, интегрируемых с квадратом. Если бы были некоторые , не являющиеся наивысшим весом представления, то соответствующий знак не был бы характером представления. Таким образом, символы будут правильным подмножеством набора символов . Но тогда возникает невозможная ситуация: ортонормированный базис${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$(набор символов неприводимых представлений) содержался бы в строго большем ортонормированном множестве (множестве символов ). Таким образом, каждый должен быть наивысшим весом представления.${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Двойственность [ править ]

Тема восстановления компактной группы на основе ее теории представлений является предметом двойственности Таннаки – Крейна , которая теперь часто пересматривается в терминах теории категорий Таннаки .

От компактных к некомпактным группам [ править ]

Влияние теории компактных групп на некомпактные группы было сформулировано Вейлем в его унитарном приеме . Внутри общей полупростой группы Ли существует максимальная компактная подгруппа , и теория представлений таких групп, разработанная главным образом Хариш-Чандрой , интенсивно использует ограничение представления на такую ​​подгруппу, а также модель теории характеров Вейля.

См. Также [ править ]

• Теорема Питера – Вейля
• Максимальный тор
• Корневая система
• Локально компактная группа
• p -компактная группа
• Проторус
• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бреккер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 98 , Springer
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H .; Моррис, Сидней А. (1998), Структура компактных групп , Берлин: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1