Существенная производная

В механике сплошной среды , то производная материала ^[1]^[2] описывает время скорость изменения некоторой физической величины (например , тепла или импульса ) от материала элемента , который подвергается воздействию пространства-и-зависимого от времени макроскопического поля скоростей . Материальная производная может служить связующим звеном между эйлеровым и лагранжевым описаниями деформации континуума . ^[3]

Например, в гидродинамике поле скорости - это скорость потока , а интересующей величиной может быть температура жидкости. В этом случае производная материала затем описывает изменение температуры определенной частицы жидкости во времени, когда она течет по своей траектории (траектории).

Другие имена [ править ]

Есть много других названий материальных производных, в том числе:

адвективная производная ^[4]
конвективная производная ^[5]
производная после движения ^[1]
гидродинамическая производная ^[1]
Лагранжева производная ^[6]
производная частицы ^[7]
существенная производная ^[1]
основная производная ^[8]
Производная Стокса ^[8]
полная производная , ^[1]^[9], хотя это также означает что-то еще ( полная производная )

Определение [ править ]

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y, которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x , t ) :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} y} {\ mathrm {D} t}} \ Equiv {\ frac {\ partial y} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla y ,}

где ∇ y - ковариантная производная тензора, а u ( x , t ) - скорость потока . Обычно конвективная производная поля u · ∇ y , содержащая ковариантную производную поля, может быть интерпретирована как как включающая тензорную производную линий тока поля u · (∇ y ), так и как включающую производную по направлению линий тока поля ( u · ∇) y , что приводит к тому же результату. ^[10] Только этот пространственный член, содержащий скорость потока, описывает перенос поля в потоке, в то время как другой описывает собственное изменение поля, не зависящее от наличия какого-либо потока. Как ни странно, иногда название «конвективная производная» используется для всей материальной производной D / Dt , а не только для пространственного члена u ·, ^[2], который также является избыточной номенклатурой. В неизбыточной номенклатуре материальная производная равна только конвективной производной для отсутствующих потоков. Влияние не зависящих от времени членов в определениях относится к скалярному и тензорному случаям, соответственно, известным как адвекция и конвекция.

Скалярные и векторные поля [ править ]

Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x , t ) и макроскопического векторного поля A ( x , t ) определение выглядит следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {D} \ varphi} {\ mathrm {D} t}} & \ Equiv {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi, \\ [3pt] {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {A}} {\ mathrm {D} t}} и \ Equiv {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {A}. \ end {align}}}

В случае скалярного ∇ φ представляет собой просто градиент скаляра, а ∇ является ковариантной производной макроскопического вектора (который также может рассматриваться в качестве матрицы Якоби из А в зависимости от й ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) компоненты скорости u равны u ₁ , u ₂ , u ₃ , тогда конвективный член равен:

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ varphi = u_ {1} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_ {1}}} + u_ {2} {\ frac {\ partial \ varphi } {\ partial x_ {2}}} + u_ {3} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x_ {3}}}.}

Развитие [ править ]

Рассмотрим скалярную величину φ = φ ( x , t ), где t - время, а x - положение. Здесь φ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна φ , существует в континууме, а макроскопическая скорость которой представлена векторным полем u ( x , t ).

(Полная) производная по времени от φ расширяется с использованием правила многомерной цепочки :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .

Очевидно, что эта производная зависит от вектора

{\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},

который описывает выбранный путь x ( t ) в пространстве. Например, если выбран вариант, производная по времени становится равной частной производной по времени, что согласуется с определением частной производной : производная, взятая по некоторой переменной (в данном случае времени), при сохранении постоянных других переменных (пробел в этом дело). Это имеет смысл, потому что если , то производная берется в некоторой постоянной позиции. Эта статическая производная положения называется производной Эйлера. ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ ${\dot {\mathbf {x} }}=0$

Примером этого случая является стоящий на месте пловец, который рано утром чувствует изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагрева от солнца. В этом случае этого термина достаточно для описания скорости изменения температуры. ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$

Если солнце не нагревает воду (т.е. ), но путь x ( t ) не является остановкой, производная по времени φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой, в помещении и не подвержен влиянию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плывя из одного конца в другой, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это потому, что производная берется в месте смены пловца, а второй член справа ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. Температурный датчик, прикрепленный к пловцу, будет показывать изменение температуры со временем просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому.

Материальная производная в конечном итоге получается, когда путь x ( t ) выбирается так, чтобы скорость была равна скорости жидкости

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .

То есть путь следует за потоком жидкости, описываемым полем скорости жидкости u . Итак, материальная производная скаляра φ равна

{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .

Примером этого случая является легкая, нейтрально плавучая частица, несущаяся вдоль текущей реки и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды локально может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая - в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (само вызываемое движением жидкости), называется адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Вышеприведенное определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никакие законы физики не использовались (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказалось, что многие физические концепции могут быть кратко описаны с использованием материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится тензорной производной ; для тензорных полей мы можем захотеть учесть не только перенос системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается за счет верхней конвективной производной по времени .

Ортогональные координаты [ править ]

Может быть показано , что, в ортогональной системе координат , в J -го компонента конвективного члена материальной производной дается ^[11]

[\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),

где h _i связаны с метрическими тензорами соотношением

h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.

В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x , y , z ) это просто

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.

См. Также [ править ]

Уравнения Навье – Стокса
Уравнения Эйлера (гидродинамика)
Производная (обобщения)
Производная Ли
Леви-Чивита связь
Пространственное ускорение
Пространственный градиент

Ссылки [ править ]

^ a b c d e Птица, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (2007). Явления переноса (пересмотренное второе изд.). Джон Вили и сыновья. п. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
^ a b Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. С. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
^ Trenberth, KE (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ISBN 0-521-43231-6.
^ Majda, A. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Конспект лекций Куранта по математике. 9 . Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
^ Окендон, Х .; Окендон-младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Springer. п. 6. ISBN 0-387-40399-X.
Перейти ↑ Mellor, GL (1996). Введение в физическую океанографию . Springer. п. 19. ISBN 1-56396-210-1.
^ Стокер, JJ (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Вайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6.
^ a b Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Courier Dover Publications. п. 30. ISBN 0-486-68356-7.
^ Ландау, LD ; Лифшиц Е.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN 0-7506-2767-0.
Перейти ↑ Emanuel, G. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). CRC Press. С. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
^ Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор» . MathWorld . Проверено 22 июля 2008 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Коэн, Ира М .; Кунду, Пижуш К (2008). Механика жидкости (4-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0-12-373735-9.
Лай, Майкл; Кремпл, Эрхард; Рубен, Дэвид (2010). Введение в механику сплошной среды (4-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-7506-8560-3.

[BSLr2-1] Птица, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (2007). Явления переноса (пересмотренное второе изд.). Джон Вили и сыновья. п. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.

[Batchelor-2] Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. С. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.

[Trenberth-3] Trenberth, KE (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ISBN 0-521-43231-6.

[4] Majda, A. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Конспект лекций Куранта по математике. 9 . Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8.

[Ockendon-5] Окендон, Х .; Окендон-младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Springer. п. 6. ISBN 0-387-40399-X.

[Mellor-6] Перейти ↑ Mellor, GL (1996). Введение в физическую океанографию . Springer. п. 19. ISBN 1-56396-210-1.

[7] Стокер, JJ (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Вайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6.

[Granger-8] Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Courier Dover Publications. п. 30. ISBN 0-486-68356-7.

[9] Ландау, LD ; Лифшиц Е.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN 0-7506-2767-0.

[10] Перейти ↑ Emanuel, G. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). CRC Press. С. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.

[11] Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор» . MathWorld . Проверено 22 июля 2008 .

[1]