Тензорная производная (механика сплошной среды)

У этой статьи нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . ( Июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эти производные от скаляров , векторов и второго порядка тензоров по отношению к тензорам второго порядка представляют значительное использование в механике сплошных сред . Эти производные используются в теории нелинейной упругости и пластичности , в частности , в разработке алгоритмов для численного моделирования . ^[1]

Производная по направлению обеспечивает систематический способ нахождения этих производных. ^[2]

Производные по векторам и тензорам второго порядка [ править ]

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов [ править ]

Пусть f ( v ) - вещественная функция вектора v . Тогда производная f ( v ) по v (или в v ) - это вектор, определенный через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = Df (\ mathbf {v}) [\ mathbf {u}] = \ left [{\ гидроразрыв {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ f (\ mathbf {v} + \ alpha ~ \ mathbf {u}) \ right] _ {\ alpha = 0}}$

для всех векторов u . Вышеупомянутое скалярное произведение дает скаляр, а если u является единичным вектором, дает производную f по направлению в точке v в направлении u .

Характеристики:

1. Если тогда${\ Displaystyle е (\ mathbf {v}) = f_ {1} (\ mathbf {v}) + f_ {2} (\ mathbf {v})}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

Производные векторных функций векторов [ править ]

Пусть f ( v ) - вектор-функция вектора v . Тогда производная f ( v ) по v (или в v ) является тензором второго порядка, определенным через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$

для всех векторов u . Вышеупомянутое скалярное произведение дает вектор, и, если u является единичным вектором, дает производную f по направлению в точке v в направлении u .

Характеристики:

1. Если тогда${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка [ править ]

Пусть - вещественная функция тензора второго порядка . Тогда производная по (или при ) по направлению является тензором второго порядка, определяемым как${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка .${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка [ править ]

Пусть - тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка . Тогда производная от по (или при ) по направлению является тензором четвертого порядка, определяемым как${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка .${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. Если тогда${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Градиент тензорного поля [ править ]

Градиент , , тензорное поле в направлении произвольного постоянная вектор с определяются как:${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} =\lim _{\alpha \rightarrow 0}\quad {\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} )}$

Градиент тензорного поля порядка n представляет собой тензорное поле порядка n +1.

Декартовы координаты [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Если - базисные векторы в декартовой системе координат с координатами точек, обозначенными ( ), то градиент тензорного поля определяется выражением${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}}$

Доказательство

Векторы x и c можно записать как и . Пусть y  : = x + α c . В этом случае градиент определяется как${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}~\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {c} =c_{i}~\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} &=\left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(x_{1}+\alpha c_{1},x_{2}+\alpha c_{2},x_{3}+\alpha c_{3})\right|_{\alpha =0}\equiv \left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(y_{1},y_{2},y_{3})\right|_{\alpha =0}\\&=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{1}}}~{\cfrac {\partial y_{1}}{\partial \alpha }}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{2}}}~{\cfrac {\partial y_{2}}{\partial \alpha }}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{3}}}~{\cfrac {\partial y_{3}}{\partial \alpha }}\right]_{\alpha =0}=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{1}}}~c_{1}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{2}}}~c_{2}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial y_{3}}}~c_{3}\right]_{\alpha =0}\\&={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{1}}}~c_{1}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{2}}}~c_{2}+{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{3}}}~c_{3}\equiv {\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}~c_{i}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}~(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {c} )=\left[{\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}\right]\cdot \mathbf {c} \qquad \square \end{aligned}}}$

Поскольку базисные векторы не изменяются в декартовой системе координат, мы имеем следующие соотношения для градиентов скалярного поля , векторного поля v и тензорного поля второго порядка .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\cfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{i}=\phi _{,i}~\mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial (v_{j}\mathbf {e} _{j})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial (S_{jk}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial S_{jk}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$

Криволинейные координаты [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Если - контравариантные базисные векторы в криволинейной системе координат с координатами точек, обозначенными ( ), то градиент тензорного поля задается выражением (см. ^[3] для доказательства.)${\displaystyle \mathbf {g} ^{1},\mathbf {g} ^{2},\mathbf {g} ^{3}}$ ${\displaystyle \xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}}$

Из этого определения мы получаем следующие соотношения для градиентов скалярного поля , векторного поля v и тензорного поля второго порядка .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\frac {\partial \phi }{\partial \xi ^{i}}}~\mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\frac {\partial \left(v^{j}\mathbf {g} _{j}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v^{j}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{j}\right)~\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-v_{k}~\Gamma _{ij}^{k}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial \left(S_{jk}~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial S_{jk}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\otimes \mathbf {g} ^{i}\end{aligned}}}$

где символ Кристоффеля определяется с помощью${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {g} _{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\quad \implies \quad \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\cdot \mathbf {g} ^{k}=-\mathbf {g} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {g} ^{k}}{\partial \xi ^{j}}}}$

Цилиндрические полярные координаты [ править ]

В цилиндрических координатах градиент определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi ={}\quad &{\frac {\partial \phi }{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} ={}\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={}\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}+{\frac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\end{aligned}}}$

Дивергенция тензорного поля [ править ]

Дивергенции поля тензора определяется с использованием рекурсивного соотношения${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\right)~;\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}$

где c - произвольный постоянный вектор, а v - векторное поле. Если - тензорное поле порядка n > 1, то дивергенция поля есть тензор порядка n - 1.${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Декартовы координаты [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

В декартовой системе координат мы имеем следующие соотношения для векторного поля v и тензорного поля второго порядка .${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{ik}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ik,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$

где в крайних правых выражениях используется тензорный индекс частных производных. Обратите внимание, что

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}\neq {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}^{\textsf {T}}.}$

Для симметричного тензора второго порядка расходимость также часто записывают как ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial S_{ki}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ki,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}$

Вышеупомянутое выражение иногда используется как определение в декартовой компонентной форме (часто также пишется как ). Обратите внимание, что такое определение не согласуется с остальной частью этой статьи (см. Раздел о криволинейных координатах). ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {S}}}$

Разница заключается в том, выполняется ли дифференцирование в отношении строк или столбцов , и является обычным. Это демонстрируется на примере. В декартовой системе координат тензор (матрица) второго порядка является градиентом векторной функции .${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,ji}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)_{,j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)^{\textsf {T}}\right]&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{j,i}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{j,ii}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Последнее уравнение эквивалентно альтернативному определению / интерпретации ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,jj}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{i}~\mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Криволинейные координаты [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

В криволинейных координатах расходимости векторного поля v и тензорного поля второго порядка равны${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\left({\cfrac {\partial v^{i}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{i}\right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left({\cfrac {\partial S_{ik}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ii}^{l}-S_{il}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{k}\end{aligned}}}$

В более общем смысле,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}}$

Цилиндрические полярные координаты [ править ]

В цилиндрических полярных координатах

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Завиток тензорного поля [ править ]

Ротор из заказа запасного п > 1 тензорного поля также определяются с использованием рекурсивного соотношения ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}})~;\qquad ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )}$

где c - произвольный постоянный вектор, а v - векторное поле.

Ротор тензорного (векторного) поля первого порядка [ править ]

Рассмотрим векторное поле v и произвольный постоянный вектор c . В индексных обозначениях перекрестное произведение дается выражением

${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {c} =\varepsilon _{ijk}~v_{j}~c_{k}~\mathbf {e} _{i}}$

где - символ перестановки , иначе известный как символ Леви-Чивиты. Затем,${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )=\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~c_{k}=(\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} }$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k}}$

Ротор тензорного поля второго порядка [ править ]

Для тензора второго порядка ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}}=c_{m}~S_{mj}~\mathbf {e} _{j}}$

Следовательно, используя определение ротора тензорного поля первого порядка,

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}})=\varepsilon _{ijk}~c_{m}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}=(\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {c} }$

Следовательно, мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}}=\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m}}$

Тождества, содержащие завиток тензорного поля [ править ]

Наиболее часто используемое тождество, включающее ротор тензорного поля , это${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}})={\boldsymbol {0}}}$

Это тождество верно для тензорных полей всех порядков. Для важного случая тензора второго порядка из этого тождества следует, что${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {0}}\quad \implies \quad S_{mi,j}-S_{mj,i}=0}$

Производная определителя тензора второго порядка [ править ]

Производная определителя тензора второго порядка дается выражением${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$

В ортонормированному, компоненты могут быть записаны в виде матрицы A . В этом случае правая часть соответствует сомножителям матрицы.${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

Доказательство

Позвольте быть тензор второго порядка и пусть . Тогда из определения производной скалярнозначной функции тензора имеем${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}&=\left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}\det({\boldsymbol {A}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}\det \left[\alpha ~{\boldsymbol {A}}\left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}\left[\alpha ^{3}~\det({\boldsymbol {A}})~\det \left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}.\end{aligned}}}$ Определитель тензора можно выразить в виде характеристического уравнения через инварианты, используя${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}}).}$ Используя это расширение, мы можем написать ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}&=\left.{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}\left[\alpha ^{3}~\det({\boldsymbol {A}})~\left({\cfrac {1}{\alpha ^{3}}}+I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~{\cfrac {1}{\alpha ^{2}}}+I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~{\cfrac {1}{\alpha }}+I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right)\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.\det({\boldsymbol {A}})~{\cfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}\alpha }}\left[1+I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha +I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{2}+I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{3}\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.\det({\boldsymbol {A}})~\left[I_{1}({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}})+2~I_{2}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha +3~I_{3}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~\alpha ^{2}\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\det({\boldsymbol {A}})~I_{1}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)~.\end{aligned}}}$ Напомним, что инвариант задается формулой${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}({\boldsymbol {A}})={\text{tr}}{\boldsymbol {A}}.}$ Следовательно, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}=\det({\boldsymbol {A}})~{\text{tr}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}:{\boldsymbol {T}}.}$ Ссылаясь на произвол, мы имеем${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$

Производные инвариантов тензора второго порядка [ править ]

Основные инварианты тензора второго порядка:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}({\boldsymbol {A}})&={\text{tr}}{\boldsymbol {A}}\\I_{2}({\boldsymbol {A}})&={\frac {1}{2}}\left[({\text{tr}}{\boldsymbol {A}})^{2}-{\text{tr}}{{\boldsymbol {A}}^{2}}\right]\\I_{3}({\boldsymbol {A}})&=\det({\boldsymbol {A}})\end{aligned}}}$

Производные этих трех инвариантов по равны${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$

Доказательство

Из производной определителя мы знаем, что ${\displaystyle {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$ Что касается производных двух других инвариантов, вернемся к характеристическому уравнению ${\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})~.}$ Используя тот же подход, что и для определителя тензора, можно показать, что ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}$ Теперь левую часть можно расширить как ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})&={\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left[\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})\right]\\&={\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~.\end{aligned}}}$ Следовательно ${\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}}$ или же, ${\displaystyle (\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{\textsf {T}}\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ Расширение правой части и разделение терминов в левой части дает ${\displaystyle \left(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}}$ или же, ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda \right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}}$ Если мы определим и , мы можем записать вышеизложенное как${\displaystyle I_{0}:=1}$${\displaystyle I_{4}:=0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[I_{0}~\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}}$ Собирая слагаемые, содержащие различные степени λ, получаем ${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{3}&\left(I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\lambda ^{2}\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\\&\qquad \qquad \lambda \left(I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\left(I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)=0~.\end{aligned}}}$ Тогда, используя произвольность λ, имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0~.\end{aligned}}}$ Это означает, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}}$