В физике , деформация является механика сплошной среды трансформация тела из эталонной конфигурации в текущую конфигурацию. [1] Конфигурация - это набор, содержащий положения всех частиц тела.
Деформация может быть вызвана внешними нагрузками , [2] тела силы (например, силы тяжести или электромагнитных сил ), или в результате изменения температуры, влажности или химических реакций и т.д.
Деформация - это описание деформации в терминах относительного смещения частиц в теле, исключающее движения твердого тела. Различные эквивалентные выборы могут быть сделаны для выражения поля деформации в зависимости от того, определено ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, рассматривается ли метрический тензор или его двойственный.
В сплошном теле поле деформации возникает в результате поля напряжений, вызванного приложенными силами, или из-за изменений температурного поля внутри тела. Связь между напряжениями и индуцированными деформациями выражается определяющими уравнениями , например законом Гука для линейно-упругих материалов. Деформации, которые восстанавливаются после снятия поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации остаются даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимой деформации является пластическая деформация , которая возникает в материальных телах после того, как напряжения достигают определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и являются результатом механизмов скольжения или дислокаций на атомном уровне. Другой тип необратимой деформации - это вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации.
В случае упругих деформаций функция отклика, связывающая деформацию с деформирующим напряжением, является тензором податливости материала.
Штамм
Деформация - это мера деформации, представляющая смещение между частицами в теле относительно опорной длины.
Общая деформация тела может быть выражена в виде x = F ( X ), где X - исходное положение материальных точек в теле. Такая мера не различает движения твердого тела (перемещения и вращения) и изменения формы (и размера) тела. Деформация имеет единицы длины.
Мы могли бы, например, определить деформацию как
где I - тождественный тензор . Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью , процентом или частями на запись . Деформации измеряют, насколько данная деформация локально отличается от деформации твердого тела. [3]
Деформация - это вообще тензорная величина. Физическое представление о деформациях можно получить, наблюдая, что данная деформация может быть разложена на нормальную составляющую и составляющую сдвига. Степень растяжения или сжатия вдоль линейных элементов материала или волокон является нормальной деформацией , а величина деформации, связанной со скольжением плоских слоев друг по другу, является деформацией сдвига внутри деформируемого тела. [4] Это может быть сделано путем удлинения, укорачивания, изменения объема или углового искажения. [5]
Состояние деформации в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , которая проходит через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, изначально перпендикулярных друг другу, деформации сдвига , исходящие из этой точки. Однако достаточно знать нормальные и сдвиговые компоненты деформации в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Если имеет место увеличение длины линии материала, нормальная деформация называется деформацией растяжения , в противном случае, если есть уменьшение или сжатие длины линии материала, это называется деформацией сжатия .
Меры деформации
В зависимости от степени деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:
- Теории конечных деформаций , называемых также большая теорией деформации , большая теория деформаций , имеет дело с деформациями , в которых оба вращения и деформация сколь угодно большие. В этом случае недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются, и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
- Бесконечно теория деформации , называемая также небольшую теорию деформации , небольшая деформация теории , теория малых смещений , или небольшую теорию смещения-градиент , где деформация и повороты малые. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать идентичными. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, демонстрирующих упругие свойства, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например бетон и сталь.
- Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.
В каждой из этих теорий напряжение определяется по-разному. Инженерный штамм является наиболее общим определение применяется к материалам , используемым в механической и строительной технике, которые подвергаются воздействию очень малых деформаций. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подверженных большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичные инженерные деформации больше 1% [6], поэтому требуются другие более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , Грин штамм и штамм Альманси .
Инженерное напряжение
Коши деформации или инженерно деформации выражается как отношение суммарной деформации к исходному размеру материального тела , в котором применяются силы. Инженерно нормальная деформация или инженерно экстенсиональная деформация или номинальная деформация е из материала линейного элемента или волокон в осевом направлении , загруженного выражаются как изменение длиной Д L на единицу исходной длиной L элемента линии или волокон. Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем
где e - инженерная нормальная деформация , L - исходная длина волокна, а l - конечная длина волокна. Меры деформации часто выражаются в миллионных долях или микродеформациях.
Истинная деформация сдвига определяются как изменение угла (в радианах) между двумя линейными элементами материалом , первоначально перпендикулярными друг к другу в недеформированной или исходной конфигурации. Сдвига деформации инженерно определяется как тангенс этого угла, и равна длине деформации на ее максимуме , деленное на перпендикулярной длине в плоскости приложения силы , которая иногда делает его легче вычислить.
Коэффициент растяжения
Степень растяжения или степень растяжения - это мера растяжения или нормальной деформации дифференциального линейного элемента, которая может быть определена либо в недеформированной конфигурации, либо в деформированной конфигурации. Он определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.
Коэффициент растяжения приблизительно связан с инженерной деформацией следующим образом:
Это уравнение подразумевает, что нормальная деформация равна нулю, так что деформации не происходит, когда растяжение равно единице.
Степень растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры, которые могут выдерживать степени растяжения 3 или 4, прежде чем они разрушатся. С другой стороны, традиционные инженерные материалы, такие как бетон или сталь, терпят неудачу при гораздо более низких коэффициентах растяжения.
Истинное напряжение
Логарифмическая деформация ε , также называемый, истинная деформация или деформация Генки . [7] С учетом возрастающей деформации (Людвик)
логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой дополнительной деформации:
где e - инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильное измерение конечной деформации, когда деформация происходит в серии приращений с учетом влияния траектории деформации. [4]
Зеленый штамм
Штамм Грина определяется как:
Штамм альманси
Штамм Эйлера-Альманси определяется как
Нормальная деформация и деформация сдвига
Деформации подразделяются на нормальные и сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярно к поверхности элемента, а при сдвиге деформации параллельно к ней. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .
Нормальное напряжение
Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызовет нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают дилатацию .
Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем смещения u . Из геометрии соседней фигуры имеем
а также
Для очень малых градиентов смещения квадрат производной от незначительны, и у нас есть
Нормальная деформация в направлении оси x прямоугольного элемента определяется выражением
Точно так же нормальная деформация в y- и z- направлениях становится
Деформация сдвига
Деформация сдвига | |
---|---|
Общие символы | γ или ε |
Единица СИ | 1 , или радиан |
Производные от других величин | γ =τ/грамм |
Инженерная деформация сдвига ( γ xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Следовательно,
Исходя из геометрии фигуры, имеем
Для малых градиентов смещения имеем
Для небольших поворотов, т.е. α и β равны ≪ 1, имеем tan α ≈ α , tan β ≈ β . Следовательно,
таким образом
Меняя местами x и y и u x и u y , можно показать, что γ xy = γ yx .
Аналогично для плоскостей yz - и xz имеем
Компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть затем выражены с использованием инженерного определения деформации γ как
Метрический тензор
Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов, представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат, полученный Фреше , фон Нейманом и Джорданом , гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора является квадратным корнем из значения квадратичная форма, связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением, называемым метрическим тензором .
Описание деформации
Деформация - это изменение метрических свойств непрерывного тела, означающее, что кривая, нарисованная при первоначальном размещении тела, изменяет свою длину при смещении до кривой при окончательном размещении. Если ни одна из кривых не меняет длину, говорят, что произошло смещение твердого тела .
Удобно определить эталонную конфигурацию или начальное геометрическое состояние континуального тела, из которого будут ссылаться все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело действительно когда-либо займет. Часто конфигурация при t = 0 считается эталонной конфигурацией κ 0 ( B ) . Конфигурация в текущий момент t - это текущая конфигурация .
Для анализа деформации эталонная конфигурация определяется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация - как деформированная конфигурация . Кроме того, время не учитывается при анализе деформации, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.
Компоненты X i вектора положения X частицы в эталонной конфигурации, взятые относительно эталонной системы координат, называются материальными или эталонными координатами . С другой стороны, компоненты x i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат отсчета, называются пространственными координатами
Есть два метода анализа деформации сплошной среды. Одно описание сделано в терминах материальных или ссылочных координат, и оно называется описанием материала или лагранжевым описанием . Второе описание деформации производится в терминах пространственных координат, оно называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .
При деформации сплошного тела существует непрерывность в том смысле, что:
- Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любое последующее время.
- Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любое последующее время, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.
Аффинная деформация
Деформация называется аффинной деформацией, если ее можно описать аффинным преобразованием . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (такого как вращение, сдвиг, растяжение и сжатие) и перемещения твердого тела. Аффинные деформации также называют однородными деформациями. [8]
Следовательно, аффинная деформация имеет вид
где x - положение точки в деформированной конфигурации, X - положение в эталонной конфигурации, t - параметр времени, F - линейный преобразователь, а c - перенос. В матричной форме, где компоненты относятся к ортонормированному базису,
Вышеупомянутая деформация становится неаффинной или неоднородной, если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .
Жесткое движение тела
Движение твердого тела - это особая аффинная деформация, которая не включает сдвиг, растяжение или сжатие. Матрица преобразования F является собственной ортогональной , чтобы позволить ротацию , но никаких отражений .
Движение твердого тела можно описать следующим образом:
где
В матричной форме
Смещение
Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела состоит из двух компонентов: смещения твердого тела и деформации. Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела от исходной или недеформированной конфигурации κ 0 ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ t ( B ) (Рисунок 1).
Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет, и говорят, что произошло смещение твердого тела.
Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения u ( X , t ) = u i e i в лагранжевом описании, или U ( x , t ) = U J E J в эйлерово описание.
Поле смещения представляет собой векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем, поле смещения выражается через материальные координаты как
или в терминах пространственных координат как
где α Ji - направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами E J и e i , соответственно. Таким образом
и соотношение между u i и U J определяется выражением
Знаю это
тогда
Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера :
Таким образом, мы имеем
или в терминах пространственных координат как
Тензор градиента смещения
Частичное дифференцирование вектора смещения по координатам материала дает тензор градиента смещения материала ∇ X u . Таким образом, мы имеем:
или же
где F - тензор градиента деформации .
Аналогичным образом , частичная дифференциация вектора смещения по отношению к пространственным координатам дает пространственное перемещение тензора градиента ∇ х U . Таким образом, мы имеем
или же
Примеры деформаций
Однородные (или аффинные) деформации полезны для выяснения поведения материалов. Представляют интерес некоторые однородные деформации.
- равномерное расширение
- чистое расширение
- равноосное растяжение
- простой сдвиг
- чистый сдвиг
Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.
Плоская деформация
Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , - это деформация, при которой деформация ограничивается одной из плоскостей в исходной конфигурации. Если деформация ограничивается плоскостью, описываемой базисными векторами e 1 , e 2 , градиент деформации имеет вид
В матричной форме
Из теоремы о полярном разложении градиент деформации, вплоть до изменения координат, можно разложить на растяжение и вращение. Поскольку вся деформация происходит на плоскости, мы можем написать [8]
где θ - угол поворота, а λ 1 , λ 2 - главные участки .
Изохорная плоская деформация
Если деформация изохорная (с сохранением объема), то det ( F ) = 1 и имеем
В качестве альтернативы,
Простой сдвиг
Простой сдвиг деформация определяются как изохорная деформация плоскости , в которой имеется множество линейных элементов с заданной опорной ориентацией , которые не изменяют длину и ориентацию при деформации. [8]
Если e 1 является фиксированной эталонной ориентацией, при которой линейные элементы не деформируются во время деформации, тогда λ 1 = 1 и F · e 1 = e 1 . Следовательно,
Поскольку деформация изохорная,
Определять
Тогда градиент деформации при простом сдвиге можно выразить как
Сейчас,
С
мы также можем записать градиент деформации как
Смотрите также
- Деформация длинных элементов, таких как балки или стойки, из-за изгибающих сил называется прогибом .
- Теория пучка Эйлера – Бернулли
- Деформация (инженерия)
- Теория конечных деформаций
- Теория бесконечно малых деформаций
- Муаровый узор
- Модуль сдвига
- Напряжение сдвига
- Прочность на сдвиг
- Стресс (механика)
- Стрессовые меры
Рекомендации
- ^ Truesdell, C .; Нолл, В. (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Springer. п. 48.
- ^ Ву, Х.-К. (2005). Механика сплошной среды и пластичность . CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.
- ^ Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (Пересмотренная ред.). Dover Publications. ISBN 0-486-46290-0. Архивировано из оригинального (PDF) 31 марта 2010 года.
- ^ а б Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано 22 декабря 2017 года.
- ↑ «Земля». Британская энциклопедия из DVD Encyclopdia Britannica 2006 Ultimate Reference Suite [2009].
- ^ Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано 22 декабря 2017 года.
- ^ Хенки, Х. (1928). «Улучшенная форма эластичности эластичных элементов идеального эластичного материала». Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
- ^ а б в Огден, Р.В. (1984). Нелинейные упругие деформации . Дувр.
дальнейшее чтение
- Базант, Зденек П .; Седолин, Луиджи (2010). Неустойчивости трехмерного континуума и эффекты тензора конечных деформаций, глава 11 в "Устойчивости структур", 3-е изд . Сингапур, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing. ISBN 9814317039.
- Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость . Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
- Хаттер, Колумбан; Йёнк, Клаус (2004). Континуальные методы физического моделирования . Германия: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
- Jirasek, M; Базант, ЗП (2002). Неупругий анализ конструкций . Лондон и Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
- Любарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности . CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
- Макоско, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . Издатели ВЧ. ISBN 1-56081-579-5.
- Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
- Мейс, Дж. Томас; Мейс, Джордж Э. (1999). Механика сплошной среды для инженеров (2-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
- Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83979-3.
- Прагер, Уильям (1961). Введение в механику сплошных сред . Бостон: ISBN Ginn and Co. 0486438090.