Напряжение сдвига

Напряжение сдвига
Общие символы	$τ$
Единица СИ	паскаль
Производные от других величин	$τ = F / А$

Сила сдвига прилагается к верхней части прямоугольника, в то время как нижняя часть удерживается на месте. Результирующее напряжение сдвига

τ

деформирует прямоугольник в параллелограмм . Соответствующая область будет вершиной параллелограмма.

Напряжение сдвига , часто обозначаемое $τ$ ( греч . Тау ), представляет собой компонент напряжения, копланарный поперечному сечению материала. Это возникает из - за силы сдвига , составляющую силы вектора параллельно к материала поперечного сечения . С другой стороны, нормальное напряжение возникает из-за компонента вектора силы, перпендикулярного поперечному сечению материала, на которое оно действует.

Общее напряжение сдвига [ править ]

Формула для расчета среднего напряжения сдвига - это сила на единицу площади .: ^[1]

{\ displaystyle \ tau = {F \ over A},}

куда:

τ

= напряжение сдвига;

F

= приложенная сила;

A

= площадь поперечного сечения материала с площадью, параллельной вектору приложенной силы.

Другие формы [ править ]

Чистый [ править ]

Чистое напряжение сдвига связано с чистой деформацией сдвига , обозначенной $γ$ , следующим уравнением: ^[2]

{\ Displaystyle \ тау = \ гамма G \,}

где $G$ представляет собой модуль сдвига из изотропного материала, дается

{\ displaystyle G = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}}.}

Здесь $E$ является модуль Юнга и $ν$ является коэффициент Пуассона .

Сдвиг балки [ править ]

Сдвиг балки определяется как внутреннее напряжение сдвига балки, вызванное силой сдвига, приложенной к балке.

{\ displaystyle \ tau = {fQ \ over Ib},}

куда

f

= общая поперечная сила в рассматриваемом месте;

Q

= статический момент площади ;

b

= толщина (ширина) материала перпендикулярно сдвигу;

I

= момент инерции всей площади поперечного сечения.

Формула сдвига балки также известна как формула напряжения сдвига Журавского в честь Дмитрия Ивановича Журавского, который вывел ее в 1855 году. ^[3]^[4]

Полумонококовые ножницы [ править ]

Напряжения сдвига внутри полумонококовой конструкции можно рассчитать путем идеализации поперечного сечения конструкции в виде набора стрингеров (несущих только осевые нагрузки) и перемычек (несущих только сдвиговые потоки ). Разделение сдвигового потока на толщину данной части полумонококовой конструкции дает напряжение сдвига. Таким образом, максимальное напряжение сдвига будет возникать либо в стенке максимального сдвигового потока, либо при минимальной толщине.

Также конструкции в грунте могут разрушиться из-за сдвига; например , вес земляной заполненные плотины или дамбы может привести к недропользованию разрушаться, как небольшой оползень .

Ударный сдвиг [ править ]

Максимальное напряжение сдвига, создаваемое в сплошном круглом стержне, подверженном удару, задается в виде уравнения:

{\ displaystyle \ tau = {\ sqrt {2UG \ over V}},}

куда

U

= изменение кинетической энергии;

G

= модуль сдвига ;

V

= объем стержня;

и

U = U вращается + U применяется

;

U вращается = 1 / 2 Iω 2

;

U применено = Tθ смещено

;

I

= момент инерции массы;

ω

= угловая скорость.

Напряжение сдвига в жидкостях [ править ]

Любые реальные жидкости ( включая жидкости и газы ), движущиеся вдоль твердой границы, будут испытывать на этой границе напряжение сдвига. Условие прилипания ^[5] диктует , что скорость жидкости на границе ( по отношению к границе) равен нулю; хотя на некоторой высоте от границы скорость потока должна равняться скорости жидкости. Область между этими двумя точками называется пограничным слоем . Для всех ньютоновских жидкостей в ламинарном потоке напряжение сдвига пропорционально скорости деформации в жидкости, где вязкость является константой пропорциональности. Для неньютоновских жидкостей , товязкость непостоянна. Напряжение сдвига передается на границу в результате этой потери скорости.

Для ньютоновской жидкости напряжение сдвига на элементе поверхности, параллельном плоской пластине, в точке $y$ определяется выражением:

{\ Displaystyle \ тау (у) = \ му {\ гидроразрыва {\ partial u} {\ partial y}}}

куда

μ

- динамическая вязкость потока;

u

- скорость потока вдоль границы;

y

- высота над границей.

В частности, напряжение сдвига стенки определяется как:

{\ Displaystyle \ тау _ {\ mathrm {ш}} \ эквив \ тау (у = 0) = \ му \ влево. {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ right | _ {y = 0 } ~~.}

Основной закон Ньютона для любой общей геометрии (включая плоскую пластину, упомянутую выше) утверждает, что тензор сдвига (тензор второго порядка) пропорционален градиенту скорости потока (скорость является вектором, поэтому его градиент является второстепенным. тензор порядка):

{\ Displaystyle \ mathbf {\ тау} ({\ vec {u}}) = \ му \ набла {\ vec {u}}}

а константа пропорциональности называется динамической вязкостью . Для изотропного ньютоновского потока это скаляр, а для анизотропного ньютоновского потока он также может быть тензором второго порядка. Фундаментальный аспект заключается в том, что для ньютоновской жидкости динамическая вязкость не зависит от скорости потока (т. Е. Основной закон напряжения сдвига является линейным ), в то время как для неньютоновских течений это неверно, и следует учитывать изменение:

{\ Displaystyle \ mathbf {\ тау} ({\ vec {u}}) = \ му ({\ vec {u}}) \ nabla {\ vec {u}}}

Вышеупомянутая формула больше не является законом Ньютона, а является общим тензорным тождеством: всегда можно найти выражение вязкости как функции скорости потока при любом выражении напряжения сдвига как функции скорости потока. С другой стороны, учитывая напряжение сдвига как функцию скорости потока, оно представляет ньютоновский поток только в том случае, если его можно выразить как константу для градиента скорости потока. Константа, которую можно найти в этом случае, - это динамическая вязкость потока.

Пример [ править ]

Рассматривая двумерное пространство в декартовых координатах (x, y) (компоненты скорости потока соответственно (u, v)), матрица касательных напряжений определяется выражением:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ tau _ {xx} & \ tau _ {xy} \\\ tau _ {yx} & \ tau _ {yy} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & 0 \\ 0 & -t {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ end {pmatrix}}}

представляет собой ньютоновский поток, фактически его можно выразить как:

{\begin{pmatrix}\tau _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\tau _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\0&-t\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}

,

т.е. анизотропное течение с тензором вязкости:

{\begin{pmatrix}\mu _{xx}&\mu _{xy}\\\mu _{yx}&\mu _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\0&-t\end{pmatrix}}

который является неоднородным (зависит от пространственных координат) и нестационарным, но, соответственно, не зависит от скорости потока:

\mathbf {\mu } (x,t)={\begin{pmatrix}x&0\\0&-t\end{pmatrix}}

Следовательно, этот поток является ньютоновским. С другой стороны, поток, в котором вязкость была:

{\begin{pmatrix}\mu _{xx}&\mu _{xy}\\\mu _{yx}&\mu _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{u}}&0\\0&{\frac {1}{u}}\end{pmatrix}}

является неньютоновским, поскольку вязкость зависит от скорости потока. Этот неньютоновский поток изотропен (матрица пропорциональна единичной матрице), поэтому вязкость является просто скаляром:

\mu (u)={\frac {1}{u}}

Измерение с помощью датчиков [ править ]

Датчик напряжения сдвига расходящейся кромки [ править ]

Это соотношение можно использовать для измерения напряжения сдвига стенки. Если бы датчик мог непосредственно измерять градиент профиля скорости у стенки, то умножение на динамическую вязкость дало бы напряжение сдвига. Такой датчик продемонстрировали А. А. Накви и В. К. Рейнольдс. ^[6] Интерференционная картина, генерируемая при передаче луча света через две параллельные щели, образует сеть линейно расходящихся полос, которые, кажется, исходят из плоскости двух щелей (см. Эксперимент с двумя щелями.). Когда частица в жидкости проходит через полосы, приемник обнаруживает отражение полосы. Сигнал может быть обработан, и, зная угол полосы, высоту и скорость частицы можно экстраполировать. Измеренное значение градиента скорости стенки не зависит от свойств жидкости и, как следствие, не требует калибровки. Последние достижения в технологии изготовления микрооптики сделали возможным использование интегрированного дифракционного оптического элемента для изготовления датчиков напряжения сдвига с расходящейся полосой, которые можно использовать как в воздухе, так и в жидкости. ^[7]

Датчик напряжения сдвига на микростолбах [ править ]

Еще один метод измерения заключается в использовании тонких настенных микростолб, изготовленных из гибкого полимерного ПДМС, которые изгибаются в ответ на приложение сил сопротивления вблизи стены. Таким образом, датчик относится к принципам косвенного измерения, основанным на соотношении между градиентами скорости у стенки и локальным напряжением сдвига у стенки. ^[8]^[9]

См. Также [ править ]

Критическое разрешенное напряжение сдвига
Испытание на прямой сдвиг
Диаграммы сдвига и момента
Скорость сдвига
Деформация сдвига
Прочность на сдвиг
Растягивающее напряжение
Испытание на трехосный сдвиг

Ссылки [ править ]

^ Hibbeler, RC (2004). Механика материалов . Нью-Джерси США: Pearson Education. п. 32. ISBN 0-13-191345-X.
^ «Сопротивление материалов» . Eformulae.com . Проверено 24 декабря 2011 года .
^ Лекция Формула Журавского[Формула Журавского]. Сопромат Лекция (на русском языке ) . Проверено 26 февраля 2014 .
^ "Изгиб балок" (PDF) . Лекции по машиностроению . Университет Макмастера . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Дэй, Майкл А. (2004), Условие прилипания гидродинамики , Springer, Нидерланды, стр. 285–296, ISSN 0165-0106 .
^ Накви, AA; Рейнольдс, WC (январь 1987 г.), "Двойной цилиндрический волновой лазерно-доплеровский метод измерения поверхностного трения в потоке жидкости", Технический отчет NASA STI / Recon N , 87
^ {Датчик напряжения сдвига microS, MSE}
^ Große, S .; Шредер, В. (2009), «Двумерная визуализация турбулентного сдвигового напряжения стенки с помощью микростолбиков», AIAA Journal , 47 (2): 314–321, Bibcode : 2009AIAAJ..47..314G , doi : 10.2514 / 1.36892
^ Große, S .; Шредер, В. (2008), "Динамический Уолл-касательное напряжение Измерения в турбулентном трубе с помощью Micro-Столб датчик MPS ³ ", Международный журнал тепла и потока жидкости , 29 (3): 830-840, DOI : 10.1016 / j.ijheatfluidflow.2008.01.008

[1] Hibbeler, RC (2004). Механика материалов . Нью-Джерси США: Pearson Education. п. 32. ISBN 0-13-191345-X.

[2] «Сопротивление материалов» . Eformulae.com . Проверено 24 декабря 2011 года .

[3] Лекция Формула Журавского[Формула Журавского]. Сопромат Лекция (на русском языке ) . Проверено 26 февраля 2014 .

[4] "Изгиб балок" (PDF) . Лекции по машиностроению . Университет Макмастера . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[5] Дэй, Майкл А. (2004), Условие прилипания гидродинамики , Springer, Нидерланды, стр. 285–296, ISSN 0165-0106 .

[6] Накви, AA; Рейнольдс, WC (январь 1987 г.), "Двойной цилиндрический волновой лазерно-доплеровский метод измерения поверхностного трения в потоке жидкости", Технический отчет NASA STI / Recon N , 87

[7] {Датчик напряжения сдвига microS, MSE}

[8] Große, S .; Шредер, В. (2009), «Двумерная визуализация турбулентного сдвигового напряжения стенки с помощью микростолбиков», AIAA Journal , 47 (2): 314–321, Bibcode : 2009AIAAJ..47..314G , doi : 10.2514 / 1.36892

[9] Große, S .; Шредер, В. (2008), "Динамический Уолл-касательное напряжение Измерения в турбулентном трубе с помощью Micro-Столб датчик MPS ³ ", Международный журнал тепла и потока жидкости , 29 (3): 830-840, DOI : 10.1016 / j.ijheatfluidflow.2008.01.008

[1]