Модуль для младших , То модуль Юнга , или модуль упругости при растяжении, представляет собой механическое свойство , которое измеряет растяжение жесткости из твердого материала. Он количественно определяет взаимосвязь между растягивающим напряжением (сила на единицу площади) и осевая деформация (пропорциональная деформация) в линейно-упругой области материала и определяется по формуле: [1]
Модули Юнга обычно настолько велики, что выражаются не в паскалях, а в гигапаскалях (ГПа).
Хотя модуль Юнга назван в честь британского ученого 19 века Томаса Янга , его концепция была разработана в 1727 году Леонардом Эйлером . Первые эксперименты, в которых использовалась концепция модуля Юнга в его нынешнем виде, были выполнены итальянским ученым Джордано Риккати в 1782 году, на 25 лет раньше, чем работа Юнга . [2] Термин модуль является производным от латинского термина корня модуса что означает меру .
Определение
Линейная эластичность
Твердый материал будет подвергаться упругой деформации при приложении к нему небольшой нагрузки при сжатии или растяжении. Упругая деформация обратима (материал возвращается к исходной форме после снятия нагрузки).
При почти нулевых напряжениях и деформациях кривая напряжения и деформации является линейной , а связь между напряжением и деформацией описывается законом Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности - это модуль Юнга. Чем выше модуль, тем большее напряжение необходимо для создания такой же степени деформации; идеализированное твердое тело имело бы бесконечный модуль Юнга. И наоборот, очень мягкий материал, такой как жидкость, деформируется без силы и будет иметь нулевой модуль Юнга.
Не многие материалы являются линейными и эластичными за пределами небольшой деформации. [ необходима цитата ]
Примечание
Не следует путать жесткость материала с этими свойствами:
- Прочность : максимальное напряжение, которое может выдержать материал в режиме упругой (обратимой) деформации;
- Геометрическая жесткость: общая характеристика тела, которая зависит от его формы, а не только от локальных свойств материала; например, двутавровая балка имеет более высокую жесткость на изгиб, чем стержень из того же материала при заданной массе на длину;
- Твердость : относительное сопротивление поверхности материала проникновению более твердым телом;
- Прочность : количество энергии, которое материал может поглотить до разрушения.
Применение
Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размеров стержня из изотропного упругого материала под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Например, он предсказывает, насколько образец материала растягивается при растяжении или укорачивается при сжатии. Модуль Юнга напрямую применим к случаям одноосного напряжения; то есть растягивающее или сжимающее напряжение в одном направлении и отсутствие напряжения в других направлениях. Модуль Юнга также используется для прогнозирования прогиба, который произойдет в статически определенной балке, когда нагрузка приложена в точке между опорами балки.
Другие расчеты упругости обычно требуют использования одного дополнительного упругого свойства, например модуля сдвига. , модуль объемной упругости , и коэффициент Пуассона . Любых двух из этих параметров достаточно для полного описания упругости изотропного материала. Для однородных изотропных материалов существуют простые соотношения между упругими постоянными, которые позволяют вычислить их все, если известны два:
Линейный против нелинейного
Модуль Юнга представляет собой коэффициент пропорциональности в законе Гука , который связывает напряжение и деформацию. Однако закон Гука действителен только в предположении упругого и линейного отклика. Любой настоящий материал в конечном итоге разрушится и сломается при растяжении на очень большом расстоянии или с очень большой силой; однако все твердые материалы демонстрируют почти гуковское поведение при достаточно малых деформациях или напряжениях. Если диапазон, в котором действует закон Гука, достаточно велик по сравнению с типичным напряжением, которое ожидается приложить к материалу, материал называется линейным. В противном случае (если типичное прикладываемое напряжение выходит за пределы линейного диапазона) материал называется нелинейным.
Сталь , углеродное волокно и стекло обычно считаются линейными материалами, в то время как другие материалы, такие как резина и грунт, являются нелинейными. Однако это не абсолютная классификация: если к нелинейному материалу приложены очень небольшие напряжения или деформации, реакция будет линейной, но если к линейному материалу будут приложены очень высокие напряжения или деформации, линейная теория не будет применяться. достаточно. Например, поскольку линейная теория подразумевает обратимость , было бы абсурдно использовать линейную теорию для описания разрушения стального моста под высокой нагрузкой; Хотя сталь является линейным материалом для большинства применений, в таком случае катастрофического разрушения не происходит.
В механике деформируемого твердого тела наклон кривой напряжения – деформации в любой точке называется касательным модулем . Его можно экспериментально определить по наклону кривой зависимости напряжения от деформации, полученной во время испытаний на растяжение, проведенных на образце материала.
Направленные материалы
Модуль Юнга не всегда одинаков для всех ориентаций материала. Большинство металлов и керамики, как и многие другие материалы, изотропны , и их механические свойства одинаковы во всех ориентациях. Однако металлы и керамику можно обрабатывать определенными примесями, а металлы можно обрабатывать механически, чтобы сделать их зернистую структуру направленной. Затем эти материалы становятся анизотропными , и модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы. [3] Анизотропия также наблюдается во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга (намного жестче), когда сила прикладывается параллельно волокнам (вдоль волокон). Другие такие материалы включают дерево и железобетон . Инженеры могут использовать это явление направленности в своих интересах при создании конструкций.
Температурная зависимость
Модуль Юнга металлов изменяется в зависимости от температуры и может быть реализован за счет изменения межатомных связей атомов, и, следовательно, его изменение, как обнаружено, зависит от изменения работы выхода металла. Хотя классически это изменение предсказывается путем подгонки и без четкого основного механизма (например, формулы Вочмана), модель Рахеми-Ли [4] демонстрирует, как изменение работы выхода электрона приводит к изменению модуля Юнга металлов. и предсказывает это изменение с вычисляемыми параметрами, используя обобщение потенциала Леннарда-Джонса на твердые тела. Как правило, с повышением температуры модуль Юнга уменьшается на величину Где работа выхода электрона изменяется в зависимости от температуры как а также - это вычисляемое свойство материала, которое зависит от кристаллической структуры (например, BCC, FCC). - работа выхода электрона при T = 0 и постоянно на протяжении всего изменения.
Расчет
Модуль Юнга E можно рассчитать, разделив растягивающее напряжение ,, По ENGINEERING экстенсиональном деформации ,, на упругом (начальном, линейном) участке кривой физического напряжения – деформации :
где
- модуль Юнга (модуль упругости)
- сила, действующая на объект, находящийся под напряжением;
- - фактическая площадь поперечного сечения, равная площади поперечного сечения, перпендикулярного приложенной силе;
- - величина, на которую изменяется длина объекта ( положительный, если материал растянут, и отрицательный, если материал сжимается);
- - исходная длина объекта.
Сила, оказываемая растянутым или сжатым материалом
Модуль Юнга материала можно использовать для расчета силы, которую он проявляет при определенной деформации.
где сила, прилагаемая материалом при сжатии или растяжении .
Закон Гука для растянутой проволоки можно вывести из этой формулы:
где дело доходит до насыщенности
- а также
Но учтите, что упругость витых пружин зависит от модуля сдвига , а не от модуля Юнга. [ необходима цитата ]
Упругая потенциальная энергия
Упругая потенциальная энергия хранится в линейном упругом материале дается интегралом от закона Гука:
теперь, объясняя интенсивные переменные:
Это означает, что плотность упругой потенциальной энергии (то есть на единицу объема) определяется как:
или, говоря простыми обозначениями, для линейно-упругого материала: , поскольку деформация определяется .
В нелинейно-упругом материале модуль Юнга является функцией деформации, поэтому вторая эквивалентность больше не выполняется, и упругая энергия не является квадратичной функцией деформации:
Приблизительные значения
Модуль Юнга может несколько отличаться из-за различий в составе образцов и методах испытаний. Скорость деформации имеет наибольшее влияние на собираемые данные, особенно в полимерах. Значения здесь приблизительные и предназначены только для относительного сравнения.
Материал | Модуль Юнга ( ГПа) | Мегапунт на квадратный дюйм ( M psi ) [5] | Ref. |
---|---|---|---|
Алюминий ( 13 Al) | 68 | 9,86 | [6] [7] [8] [9] [10] [11] |
Молекулярные кристаллы аминокислот | 21–44 | 3,05 - 6,38 | [12] |
Арамид (например, Кевлар ) | 70,5 - 112,4 | 10,2 - 16,3 | [13] |
Ароматические пептиды-наносферы | 230 - 275 | 33,4 - 39,9 | [14] |
Ароматические пептиды-нанотрубки | 19 - 27 | 2,76 - 3,92 | [15] [16] |
Капсиды бактериофагов | 1–3 | 0,145 - 0,435 | [17] |
Бериллий ( 4 Be) | 287 | 41,6 | [18] |
Кость , кортикальный слой человека | 14 | 2,03 | [19] |
Латунь | 106 | 15.4 | [20] |
Бронза | 112 | 16,2 | [21] |
Нитрид углерода (CN 2 ) | 822 | 119 | [22] |
Пластмасса, армированная углеродным волокном (CFRP), волокно 50/50 / матрица, двухосная ткань | 30–50 | 4,35–7,25 | [23] |
Пластик, армированный углеродным волокном (CFRP), волокно 70/30 / матрица, однонаправленный, вдоль волокна | 181 | 26,3 | [24] |
Кобальт-хром (CoCr) | 230 | 33,4 | [25] |
Медь (Cu), отожженная | 110 | 16 | [26] |
Алмаз (C), синтетический | 1050–1210 | 152 - 175 | [27] |
Створки диатомовых водорослей , в основном кремниевая кислота | 0,35 - 2,77 | 0,051 - 0,058 | [28] |
Льняное волокно | 58 | 8,41 | [29] |
Стеклянный поплавок | 47,7 - 83,6 | 6,92 - 12,1 | [30] |
Полиэстер, армированный стекловолокном (GRP) | 17,2 | 2,49 | [31] |
Графен | 1050 | 152 | [32] |
Конопляное волокно | 35 год | 5,08 | [33] |
Полиэтилен высокой плотности (HDPE) | 0,97 - 1,38 | 0,141 - 0,2 | [34] |
Бетон высокопрочный | 30 | 4,35 | [35] |
Свинец ( 82 Pb), химический | 13 | 1,89 | [11] |
Полиэтилен низкой плотности (LDPE), формованный | 0,228 | 0,0331 | [36] |
Магниевый сплав | 45,2 | 6,56 | [37] |
Древесноволокнистая плита средней плотности (МДФ) | 4 | 0,58 | [38] |
Молибден (Мо), отожженный | 330 | 47,9 | [39] [7] [8] [9] [10] [11] |
Монель | 180 | 26,1 | [11] |
Перламутр (в основном карбонат кальция ) | 70 | 10.2 | [40] |
Никель ( 28 Ni), технический | 200 | 29 | [11] |
Нейлон 66 | 2,93 | 0,425 | [41] |
Осмий ( 76 Os) | 525–562 | 76,1 - 81,5 | [42] |
Нитрид осмия (OsN 2 ) | 194,99 - 396,44 | 28,3 - 57,5 | [43] |
Поликарбонат (ПК) | 2.2 | 0,319 | [44] |
Полиэтилентерефталат (ПЭТ), неармированный | 3,14 | 0,455 | [45] |
Полипропилен (PP), формованный | 1,68 | 0,244 | [46] |
Полистирол , хрусталь | 2,5 - 3,5 | 0,363 - 0,508 | [47] |
Полистирол , пенопласт | 0,0025 - 0,007 | 0,000363 - 0,00102 | [48] |
Политетрафторэтилен (ПТФЭ), формованный | 0,564 | 0,0818 | [49] |
Резина , небольшая деформация | 0,01 - 0,1 | 0,00145 - 0,0145 | [12] |
Кремний , монокристалл, разные направления | 130 - 185 | 18,9 - 26,8 | [50] |
Карбид кремния (SiC) | 90 - 137 | 13,1 - 19,9 | [51] |
Одностенные углеродные нанотрубки | 1000 | 140 | [52] [53] |
Сталь , А36 | 200 | 29 | [54] |
Волокно крапивы двудомной | 87 | 12,6 | [29] |
Титан ( 22 Ti) | 116 | 16,8 | [55] [56] [7] [9] [8] [11] [10] |
Титановый сплав , марка 5 | 114 | 16,5 | [57] |
Эмаль зубов , в основном фосфат кальция | 83 | 12 | [58] |
Карбид вольфрама (WC) | 600–686 | 87 - 99,5 | [59] |
Дерево , бук американский | 9,5 - 11,9 | 1,38 - 1,73 | [60] |
Дерево , черная вишня | 9 - 10,3 | 1,31 - 1,49 | [60] |
Дерево , красный клен | 9,6 - 11,3 | 1,39 - 1,64 | [60] |
Кованое железо | 193 | 28 год | [61] |
Железо-иттриевый гранат (ЖИГ), поликристаллический | 193 | 28 год | [62] |
Железо-иттриевый гранат (ЖИГ), монокристалл | 200 | 29 | [63] |
Цинк ( 30 Zn) | 108 | 15,7 | [64] |
Цирконий ( 40 Zr) технический | 95 | 13,8 | [11] |
Смотрите также
- Жесткость на изгиб
- Прогиб
- Деформация
- Модуль упругости при изгибе
- Закон Гука
- Техника импульсного возбуждения
- Список свойств материалов
- Доходность (инженерная)
Рекомендации
- ^ Jastrzębski, D. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). John Wiley & Sons, Inc.
- ^ Рациональной механики гибких или упругих тел, 1638-1788 : Введение в Leonhardi Euleri Opera Omnia, т. X и XI, Seriei Secundae. Орелл Фуссли.
- ^ Городцов В.А.; Лисовенко Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. DOI : 10.1016 / j.mechmat.2019.03.017 .
- ^ Рахеми, Реза; Ли, Дунъян (апрель 2015 г.). «Изменение работы выхода электрона с температурой и его влияние на модуль Юнга металлов». Scripta Materialia . 99 (2015): 41–44. arXiv : 1503.08250 . Bibcode : 2015arXiv150308250R . DOI : 10.1016 / j.scriptamat.2014.11.022 . S2CID 118420968 .
- ^ «Конвертер единиц измерения» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Алюминий, Al» . MatLab . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ а б в Уист, Роберт С. (1981). CRC Справочник по химии и физике (62-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . DOI : 10.1002 / jctb.280500215 . ISBN 978-0-84-930740-9.
- ^ а б в Росс, Роберт Б. (1992). Справочник спецификаций металлических материалов (4-е изд.). Лондон: Чепмен и Холл . DOI : 10.1007 / 978-1-4615-3482-2 . ISBN 9780412369407.
- ^ а б в Нуньес, Рафаэль; Адамс, JH; Аммонс, Митчелл; и другие. (1990). Том 2: Свойства и выбор: цветные сплавы и материалы специального назначения (PDF) . Справочник ASM (10-е изд.). ASM International . ISBN 978-0-87170-378-1.
- ^ а б в Наяр, Алок (1997). The Metals Databook . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-462300-8.
- ^ Б с д е е г Лиде, Дэвид Р., изд. (1999). «Товарные металлы и сплавы». Справочник CRC по химии и физике (PDF) (80-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . ISBN 978-0-84-930480-4.
- ^ а б Азури, Идо; Меирзаде, Елена; Эре, Дэвид; и другие. (9 ноября 2015 г.). «Необычно большие модули Юнга аминокислотных молекулярных кристаллов» (PDF) . Angewandte Chemie (международное издание). Вайли . 54 (46): 13566–13570. DOI : 10.1002 / anie.201505813 . PMID 26373817 . S2CID 13717077 - через PubMed .
- ^ «Техническое руководство по кевларовому арамидному волокну» (PDF) . DuPont . 2017 . Проверено 8 мая 2021 года .
- ^ Адлер-Абрамович, Лихи; Коль, Ницан; Янаи, Инбал; и другие. (17 декабря 2010 г.). «Самособирающиеся органические наноструктуры с металлической жесткостью». Angewandte Chemie (международное издание). Wiley-VCH (опубликовано 28 сентября 2010 г.). 49 (51): 9939–9942. DOI : 10.1002 / anie.201002037 . PMID 20878815 - через онлайн-библиотеку Wiley .
- ^ Коль, Ницан; Адлер-Абрамович, Лихи; Барлам, Дэвид; и другие. (8 июня 2005 г.). «Самособирающиеся пептидные нанотрубки представляют собой уникальные жесткие биоинспирированные супрамолекулярные структуры» . Нано-буквы . Израиль: Американское химическое общество . 5 (7): 1343–1346. Bibcode : 2005NanoL ... 5.1343K . DOI : 10.1021 / nl0505896 . PMID 16178235 - через публикации ACS .
- ^ Ню, Лицзян; Чен, Синьюн; Аллен, Стефани; и другие. (6 июня 2007 г.). «Использование модели изгибающейся балки для оценки эластичности дифенилаланиновых нанотрубок» . Ленгмюра . Американское химическое общество . 23 (14): 7443–7446. DOI : 10.1021 / la7010106 . PMID 17550276 - через публикации ACS .
- ^ Ивановская, Ирена Л .; де Пабло, Педро Дж .; Ибарра, Бенджамин; и другие. (7 мая 2004 г.). Любенский, Том С. (ред.). «Капсиды бактериофагов: прочные нанооболочки со сложными эластичными свойствами» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Национальная академия наук . 101 (20): 7600–7605. Bibcode : 2004PNAS..101.7600I . DOI : 10.1073 / pnas.0308198101 . PMC 419652 . PMID 15133147 - через Национальный центр биотехнологической информации .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ Фоли, Джеймс С.; Abeln, Stephen P .; Stanek, Paul W .; и другие. (2010). «Обзор современных исследований и производственной практики порошковой металлургии». В маркиза, Фернан Д.С. (ред.). Порошковые материалы: современные исследования и производственная практика III . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., стр. 263. DOI : 10.1002 / 9781118984239.ch32 . ISBN 978-1-11-898423-9.
- ^ Ро, Джэ Ён; Эшман, Ричард Б .; Тернер, Чарльз Х. (февраль 1993 г.). «Модуль Юнга губчатого и кортикального костного материала: ультразвуковые и микротензионные измерения» . Журнал биомеханики . Эльзевир . 26 (2): 111–119. DOI : 10.1016 / 0021-9290 (93) 90042-й . PMID 8429054 - через Elsevier Science Direct .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ «Обзор материалов для латуни» . MatWeb . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ «Обзор материалов для бронзы» . MatWeb . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ Чоудхури, Шафиул; Laugier, Майкл Т .; Рахман, Исмет Закия (апрель – август 2004 г.). «Измерение механических свойств тонких пленок нитрида углерода по кривой нагрузки наноиндентирования». Алмазы и сопутствующие материалы . 13 (4–8): 1543–1548. doi : 10.1016 / j.diamond.2003.11.063 - через Elsevier Science Direct .
- ^ Саммерскейлз, Джон (11 сентября 2019 г.). «Дизайн и производство композитов (учебно-методические материалы Плимутского университета)» . Центр производства перспективных композитов . Плимутский университет . Проверено 8 мая 2021 года .
- ^ Копелиович, Дмитрий (3 июня 2012 г.). «Эпоксидно-матричный композит, армированный 70% углеродными волокнами» . SubsTech . Проверено 8 мая 2021 года .
- ^ Бозе, Сусмита; Банерджи, Дишари; Bandyopadhyay, Амит (2016). «Введение в биоматериалы и устройства для лечения заболеваний костей». В Бозе, Сусмита; Bandyopadhyay, Amit (ред.). Материалы для заболеваний костей . Академическая пресса . С. 1–27. DOI : 10.1016 / B978-0-12-802792-9.00001-X . ISBN 978-0-12-802792-9.
- ^ «Медь, Cu; отожженная» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Копье, Карл Э .; Dismukes, Джон П., ред. (1994). Синтетический алмаз: новые исследования в области сердечно-сосудистых заболеваний и технологий . Вайли . п. 315. ISBN 978-0-47-153589-8. ISSN 0275-0171 .
- ^ Субхаш, Гату; Яо, Шухуай; Беллинджер, Брент; Гретц, Майкл Р. (январь 2005 г.). «Исследование механических свойств панцирей диатомовых водорослей методом наноиндентирования». Журнал нанонауки и нанотехнологий . Американские научные издательства. 5 (1): 50–56. DOI : 10,1166 / jnn.2005.006 . PMID 15762160 - через Ingenta Connect .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ а б Бодрос, Эдвин; Бейли, Кристоф (15 мая 2008 г.). «Изучение свойств растяжения волокон крапивы двудомной ( Urtica dioica )». Материалы Письма . 62 (14): 2143–2145. CiteSeerX 10.1.1.299.6908 . doi : 10.1016 / j.matlet.2007.11.034 - через Elsevier Science Direct .
- ^ «Флоат-стекло - свойства и применение» . Материалы AZO . 16 февраля 2001 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Копелиович, Дмитрий (6 марта 2012 г.). «Полиэстер Матрица композитный армированного стекловолокном (стеклопластика)» . SubsTech . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ Лю, Фанг; Мин, пинбинь; Ли, Цзюй (28 августа 2007 г.). « Ab initio расчет идеальной прочности и фононной неустойчивости графена при растяжении» (PDF) . Physical Review B . Американское физическое общество . 76 (6): 1–7. doi : 10.1103 / PhysRevB.76.064120 - через APS Physics .
- ^ Сахеб, Наби; Джог, Джоти (15 октября 1999 г.). «Полимерные композиты из натуральных волокон: обзор» . Достижения в полимерной технологии . Джон Уайли и сыновья, Inc. 18 (4): 351–363. doi : 10.1002 / (SICI) 1098-2329 (199924) 18: 4 <351 :: AID-ADV6> 3.0.CO; 2-X - через онлайн-библиотеку Wiley .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ «Полиэтилен высокой плотности (HDPE)» . База данных полимеров . Химический поиск в Интернете . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Кардарелли, Франсуа (2008). «Цементы, бетон, строительные камни и строительные материалы». Справочник по материалам: Краткий настольный справочник (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . С. 1421–1439. DOI : 10.1007 / 978-3-319-38925-7_15 . ISBN 978-3-319-38923-3.
- ^ «Обзор материалов для литого полиэтилена низкой плотности (LDPE)» . MatWeb . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ «Обзор материалов для магниевого сплава» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Древесноволокнистая плита средней плотности (МДФ)» . MakeItFrom . 30 мая 2020 . Проверено 8 мая 2021 года .
- ^ «Молибден, Мо, отожженный» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Джексон, Эндрю П .; Винсент, Джулиан Ф.В.; Тернер, РМ (22 сентября 1988 г.). «Механический дизайн из перламутра». Труды Королевского общества B . Королевское общество . 234 (1277): 415–440. Bibcode : 1988RSPSB.234..415J . DOI : 10,1098 / rspb.1988.0056 . eISSN 2053-9193 . ISSN 0080-4649 . S2CID 135544277 - через The Royal Society Publishing .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ «Nylon® 6/6 (Полиамид)» . Poly-Tech Industrial, Inc . 2011 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Панди, Дхармендра Кумар; Сингх, Деврадж; Ядава, Прамод Кумар (2 апреля 2009 г.). «Ультразвуковое исследование осмия и рутения» (PDF) . Обзор платиновых металлов . Джонсон Матти . 53 (4): 91–97. DOI : 10.1595 / 147106709X430927 . Проверено 7 мая 2021 г. - через Ingenta Connect .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ Гайак, Ромен; Кудер, Франсуа-Ксавье (26 июля 2020 г.). «ELATE: Анализ тензора упругости» . ELATE . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Поликарбонат» . DesignerData . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Обзор материалов для полиэтилентерефталата (ПЭТ), неармированный» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Обзор материалов для формованного полипропилена» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Модуль Юнга: единицы упругости при растяжении, факторы и таблица материалов» . Омнексус . SpecialChem . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Технические данные - Рекомендации по применению» . Стрёдур . BASF . Август 2019 . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ «Обзор материалов для литого политетрафторэтилена (ПТФЭ)» . MatWeb . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Boyd, Euan J .; Уттамчандани, Дипак (2012). «Измерение анизотропии модуля Юнга в монокристаллическом кремнии». Журнал микроэлектромеханических систем . Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике . 21 (1): 243–249. DOI : 10.1109 / JMEMS.2011.2174415 . eISSN 1941-0158 . ISSN 1057-7157 . S2CID 39025763 - через IEEE Xplore .
- ^ «Свойства и применение карбида кремния (SiC)» . Материалы AZO . 5 февраля 2001 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Форро, Ласло; Сальвета, Жан-Поль; Бонар, Жан-Марк; и другие. (Январь 2002 г.). Торп, Майкл Ф .; Томанек, Дэвид; Энбоди, Ричард Дж. (Ред.). «Электронные и механические свойства углеродных нанотрубок» . Наука и применение нанотрубок . Основы материаловедения. Бостон, Массачусетс: Springer : 297–320. DOI : 10.1007 / 0-306-47098-5_22 . ISBN 978-0-306-46372-3- через ResearchGate .
- ^ Ян, И-Сюань; Ли, Вэньчжи (24 января 2011 г.). «Радиальная упругость однослойной углеродной нанотрубки, измеренная методом атомно-силовой микроскопии». Письма по прикладной физике . Американский институт физики . 98 (4): 041901. Bibcode : 2011ApPhL..98d1901Y . DOI : 10.1063 / 1.3546170 .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ «ASTM A36 Мягкая / низкоуглеродистая сталь» . Материалы AZO . 5 июля 2012 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ «Титан, Ti» . MatWeb . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ Бойер, Родни; Велш, Герхард; Коллингс, Эдвард В., ред. (1994). Справочник свойств материалов: титановые сплавы . Парк материалов, Огайо: ASM International . ISBN 978-0-87-170481-8.
- ^ US Titanium Industry Inc. (30 июля 2002 г.). «Титановые сплавы - Ti6Al4V Grade 5» . Материалы AZO . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Стейнс, Майкл; Робинсон, WH; Худ, JAA (сентябрь 1981 г.). «Сферическое вдавливание зубной эмали». Журнал материаловедения . Springer . 16 (9): 2551–2556. Bibcode : 1981JMatS..16.2551S . DOI : 10.1007 / bf01113595 . S2CID 137704231 - через Springer Link .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
- ^ «Карбид вольфрама - обзор» . Материалы AZO . 21 января 2002 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ а б в Грин, Дэвид В .; Winandy, Jerrold E .; Кречманн, Дэвид Э. (1999). «Механические свойства древесины». Справочник по дереву: древесина как инженерный материал (PDF) . Мэдисон, Висконсин: Лаборатория лесных товаров . С. 4–8.
- ^ «Кованое железо - свойства и применение» . Материалы AZO . 13 августа 2013 . Проверено 9 мая 2021 года .
- ^ Чжоу, Хун-Мин; Case, ED (ноябрь 1988 г.). «Определение некоторых механических свойств поликристаллического железо-иттриевого граната (ЖИГ) неразрушающими методами». Журнал материаловедения писем . 7 (11): 1217–1220. DOI : 10.1007 / BF00722341 . S2CID 135957639 - через SpringerLink .
- ^ «Гранат иттриевый железный» . Deltronic Кристалл Industries, Inc . Проверено 7 мая 2021 года .
- ^ «Введение в цинк» . Материалы AZO . 23 июля 2001 . Проверено 9 мая 2021 года .
дальнейшее чтение
- ASTM E 111, «Стандартный метод испытаний модуля Юнга, модуля упругости по касательной и модуля хорды»
- ASM Handbook (различные тома) содержит модуль Юнга для различных материалов и информации о расчетах. Онлайн-версия (требуется подписка)
Внешние ссылки
- Matweb: бесплатная база данных инженерных свойств для более чем 115 000 материалов
- Модуль Юнга для групп материалов и их стоимость.
Формулы преобразования | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам. | |||||||
Заметки | |||||||
Есть два верных решения. | |||||||
Не может использоваться, когда | |||||||