Объемный модуль

Иллюстрация равномерного сжатия

Объемный модуль упругости ( или ) вещества является мерой того , насколько устойчивым к сжатию , что вещество. Он определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к результирующему относительному уменьшению объема . ^[1] Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжения : модуль сдвига описывает реакцию на сдвиг, а модуль Юнга описывает реакцию на линейное напряжение. Для жидкости значение имеет только модуль объемной упругости. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как${\ displaystyle K}$${\ displaystyle B}$ дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации, чтобы описать его поведение, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука .

Определение [ править ]

Объемный модуль упругости можно формально определить уравнением${\ displaystyle K> 0}$

${\ displaystyle K = -V {\ frac {dP} {dV}}}$

где - давление, - начальный объем вещества, а обозначает производную давления по объему. Учитывая единицу массы,${\ displaystyle P}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle dP / dV}$

${\ Displaystyle К = \ ро {\ гидроразрыва {дП} {д \ ро}}}$

где ρ - начальная плотность, а d P / d ρ обозначает производную давления по плотности (т.е. скорость изменения давления в зависимости от объема). Обратный модуль объемного сжатия дает сжимаемость вещества .

Термодинамическое соотношение [ править ]

Строго говоря, объемный модуль упругости является термодинамической величиной, и для того, чтобы указать объемный модуль, необходимо указать, как давление изменяется во время сжатия: постоянная температура (изотермическая ), постоянная энтропия ( изэнтропическая ) и другие варианты возможны. . Такие различия особенно актуальны для газов .${\ displaystyle K_ {T}}$ ${\ displaystyle K_ {S}}$

Для идеального газа изэнтропический процесс имеет:

${\ Displaystyle PV ^ {\ gamma} = const. \, \ Rightarrow P \ propto \ left ({\ frac {1} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ propto \ rho ^ {\ gamma}, }$

поэтому изоэнтропический модуль объемной упругости определяется как:${\ displaystyle K_ {S}}$

${\ displaystyle K_ {S} = \ gamma P.}$

Точно так же изотермический процесс идеального газа имеет:

${\displaystyle PV=const.\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

поэтому изотермический модуль объемной упругости определяется выражением${\displaystyle K_{T}}$

${\displaystyle K_{T}=P}$

где γ представляет собой отношение теплоемкости и р является давлением.

Когда газ не идеален, эти уравнения дают только приближение модуля объемного сжатия. В жидкости объемный модуль K и плотность ρ определяют скорость звука c ( волны давления ) в соответствии с формулой Ньютона-Лапласа

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

В твердых телах и имеют очень похожие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов требуется один дополнительный модуль упругости , например модуль сдвига, для определения скорости волны.${\displaystyle K_{S}}$${\displaystyle K_{T}}$

Измерение [ править ]

Модуль объемной упругости можно измерить с помощью порошковой дифракции под приложенным давлением. Это свойство жидкости, которое показывает ее способность изменять свой объем под давлением.

Выбранные значения [ править ]

Материал с объемным модулем упругости 35 ГПа теряет один процент своего объема при воздействии внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар ).

Микроскопическое происхождение [ править ]

Межатомный потенциал и линейная эластичность [ править ]

Поскольку линейная эластичность является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением / сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомного потенциала кристаллических материалов. ^[5] Во-первых, давайте рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень далеких точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере приближения друг к другу их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их полная энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, при котором достигается минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии a ₀ , где полная сила равна нулю:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Где U - межатомный потенциал, а r - межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Для того, чтобы расширить два атома подойти в твердое тело, рассмотрит модель простой, скажем, 1-D массив одного элемента с межатомным расстоянием A A, и равновесное расстояние ₀ . Его потенциальная энергия-межатомное расстояние связь имеет аналогичную форму , как и случае два атома, который достигает минимально в виде ₀ , разложение в ряд Тейлора для этого является:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующий член - квадратичный. Когда смещение невелико, члены более высокого порядка следует опускать. Выражение становится:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

${\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Эта форма может быть легко расширена до трехмерного случая с объемом на атом (Ω) вместо межатомного расстояния.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Связь с атомным радиусом [ править ]

Как было установлено выше, объемный модуль напрямую связан с межатомным потенциалом и объемом, приходящимся на атом. Мы можем дополнительно оценить межатомный потенциал, чтобы связать K с другими свойствами. Обычно межатомный потенциал может быть выражен как функция расстояния, которая имеет два члена: один член для притяжения, а другой - для отталкивания.

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

Где A > 0 представляет член притяжения, а B > 0 представляет отталкивание. n и m обычно являются целыми, а m обычно больше n , что отражает характер отталкивания на короткие расстояния. В положении равновесия u минимально, поэтому производная первого порядка равна 0.

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}}$

${\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}$

когда r близко к, вспомните, что n (обычно от 1 до 6) меньше m (обычно от 9 до 12), игнорируйте второй член, оцените вторую производную

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}$

Напомним связь между r и Ω

${\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}}$

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}}$

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}$

Во многих случаях, например, в металлических или ионных материалах, сила притяжения является электростатической, поэтому n = 1, мы имеем

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

Это относится к атомам со схожей природой связи. Эта взаимосвязь подтверждается для щелочных металлов и многих ионных соединений. ^[6]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Де Йонг, Мартен; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений» . Научные данные . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD ... 2E0009D . DOI : 10.1038 / sdata.2015.9 . PMC  4432655 . PMID  25984348 .

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями среди них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Примечания
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к .${\displaystyle \nu \geq 0}$ Знак минус ведет к .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Не может использоваться, когда ${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$